Лекция №8 Линейные пространства

Лекция № 8

Линейные пространства

Определение 1. Непустое множество элементов называется линейным, или векторным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый , причем:

1. (коммутативность),

2. (ассоциативность),

в существует такой элемент , что (существование нуля),
существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).
Для любого числа и любого элемента определен элемент (произведение элемента на число ), причем:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

В зависимости от того, какие числа используются (все комплексные числа, или только действительные), различают комплексные и действительные линейные (векторные) пространства. Заметим, что почти всюду наши построения будут верны в обоих случаях. Можно было бы рассматривать и линейные пространства над произвольным (алгебраическим) полем. Всякое комплексное линейное пространство можно рассматривать как некоторое действительное пространство, ограничившись умножением векторов на действительные числа.

Пример 1. Прямая линия , т.е. совокупность действительных чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умножения на число, представляет собой линейное пространство.

Пример 2. Совокупность всевозможных систем чисел (действительных или комплексных) , где сложение и умножение на число определяются формулами

является линейным пространством. Оно называется – мерным арифметическим пространством и обозначается символом в случае действительных чисел, и в случае комплексных чисел.

Пример 3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство , являющееся одним из важнейших в функциональном анализе.

Пример 4. Пространство , в котором элементами служат последовательности (действительных или комплексных) чисел

удовлетворяющих условию , с операциями

является линейным пространством. Тот факт, что , если и , следует из неравенства .

Пример 5. Сходящиеся последовательности

(действительных или комплексных) чисел с покоординатными операциями сложения и умножения на числа образует линейное пространство. Обозначим его через .

Пример 6. Последовательности , сходящиеся к нулю, с теми же операциями сложения и умножения, образует линейное пространство. Обозначим его через .

Пример 7. Совокупность всех ограниченных числовых последовательностей , , , с теми же операциями сложения и умножения, есть линейное пространство.

Пример 8. Совокупность любых числовых последовательностей с теми же операциями сложения и умножения, образует линейное пространство.

Свойства линейного пространства – это (алгебраические!) свойства операций сложения элементов этого пространства и умножения их на числа.

Определение 2. Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, которое согласовано с алгебраическими операциями в и . Это значит, что из

, , где , а ,

следует, что

, и ,

где – произвольное число.

Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства.

Задача 1. Докажите, что арифметическое – мерное пространство (действительное или комплексное) и пространство всех многочленов степени (соответственно с действительными или комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на число изоморфны.

Линейная зависимость. Элементы линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что

В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Иначе говоря, элементы линейно независимы, если из равенства

следует, что

, , . . . , .

Бесконечная система элементов пространства называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Если в пространстве можно найти линейно независимых элементов, а любые элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространство имеет размерность . Если же в можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство бесконечномерно.

Базисом в – мерном пространстве называется любая система из линейно независимых элементов. Пространства в действительном и в комплексном случаях имеют, как легко проверить, размерность .

В курсе линейной алгебры рассматриваются пространства конечной размерности. В функциональном анализе, наоборот, изучаются, как правило, пространства бесконечного числа измерений. В примерах 3 – 8 пространства имеют бесконечную размерность. Докажите это.

Подпространства. Непустое подмножество линейного пространства называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в операциям сложения и умножения на число.

Иначе говоря, есть подпространство, если из , следует, что при любых и .

Во всяком линейном пространстве имеется подпространство, состоящее из одного нуля, – нулевое подпространство. Кроме того, всё можно рассматривать как свое подпространство. Подпространство, отличное от и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным. Приведем примеры собственных подпространств.

Пример 9. Пусть – линейное пространство, и – некоторый его ненулевой элемент. Совокупность элементов , где пробегает все числа (действительные или комплексные), образуют одномерное подпространство. Это подпространство является собственным, если размерность больше 1.

Пример 10. Рассмотрим пространство непрерывных функций и в нем совокупность всех многочленов . Ясно, что многочлены образуют в подпространство, имеющее бесконечную размерность.

Пример 11. Рассмотрим пространства , , , и . Каждое из них является собственным подпространством последующего.

Пусть – произвольное непустое множество элементов линейного пространства . Тогда в существует наименьшее подпространство (возможно совпадающее с ), которое содержит . Действительно, по крайней мере одно подпространство, содержащее , существует: это само . Далее, пересечение любого множества подпространств есть снова подпространство. Докажем это.

Если и , то при любых и . Возьмем теперь все подпространства, содержащие систему , и рассмотрим их пересечение. Это и будет наименьшее подпространство, содержащее систему .

Такое минимальное подпространство мы назовем подпространством, порожденным множеством , или линейной оболочкой множества .

Фактор-пространства. Пусть – линейное пространство, и – некоторое его подпространство. Скажем, что два элемента эквивалентны, если их разность . Заданное таким образом отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Убедимся в этом.

(1) , так как (рефлексивность).

Если , т.е. , то , т.е. (симметричность).
Если и , т.е. и , то их сумма , т.е. (транзитивность).

Таким образом, это – отношение эквивалентности. Оно определяет разбиение пространства на классы эквивалентных элементов. Класс эквивалентных элементов называется классом смежности (по подпространству ). Совокупность всех таких классов мы назовем фактор-пространством по и обозначим через . Таким образом, запись означает, что под мы подразумеваем класс эквивалентных между собой (по подпространству ) элементов из . Покажем, что любые два смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают между собой. Действительно, если в смежных классах и есть общий элемент, например, и , то и имеем:

, так как и , т.е. .

В фактор-пространстве естественно вводятся операции сложения элементов (смежных классов!) и умножения их на числа. Действительно, пусть , т.е. и – два смежных класса из . Выберем в каждом из них по представителю, например, и соответственно, и назовем суммой классов и тот класс , который содержит элемент , а произведением класса на число назовем класс, который содержит элемент . Проверим, что результат не изменится от замены представителей и какими-либо другими представителями и классов и соответственно. Действительно,

,

так как , ,

т.е. и принадлежат одному и тому же смежному классу независимо от выбора представителей в и . Аналогично,

, т.е. определено однозначно.

Таким образом, мы определили линейные операции над элементами фактор-пространства , превратив его тем самым в линейное пространство. Проверка аксиом линейного пространства очевидна.

Задача 2. Что представляет собой фактор-пространство ?

Задача 3. Пусть пространство имеет размерность , а его подпространство имеет размерность , . Докажите, что фактор-пространство имеет размерность .

Определение 3. Пусть – произвольное линейное пространство, и – некоторое его подпространство. Размерность фактор-пространства называется коразмерностью подпространства в пространстве .

Теорема 1. Если подпространство имеет конечную коразмерность , то в линейном пространстве можно выбрать элементы так, что всякий элемент будет однозначно представим в виде , где – числа, и .

Доказательство. Действительно, если фактор-пространство имеет размерность , то выберем в нем базис , и из каждого смежного класса выберем по представителю : , . Пусть теперь – любой элемент из , и – тот смежный класс в , который содержит : . Тогда .