Лекция №4 Метрические пространства Теорема Бэра. В функциональном анализе важную роль играет следующая

Лекция № 4

Метрические пространства

Теорема Бэра. В функциональном анализе важную роль играет следующая

Теорема 1 (Бэр). Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное. Пусть , где каждое из множеств нигде не плотно в . Пусть – некоторый замкнутый шар радиуса 1. Поскольку множество , будучи нигде не плотным, нигде не плотно в . Поэтому существует замкнутый шар радиуса меньше , такой, что и . Поскольку множество не плотно в , то по той же причине в шаре содержится замкнутый шар радиуса меньше , для которого и т.д. Мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров , радиусы которых стремятся к нулю, причем . В силу теоремы 4 (лекция 3) пересечение содержит некоторую точку . Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств , следовательно, , т.е. в противоречие предположению. Теорема доказана.

В частности, всякое полное метрическое пространство без изолированных точек несчетно. Действительно, в таком пространстве каждая точка нигде не плотна.