Математики открыли что-то интересное

Модели неустойчивого исторического развития

Основные понятия математической теории хаоса формулируются на с помощью т.н. дифференциальных уравнений. Что это такое и как лучше всего представить смысл этих уравнений, описывающих многие конкретные, в т.ч. социальные явления? Чтобы это понять, обратимся сперва к простому примеру.

В конце XVIII века английский философ и историк Томас Роберт Мальтус (его можно было бы назвать одним из первых демографов, если бы эта профессия тогда существовала) предсказал, что рост человечества очень скоро столкнется с непреодолимыми трудностями – нехваткой ресурсов и последующим перенаселением Земли. Его рассуждения были достаточно простыми и естественными, но опираясь на математический аппарат, Мальтус выводил из них весьма драматические следствия.

Зададимся, вместе с Мальтусом, вопросом, о том, как может меняться с течением времени население закрытого от внешнего мира общества (это может быть племя, населяющее долину, которая ограничена высокими горами, или население острова в океане, или даже какая-либо страна, труднодоступная для путешественников, наконец, в таком качестве можно рассматривать и всю Землю в целом). Изменение населения в таком обществе определяется только рождаемостью и смертностью. Естественно предположить, рассуждал ученый, что как число новорожденных, так и умерших за некоторый промежуток времени пропорционально общему количеству людей. А именно, обозначим численность населения в начале некоторого года буквой X_i где i — это номер года (зависящий от начала летоисчисления; так, это может быть i=2000 н.э., или i=7508 от сотворения мира, или i=1, если летоисчисление начинается с текущего года – для нашей задачи это совершенно не важно). За этот год число жителей изменится, согласно нашему предположению, на величину X_i , равную:

X_i = r X_i – m X_i= (r — m) X_i

Выражение описывает прирост населения за счет родившихся и убыль за счет умерших, причем оба этих числа пропорциональны X_i с коэффициентами r и m, которые называются коэффициентами рождаемости и смертности, характерными для данного общества. Мальтус предположил, что эти величины, хотя конечно и меняются год от года, но для общей оценки могут считаться постоянными. (Например, в США в последние 40 лет коэффициент смертности за год стабильно удерживается вблизи 0,9%, а коэффициент рождаемости за год в последние 30 лет не слишком сильно колеблется вокруг значения в 1,6%)¹. Вместе оба эти коэффициента образуют показатель воспроизводства населения q=r-m, так что в итоге можно записать, что:

X_i =q X_i (1)

Численность населения в начале следующего года X_i+1 определяется прибавлением к X_i этого изменения:

X_i+1=X_i + X_i = X_i +q X_i = (1+q) X_i

Написанное уравнение позволяет сделать два вывода. Во-первых, количество людей в обществе в следующем году определяется ее значением в предыдущем. Т.е., зная начальную численность населения X₀ (причем за начало отсчета можно выбрать любой год), мы последовательно определяем ее в каждом последующем, находя X₁, X₂, X₃ и т.д., и таким образом, получаем полную динамику роста населения на произвольное число лет вперед (считая, что коэффициент воспроизводства останется постоянным!) Во-вторых, эта динамика определяется очень простым математическим выражением – геометрической прогрессией. Действительно, из уравнения “автоматически” вытекает, что величина X_i для произвольного года связана с начальным значением X₀ следующим образом:

X_i = (1+q) ⁱ ∙X₀ , i=1,2,3,… (2)

В зависимости от коэффициента воспроизводства эта формула описывает три различных случая: если q>0 (рождаемость в обществе превышает смертность), то население будет из года в год расти, причем за каждый год – в одно и то же число раз; если q<0 (смертность выше рождаемости), то население каждый год становится в одно и то же число раз меньше и в перспективе стремится к нулю; наконец, если q=0 (рождамость и смертность одинаковы), то численность населения остается постоянной, как и можно было ожидать.

Вычисление количества жителей страны по схеме Мальтуса, которую мы изложили, является очень удобным примером для того, чтобы освоиться с основами математического языка в социальных науках. Сейчас вы сами, уважаемый читатель, можете проделать вычислительный эксперимент и своими глазами увидеть, как изменяется динамика населения в зависимости от задаваемых параметров. Для этого вам понадобится компьютер со скромными параметрами и с работающей на нем стандартной программой Microsoft Excel в любой ее версии. Мы поможем вам провести этот эксперимент в несколько шагов

Поделитесь с Вашими друзьями: