Ученым советом имит

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»

Институт математики и информационных технологий

Кафедра математического анализа и теории функций

УТВЕРЖДЕНО УЧЕНЫМ СОВЕТОМ ИМИТ Протокол № от «___» _________ 2013 Директор института математики и информационных технологий __________________________ А.Г.Лосев «___» ___________ 2013

РЕКОМЕНДОВАНО КАФЕДРОЙ МАТФ Протокол № от «___» __________ 2012 Заведующий кафедрой МАТФ __________________________ А.А.Клячин «___» ___________ 2012

ПРОГРАММА

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

для бакалавров направления

010200.62 «МАТЕМАТИКА И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ»

Число зачетных единиц 8

1. Вопросы, выносимые на экзамен.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.

1. 
   Определение группы. Примеры групп. Абелевы группы. Циклическая группа. Левые и правые смежные классы. Фактор-группа. Определение кольца. Примеры колец. Определение поля. Примеры полей.
   

2. 
   Кольцо многочленов. Основная теорема алгебры (без доказательства). Следствие из основной теоремы алгебры (разложение многочлена на неприводимые множители над полем комплексных чисел). Корни многочлена с действительными коэффициентами и его разложение на действительные неприводимые множители.
   

3. 
   Определение линейного пространства и его базиса. Теорема о том, что все базисы линейного пространства содержат одинаковое число векторов. Размерность линейного пространства. Линейные подпространства. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы линейных подпространств.
   

4. 
   Определение линейного оператора и его матрицы. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Теорема о линейной независимости системы собственных векторов с разными собственными значениями. Канонический вид линейного оператора в случае, когда все его собственные значения различны.
   

5. 
   Определение системы линейных уравнений, ее матричная и векторная запись. Метод Гаусса решения линейной системы. Формулы Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. Пространство решений однородной линейной системы. Фундаментальная система решений однородной линейной системы.
   

6. 
   Определение билинейной формы и ее матрицы. Квадратичная форма и ее матрица. Связь между матрицами квадратичной формы в разных базисах. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом выделения полных квадратов. Поиск ортогональной замены, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.
   

7. 
   Скалярное произведение векторов. Определение Евклидова пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования. Ортогонализация Грамма-Шмидта. Построение ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве.
   

8. 
   Уравнение кривой второго порядка. Ортогональные инварианты кривых второго порядка. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Типы кривых второго порядка. Определение типа кривой второго порядка по инвариантам.
   

9. 
   Мощность множества. Счетные множества и множества, имеющие мощность континуума.
   

10. 
    Предельная точка последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.
    

11. 
    Непрерывные функции и их свойства. Теорема Больцано о промежуточном значении.
    

12. 
    Числовые ряды. Виды сходимости. Признак сравнения. Признаки Даламбера и Коши.
    

13. 
    Формула Тейлора. Различные формы остаточного члена. Применение формулы Тейлора.
    

14. 
    Определенный интеграл Римана; классы интегрируемых функций; основные свойства; формула Ньютона-Лейбница.
    

15. 
    Виды сходимости функциональных рядов. Признаки равномерной сходимости. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании функционального ряда (без док-ва).
    

16. 
    Степенные ряды. Круг сходимости. Понятие аналитической функции.
    

17. 
    Тригонометрический ряд Фурье. Представление периодической функции рядом Фурье.
    

18. 
    Частные производные и дифференцируемость функций многих переменных.
    

19. 
    Кратные интегралы Римана. Сведение кратных интегралов к повторным.
    

20. 
    Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка. Формулировка аналогичной теоремы для системы из n уравнений.
    

21. 
    Системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Вид общего решения.
    

22. 
    Криволинейный интеграл 1-го рода.
    

23. 
    Криволинейный интеграл 2-го рода.
    

24. 
    Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл.
    

25. 
    Площадь поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода.
    

26. 
    Ориентация поверхностей. Поверхностный интеграл 2-го рода.
    

27. 
    Теорема Гаусса-Остроградского.
    

28. 
    Формула Стокса.
    

29. 
    Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.
    

30. 
    Метрические пространства, примеры. Теорема о вложенных шарах. Принцип сжимающих отображений.
    

31. 
    Топологические пространства, примеры. База. Компактные множества в топологических пространствах.
    

32. 
    Кривые в . Формулы Френе. Кривые в .
    

33. 
    Поверхности в . Первая квадратичная форма и ее свойства.
    

ЧАСТЬ ВТОРАЯ.

33. 
    Классификация квазилинейных уравнений с частными производными 2-го порядка. Постановка основных краевых задач математической физики. Корректность краевых задач. Теорема Коши — Ковалевской (без доказательства)
    

34. 
    Основные свойства гармонических функций (принцип максимума, бесконечная дифференцируемость, теорема о среднем).
    

35. 
    Голоморфные функции. Условия Коши-Римана. Элементарные функции
    

36. 
    Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
    

37. 
    Ряд Лорана голоморфной функции в окрестности изолированной особой точки. Классификация особых точек (без док-ва).
    

38. 
    Вычеты. Основная теорема о вычетах.
    

39. 
    Вероятностное пространство. Свойства сигма-алгебры и вероятности. Теорема о непрерывности вероятности.
    

40. 
    Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса. Независимые события. Независимость в совокупности.
    

41. 
    Случайная величина. Функция распределения случайной величины. Плотность распределения.
    

42. 
    Математическое ожидание случайной величины. Дисперсия.
    

43. 
    Коэффициент корреляции. Независимые случайные величины.
    

44. 
    Сходимость по вероятности и сходимость почти наверное. Закон больших чисел.
    

45. 
    Характеристическая функция случайной величины.
    

46. 
    Центральная предельная теорема для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин.
    

47. 
    Постановка задачи интерполирования. Интерполяционный многочлен, формулы Лагранжа и Ньютона. Оценка погрешности интерполирования, узлы Чебышева. Определение кубичес­кого сплайна, граничные условия.
    

48. 
    Численное интегрирование. Квадратурные формулы трапеций, прямоугольников, Симпсона и оценки их погрешностей. Квадратурные формулы интерполяционного типа, формулы Гаусса.
    

49. 
    Прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Примеры методов. Число обусловленности матрицы системы линейных алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условие сходимости одношаговых итерационных методов.
    

50. 
    Линейные многошаговые методы для решения задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений. Максимальный порядок аппроксимации m-шагового метода. Методы Адамса и Гира. Условие корней.
    

51. 
    Разностные схемы для решения задачи теплопроводности: явная, неявная, схема с весами, трехслойные схемы и их порядок аппроксимации. Метод гармоник для исследования устойчивости разностных схем на примере схемы с весами.
    

52. 
    Булевы функции. Полнота и замкнутость. Теорема Поста о полноте.
    

53. 
    Формула включения-исключения.
    

54. 
    Основные комбинаторные конфигурации.
    

Поделитесь с Вашими друзьями: