Аннотации дисциплин магистерской программы «Математические методы естествознания и компьютерные технологии»

Национальный Исследовательский Университет

Высшая школа экономики

Направление: Прикладная математика и информатика

010400.68

Аннотации дисциплин магистерской программы

«Математические методы естествознания и компьютерные технологии»

Линейные операторы в задачах математической физики

Цель курса: представить главные идеи и подходы к анализу базовых задач математической физики с помощью теории линейных операторов.

Задачи курса: обучить слушателей основным понятиям и теоремам теории линейных операторов, а также методам применения линейных операторов в основных типах задач математической физики.

Программа курса

1. Спектральные свойства операторов математической физики

1.1. Неограниченные операторы. Область определения. Замкнутые операторы.

1.2. Симметрические операторы и индексы дефекта. Самосопряженное расширение. Теорема Нельсона. Физические примеры.

1.3. Дискретный и непрерывный спектры. Собственные функции.

1.4. Спектральная теорема. Спектральная плотность. Формулы следа.

1.5. Унитарные операторы. Проекторы и корни из единицы. Примеры: оператор Теплица, когерентные состояния, квантайзер.

1.6. Общие свойства спектра операторов Шредингера и Дирака.

1.7. Спектр в периодических полях. Блоховские функции. Зоны Бриллюэна. Поверхность Ферми.

1.8. Туннельное расщепление спектра.

1.9. Квазистационарные состояния оператора Шредингера и спектр аналитических семейств компактных операторов (теория Келдыша).

2. Нестационарные задачи математической физики

2.1. Теорема Стоуна.

2.2. Банаховы и гильбертовы шкалы, производящие операторы.

2.3. Формулы Троттера и Каца-Фейнмана. Вывод континуального интеграла.

2.4. Туннельная транспортация квантовых состояний.

2.5. Симметрические гиперболические системы, уравнения Максвелла.

2.6. Связь волновых и диффузионных процессов. Полугруппы операторов.

2.7. Эволюция в неавтономных системах.

2.8. Периодические системы и операторы монодромии.

3. Задача рассеяния

3.1. Постановка задачи рассеяния. Безотражательные потенциалы.

3.2. Интегральное уравнение Липпмана-Швингера теории рассеяния.

3.3. Функция Йоста, матрица рассеяния, полюса Редже.

3.4. Обратная задача теории рассеяния.

Список литературы

1. У. Рудин, Функциональный анализ / М.: Мир, 1975. 2. К. Морен, Методы гильбертова пространства / М.: Мир, 1965. 3. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972. 4. Ю.И. Любич, Линейный функциональный анализ / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.19 (Функциональный анализ-I), М.: ВИНИТИ, 1988. 5. П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах / М.: Мир, 1970. 6. К. Фридрихс, Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / М.: Мир, 1969. 7. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, тт.1-4 / М.: Мир, 1977, 1978, 1982. 8. Ф.А. Березин, М.А. Шубин, Уравнение Шредингера / МГУ, 1983. 9. И.М. Глазман, Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов / М.: Физматгиз, 1963. 10. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / М.: Наука, 1981.

Специальные эффекты и методы квантовой механики

Цель курса: описать понятия и методы важные как для освоения принципиально новых концепций в данной области, так и для расчета конкретных моделей квантовых систем,

рассмотреть парадоксы квантовой механики, дать анализ методов компьютерного моделирования квантовых систем (достоинства, недостатки и открытые проблемы).

Задачи курса: научить делать простые оценки квантовых эффектов, научить основным подходам и методам моделирования базовых квантовых систем.

Программа курса

I. Квантовая механика и топология.

Квантовые системы во внешнем электромагнитном поле.
Эффект Ааронова-Бома.
Эффект Ааронова-Кашера.
Фаза Берри.

II. Специальные методы квантовой механики.

Аналогия между квантовой механикой и квантовой статистической физикой.
Метод мнимого времени. Метод инстантонов в квантовой механике.
Континуальные интегралы.
Квантовые методы Монте Карло.
Метод функционала плотности. Теорема об однозначности энергии как функционала от плотности. Уравнения Кона-Шэма.

III. Квантовые коллективные явления.

Симметрии и законы сохранения. Симметрия кристаллов. Квазиимпульс.
Электронная структура твердых тел.
Кристаллическая решетка и фононы.
Фазовые переходы. Спонтанное нарушение симметрии. Теория Ландау. Теорема Голдстоуна.

Природа сил притяжения между электронами в кристалле. Бозе-конденсация и сверхтекучесть бозе-систем.
Спаривание электронов. Модель Купера.
Сверхтекучесть ферми-газа и микроскопическая теория сверхпроводимости.
Эффект Мейснера.
Эффект Джозефсона.
Магнетизм