Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра»

Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра»

1. 
   Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.
   

2. 
   Перестановка. Определитель n-го порядка и его свойства.
   

3. 
   Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам любой строки (или столбца).
   

4. 
   Определитель произведения матриц. Определение обратной матрицы. Доказать теорему существования и единственности обратной матрицы.
   

5. 
   Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения АХ=В, YA=B.
   

6. 
   Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная запись. Правило Крамера.
   

7. 
   Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Методы нахождения ранга матрицы.
   

8. 
   Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
   

9. 
   Теорема Кронекера — Капелли.
   

10. 
    Однородные системы уравнений. Теорема о существовании ненулевых решений. Фундаментальная система решений.
    

11. 
    Структура общего решения однородной и неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
    

12. 
    Линейные пространства. Определение. Примеры.
    

13. 
    Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Свойства.
    

14. 
    Размерность линейного пространства. Базис.
    

15. 
    Координаты вектора в данном базисе. Линейные операции над векторами в координатной форме.
    

16. 
    Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь между координатами вектора в разных базисах.
    

17. 
    Подпространства линейных пространств. Примеры. Теорема о размерности подпространства.
    

18. 
    Матрица линейного преобразования. Связь между матрицами и линейными преобразованиями.
    

19. 
    Сложение линейных преобразований.
    

20. 
    Умножение линейного преобразования на число.
    

21. 
    Умножение линейных преобразований.
    

22. 
    Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах.
    

23. 
    Обратные преобразования.
    

24. 
    Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Теорема о приведении линейного преобразования к диагональному виду.
    

25. 
    Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного преобразования.
    

26. 
    Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного преобразования.
    

27. 
    Инвариантность характеристического многочлена линейного преобразования.
    

28. 
    Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к диагональному виду в случае простого спектра.
    

29. 
    Векторы. Линейные операции над векторами.
    

30. 
    Базис. Координаты вектора. Линейные операции в координатной форме.
    

31. 
    Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
    

32. 
    Системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат.
    

33. 
    Выражение координат вектора через координаты начала и конца. Деление отрезка в данном отношении.
    

34. 
    Скалярное произведение, его свойства. Условие перпендикулярности двух векторов.
    

35. 
    Скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Расстояние между двумя точками. Длина вектора. Угол между векторами.
    

36. 
    Векторное произведение двух векторов. Его свойства. Условие коллинеарности двух векторов.
    

37. 
    Векторное произведение двух векторов в координатной форме.
    

38. 
    Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл, свойства.
    

39. 
    Смешанное произведение в координатной форме (трех векторов). Условие компланарности трех векторов.
    

40. 
    Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости. Перенос начала. Полярная система координат и ее связь с прямоугольной системой.
    

41. 
    Понятие об уравнениях линий и поверхностей. Уравнение окружности и сферы.
    

42. 
    Различные виды уравнений прямых на плоскости: общее, с угловым коэффициентом, по точке и угловому коэффициенту, по двум точкам, в отрезках.
    

43. 
    Нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой.
    

44. 
    Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности.
    

45. 
    Векторно-параметрическое уравнение плоскости. Параметрические уравнения плоскости.
    

46. 
    Плоскость как поверхность 1-го порядка. Нормальное уравнение плоскости.
    

47. 
    Общее уравнение плоскости, приведение общего уравнения к нормальному виду.
    

48. 
    Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, векторное уравнение плоскости. Связка плоскостей.
    

49. 
    Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.
    

50. 
    Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
    

51. 
    Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространств. Каноническое уравнение прямой.
    

52. 
    Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.
    

53. 
    Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.
    

54. 
    Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и плоскости.
    

55. 
    Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.
    

56. 
    Канонические уравнения эллипса и параболы. Исследование их форм.
    

57. 
    Каноническое уравнение гиперболы, исследование ее формы, асимптоты.
    

58. 
    Цилиндрические и конические поверхности.
    

59. 
    Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
    

60. 
    Поверхности вращения.
    

Поделитесь с Вашими друзьями: