Занятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел



Скачать 96.61 Kb.
страница1/3
Дата01.05.2018
Размер96.61 Kb.
ТипЗанятие
  1   2   3

А.Г.Гейн


Практические занятия по алгебре
1 курс
2 семестр

Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику задач по алгебре и геометрии для студентов первого курса»

Алгебра, 2 семестр

Занятие 1. Линейное пространство

1. Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел

а) все векторы n-мерного арифметического пространства, компоненты которых целые числа;

б) все векторы n-мерного арифметического пространства, компоненты которых неотрицательные числа;

в) все векторы плоскости, концы которых лежат на данной прямой (начало любого вектора совпадает с началом координат);

г) все векторы пространства, концы которых не лежат на данной прямой (начало любого вектора совпадает с началом координат);

д) все векторы n-мерного арифметического пространства, сумма компонентов которых равна фиксированному числу а?

2. Доказать, что для выполнения равенства х + у = х + у, где х и у – векторы линейного пространства, и – элементы поля, необходимо и достаточно, чтобы х = у или  = .

3. Доказать, что следующее множество векторов образуют линейное пространство над полем действительных чисел. Найти его базис и размерность.

а) Все векторы n-мерного арифметического пространства, сумма компонентов которых равна 0.

б) Все многочлены от одной переменной с действительными коэффициентами степени не выше n.

в) Все однородные многочлены степени n от k переменных вместе с нулевым многочленом.

4. 8.2.8 а), в).


Домашнее задание

1. Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел

а) все векторы n-мерного арифметического пространства, все компоненты которых одного знака;

б) все многочлены от одной переменной с действительными коэффициентами степени n вместе с нулевым многочленом.

в) все векторы плоскости, концы которых лежат в первой четверти (начало любого вектора совпадает с началом координат)?

2. Доказать, что следующее множество векторов образуют линейное пространство над полем действительных чисел. Найти его базис и размерность.

а) Все векторы n-мерного арифметического пространства, у которых первая и последняя компоненты равны.

б) Все векторы n-мерного арифметического пространства, у которых компоненты с четными номерами равны 0.

в) Все векторы n-мерного арифметического пространства, у которых компоненты с нечетными номерами равны между собой.

г) Все многочлены от одной переменной с действительными коэффициентами степени не выше n, у которых имеется фиксированный корень с.

3. 8.2.8. б), д), е).

Алгебра, 2 семестр

Занятие 2. Линейные подпространства

1. 8.4.3.

2. Пусть L1 и L2 – подпространства пространства L

а) Укажите необходимое и достаточное условие на подпространства L1 и L2, чтобы их объединение было бы подпространством.

б) Докажите, что сумма подпространства L1 и L2 является наименьшим подпространством, содержащим каждое из подпространств L1 и L2.

3. 8.4.8 б)

4. 8.4.18.

5. 8.4.17.


Домашнее задание

1. 8.4.4


2. 8.4.6

3. Пусть в предыдущем задании  = 0 и = . При каких значениях получающиеся подпространства образуют прямую сумму?

4. 8.4.8 в), г).

5. Выполните задание 8.4.17, если в качестве исходного пространства взято пространство не всех функций, определенных на отрезке [a, b], а пространство всех непрерывных функций, определенных на этом же отрезке.


Алгебра, 2 семестр

Занятие 3. Линейные операторы (Самостоятельная работа)

1. Дать определение линейного оператора.

2. Что такое матрица линейного оператора?

3. Для каждого из указанных ниже отображений трехмерного векторного пространства в себя установить, является ли оно линейным преобразованием. Если “Да”, то найти матрицу в стандартном базисе .

а) А(х) = а, где а — фиксированный вектор.

б) А(х) = х + а, где а — фиксированный вектор.

в) А(х) = х, где  — фиксированное число.

г) А(х) = (а, х) b, где а и b — фиксированные векторы, а (а, х) — скалярное произведение.

д) А(х) = (х, а) х, где а — фиксированный вектор, (а, х) — скалярное произведение.

е) А(х) = [а, х], где а — фиксированный вектор, [а, х] — векторное произведение.

4. Для каждого из указанных ниже отображений пространства многочленов степени не выше n в себя установить, является ли оно линейным преобразованием. Если “Да”, то найти матрицу в стандартном базисе 1, x, x2, …, xn.

а) А (f(х)) = f(х + 2).

б) А (f(х)) = f (х).

в) А (f(х)) = f(х2).

г) А (f(х)) = .

5. 9.1.8 а), в).
Домашнее задание

1. 9.1.8 б), г).

2. 9.1.9.

Алгебра, 2 семестр

Занятие 4. Действия над матрицами

1. 3.2.1 б).

2. 3.2.2.

3. 3.2.4 д), б).

4. 3.2.5 е), з).

5. 3.2.6 а).

6. 3.2.9 а).

7. Пусть A – квадратная матрица порядка n с элементами из поля P. Через C(A) обозначим множество всех матриц, перестановочных с матрицей A. Доказать, что

а) C(A) – линейное пространство над полем P.

б) C(A) – кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.

8. 3.2.11 а).

9. 3.2.8 б).


Домашнее задание

1. 3.2.1 в).

2. 3.2.4 а), з).

3. 3.2.5 д), ж).

4. 3.2.6 д).

5. 3.2.7.

6. 3.2.9 д).

7. 3.11 в).

8. Какой (в зависимости от n) может быть максимальная размерность пространства C(A), о котором говорится в задании 7 классной работы? Какой может быть минимальная размерность этого пространства?

9. 3.2.8 а).


Алгебра, 2 семестр

Занятие 5. Перестановки и подстановки. Определители

1. 4.1.1 (а, в, д).

2. Известно, что число инверсий в перестановке а1, а2, ... , аn равно k. Сколько инверсий в перестановке аn, аn – 1, ... , а1?

2. На лекции доказано, что от любой n-элементной перестановки к любой другой перестановке тех же элементов можно перейти не более чем за n! – 1 транспозиций. Можно ли улучшить эту оценку?

3. 4.1.9.

4. Определить четность подстановки .

5. 4.2.1 (б, в).

6. 4.2.2 (б, г).

7. 4.2.3 (а).

8. 4.2.6 (а, б).

9. а) Какое наибольшее значение может иметь определитель матрицы третьего порядка, элементами которой являются только 1 и –1?

б) Какое наибольшее значение может иметь определитель матрицы третьего порядка, элементами которой являются только 0 и 1?

10. 4.2.10 (а, в, е).


Домашнее задание

1. 4.1.1 (б, г, е).

2. 4.1.5; 4.1.6.

2. 4.4.9 (б, в, г. д).

3. 4.2.1 (а, г).

4. 4.2.2 (а, в. д).

5. 4.2.3 (б).

6. Выполните задание 9 из классной работы для матриц четвертого порядка.

7. 4.2.10 (б, г, д).
Алгебра, 2 семестр

Занятие 12. Действия над линейными операторами

1. Пусть Р – произвольное поле, L – пространство всех многочленов над Р. Отображения А и В из L в L определены следующим образом:


Каталог: files
files -> Истоки и причины отклоняющегося поведения
files -> №1. Введение в клиническую психологию
files -> Общая характеристика исследования
files -> Клиническая психология
files -> Валявский Андрей Как понять ребенка
files -> К вопросу о формировании специальных компетенций руководителей общеобразовательных учреждений в целях создания внутришкольных межэтнических коммуникаций
files -> Русские глазами французов и французы глазами русских. Стереотипы восприятия


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница