Введение в теорию подобия



Скачать 155.5 Kb.
страница1/2
Дата25.05.2018
Размер155.5 Kb.
  1   2

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОДОБИЯ

Современное развитие техники характеризуется резким усложнением задач, решаемых при изготовлении изделий, высокими требованиями к их надежности, сжатыми сроками создания и внедрения в эксплуатацию, стремлением сократить затраты на разработку изделия при удовлетворении заданных условий.

Следует отметить, что существующие методы оценки и контроля качества изделия по результатам испытаний оказываются часто неэффективными в условиях детерминированного эксперимента или имеющейся разнородной, ограниченной по объему статистической информации о результатах физического моделирования, макетирования и испытаний небольшого числа образцов.

Между реальными возможностями современного математического аппарата и теми требованиями, которые к нему фактически предъявляются, существует глубокий разрыв, а полнота знаний для любых теоретических исследований достигается в том случае, если каждая величина, существенная для данного процесса, определяется как функция аргументов, соответствующих конкретным условиям задачи. Общеизвестно, что теоретическое представление приобретает конкретный и точный характер лишь в том случае если оно выражено в форме количественного соотношения.

В подавляющем большинстве случаев попытка найти аналитическое решение возникающих задач связано с непреодолимыми трудностями. Обычно возможность довести исследование до конца в аналитической форме достигается ценой существенных упрощений, вносимых при постановке задачи или в ходе ее решения. Поэтому нередко получаемые результаты, в лучшем случае имеют характер приближенной оценки, в худшем - неправильны по существу и могут являться источником глубоких заблуждений. При изучении сложных задач, в которых присутствует большое число переменных, приходится вводить множество разнородных величин, каждая из которых рассматривается как самостоятельная переменная.

В большинстве случаев влияние отдельных факторов, представленных различными величинами, проявляется не порознь, а совместно. Таким образом, необходимо рассматривать не отдельные величины, а их совокупности, определенные для каждого конкретного процесса. Переход от обычных физических величин к величинам комплексного типа (которые составлены из тех же величин, но в определенных сочетаниях, зависящих от природы процесса) создает важные преимущества, прежде всего, достигается уменьшение числа переменных. Вместе с тем в этих величинах, отражающих влияние отдельных факторов не порознь, а в совокупности, более отчетливо выступают внутренние связи, характеризующее процесс, в вся количественная картава в целом становится более ясной. Здесь важно уже на стадии постановки задачи выявить связь между отдельными группами величин и соединить их в комплексы строго определенного вида. Эта комплексы имеют ясный физический смысл. Они определяют конечный эффект взаимодействия ряда факторов и, следовательно, характеризуют относительную интенсивность их влияния. Являясь вполне устойчивыми комбинациями из величин, существенных дня изучаемых процессов, комплексы получают значение особого рода переменных, характерных для этих процессов.

Таким обрезом, при переходе от обычных физических величин к величинам комплексного типа, появляется ряд важных преимуществ:


  • во-первых, уменьшается число переменных;

  • во-вторых, отражается влияние не отдельных факторов, а всего комплекса, более отмято выступают внутренние связи;

  • в-третьих, заданное значение комплекса может быть получено как результат бесчисленного множества различных комбинации составляющих его величин.

В этом случае при решении задачи будет рассматриваться не единичный частный случай, а бесконечное множество различных случаев, объединенных некоторой общностью свойств. Замещение обычных переменных обобщенными, является основной чертой рассматриваемой системы исследования. Эту систему называют теорией подобия и анализ размерностей, или методом обобщенных, переменных.

Учение о подобии и моделировании начало создаваться более четырехсот лет тому назад. Леонардо да Винче, Микеланджело, Галилеем делались попытки обосновать методы моделирования и применять их. в различных областях: архитектуре, механике, геометрии, астрономии. Однако первые научные формулировки условия подобия были получены И. Ньютоном в его работе «Математические начала натуральной философии», в которой он рассматривает движение материальных тел и устанавливает законы их подобия. Им были открыты путл применения; и моделирования механических систем и их критерии.

В 1822 г. увидела свет работа Д. Фурье «Аналитическая теория теплопроводности», в которой было показано, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность. Это правило получило название правила Фурье или правила размерной однородности уравнений математической физики.

В России основоположником теории подобия является В. Л. Кярпичев, который в 1874 г. опубликовал работу «Беседы о механике», посвященную исследованию упругих явлений в геометрически подобных телах. Дальнейшие исследования позволили детально рассмотреть вопросы, связанные с моделированием в строительстве, военном деле.

Продолжателями этого направления явились такие ученые, как М.В. Кирпичев, Н.Е. Жуковский, А.А. Тухман, Л.И. Седов и др.

Академик М.В. Кирпичев [1] в своих работах показал, что теория подобия является теорией эксперимента и моделирования. Она указывает, каким образом нужно ставить опыт, обрабатывать опытные данные, а также обобщать и распространять полученные результаты на другие объекты. Проф. А. А. Хухман [2] сформулировал ряд важных положений, в частности, третью теорему подобия, в которой определяются условия, необходимые и достаточные для обеспечения подобия групп явлений. Большой вклад им был внесен в исследования, связанные с гидромеханикой и переносом тепла в движущейся среде. Проф. Л.И. Седовым [3] были подробно рассмотрены методы подобия применительно к механике, движению различных тел в жидкости. Проф. Н. Е. Жуковский [4] внес неоценимый вклад в развитие теории воздухоплавания и моделирования авиационной техники.

Математические основы теории подобия н анализа размерностей дали значительный толчок развитию многих современных направлений науки и техники. Например, моделированию строительных конструкций, тепло- и гидроэлектростанций, различных силовых и электрических установок Теория подобия достаточно широко используется для определения прочностных, усталостных характеристик, при моделировании экономических расчетов. В настоящее время актуальнейшей проблемой является развитие, теории подобия применительно к задачам больших, сложных и неоднородных систем.

Необходимо отметить, что если раньше теория подобия и моделирования развивалась в направлении обработки полученных данных, при которой с учетом их статистического характера авторы стремились обеспечить наилучшее приближение полученных значений к истинным, то в настоящее время получило распространение другое направление, связанное с теорией планирования эксперимента. Этому направлению положили начало работы таких зарубежных исследователей, как Р. Фишер [5], Д. Бокс [6], Ч. Хикс [7], Н. Винер [8]. Среди отечественных иссле­дователей следует упомянуть В.В. Налимова [9], Г.К. Круга [10], Ю.П Адлера [11], В.С Пугачева [12 ], Н.П. Бусленко [13] и др. [14,15].

В текстильной промышленности значительный вклад в моделирование технологических процессов внесли такие ученые, как А.Г. Севостьянов [16,17], Л.Л. Гинсбург, В.Л. Хавкин, К.Ш. Винтер, А.С. Молчанов [18], Ю.В. Виноградов [19], Н.Л. Краснер [20], В.Б. Тихомиров [21] и др. Особенностью этого направления являлось то, что в решении этих проблем центральное место заняли исследования не одного фактора, как это делалось раньше, а многих влияющих факторов. Решение многофакторных задач стало возможным в результате применения современной вычислительной техники. Методы математического планирования эксперимента позволяют получить математические модели исследуемого процесса в реальном диапазоне изменения многих факторов. Развитие вычислительной техники и соответствующие организационные мероприятия значительно расширили круг разрешимых задач, позволили отказаться от некоторых чрезмерных упрощений и тем самым повысить точность математических моделей.

В настоящее время моделирование применяется в различных отраслях науки и техники при решении конкретных технических, экономических и других задач. Методы моделирования чрезвычайно разнообразны, однако при исследовании механико-технологических процессов в текстильной промышленности наиболее широкое распространение получило физическое н математическое моделирование [16].

Физическое моделирование характеризуется тем, что исследования проводятся на конкретных стендах, моделях, макетах. В результате становится возможным проследить физическую природу изучаемого явления или процесса.

При математическом моделировании исследование технологических процессе проводится на модели, имеющей физическую природу, отличную от природы реального объекта или процесса. Метод математического моделирования основан на идентичности математических описаний процессов, протекающих в моделируемой системе или модели.

Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, описывающих основные закономерности, которые присущи изучаемому процессу. Математическая модель может быть получена двумя способами [17]:


Понятие моделирования тесно связано с понятием информации, характеризующей воздействия, которые получают системы и ее отдельные элементы, а также происходящие в результате этих воздействий изменения состояния системы, определяемые всегда во времени и в пространстве.

Общая задача теории подобия я моделирования - это выработка методологии, направленной на упорядочение способов получения и обработки информации об объектах, существующих вне нашего сознания и взаимодействующих между собой н внешней средой.

Таким образом, можно сказать, что теория подобия применяется в следующих случаях:


  • при определении аналитических зависимостей соотношений и решений конкретных задач;

  • при обработке результатов экспериментальных исследований различных технических устройств в тех случаях, когда результаты представлены в обобщенных «критериальных» зависимостях;

  • при создании моделей, т.е. установок, воспроизводящих явления в других установках (оригиналах), обычно больших по величине, или более сложных по структуре, или более дорогих, чем модели [22].

Пусть требуется измерить какую-либо величину Q. Это значит, что необходимо ее сравнить с другой величиной q такой же физической природы, т.е. определить во сколько раз Q отличается от q. Для единообразия устанавливают определенное значение q и называют ее единицей измерения. Единицы измерения различных физических величин, объединенные на основе их непротиворечивости друг другу, образуют систему единиц.

Величины, численное значение которых зависит от системы единиц измерения, называются размерными величинами. Величины, численное значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными. Длина, время, энергия могут служить примерами размерных величин. Углы, отношение двух длин - примеры безразмерных величин.

Однако понятия размерных и безразмерных величин являются относительными понятиями. Вводится некоторый запас единиц измерения. Тогда величины, для которых единицы измерения одинаковы во всех принятых системах единиц измерения, считаются безразмерными. Величины же, для которых в опытах или в теоретических исследованиях явно или неявно допускаются различные единицы измерения, называются размерными.

Размерные физические величины связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому, если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения называются основными или первичными, а все остальные - производными или вторичными.

В настоящее время наиболее распространенной и имеющей предпочтительное применение является Международная система единиц СИ [23]. В системе СИ произвольно, т.е. независимо одна от другой, выбраны единицы измерения так называемые первичные величины -масса, длина, время, температура, сила тока, сила света, количество вещества. Они получили название основных единиц. Единицы измерения других физических величин, например, сила, скорость, энергия и др., получаются из основных единиц в результате того или иного действия над ними.

Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью. Например, сила определяется исходя из уравнения:


F = Mּa = MּL / Т-2 = M L T-2
Размерность записывается символически в виде формулы, в которой символ единицы измерения обозначается буквой в квадратных скобках:
F = [M] [L] [T]-2,
где [М], [L], [T] - соответственно размерности массы, длины и времени.
В тоже время размерность любой физической величины представляет собой произведение возведенных в степень размерностей первичных величин:
[Q] = [M]μ [L]λ [T]τ (1.1)
Таблицу основных параметров, определяющих явление, всегда легко составить, если задача сформулирована математически. Для этого следует отметить все размерные и безразмерные величины, которые необходимо и достаточно задать, чтобы численные значения всех искомых величин определялись уравнениями задачи. В ряде случаев таблицу определяющих параметров можно составить, не выписывая уравнение задачи. Можно просто установить факторы, необходимые для полного определения искомой величины, численное значение которой иногда можно находить только экспериментально. Среди определяющих пара­метров должны быть величины с размерностями, через которые могут быть выражены размерности всех зависимых параметров.

При решении какой-либо задачи очень редко применяются все основные единицы измерения. Например, для механической системы используются такие величины, как метр, килограмм, секунда, в то время как в электрической системе, в которой отсутствует механическое перемещение тел, применяются размерности силы тока, длины, времени (ампер, метр, секунда).

Рассмотрим механическую систему с тремя основными единицами измерения, а именно длиной [L], массой [М], временем [T].

Можно ли выбрать в качестве первичных величин какие-либо три иные: u1, u2, u3? Очевидно, это можно сделать в том случае, если:

размерности [u1], [u2], [u3] являются независимыми функциями [M], [L], [T], т.е. [u1]≠[u3]α [u2]β при любых α и β;

возможно однозначное обратное преобразование, т.е. [M], [L], [T] единственным образом можно выразить через [u1], [u2], [u3].

Определим, при каком условии оба эти требования выполняются [24].

Пусть размерности u1, u2, u3 таковы:

[u1] = [M]μ1 [L]λ1 [T]τ1,

[u2] = [M]μ2 [L]λ2 [T]τ2,

[u3] = [M]μ3 [L]λ3 [T]τ3
Прологарифмируем эти выражения:

lg [u1] = μ1 lg[M] + λ1 lg [L] + τ1 lg [T],

lg [u2] = μ2 lg[M] + λ2 lg [L] + τ2 lg [T],

lg [u3] = μ3 lg[M] + λ3 lg [L] + τ3 lg [T]


Полученная система уравнений имеет решение и притом единственное, если составленный из коэффициентов уравнения определитель отличен от нуля:





μ1

λ1

τ1







Δ =

μ2

λ2

τ2

≠ 0

(1.2)




μ3

λ3

τ3







Тем самым удовлетворяется требование, что при выполнении условия (1.2) [M], [L], [T] единственным образом выражаются через [u1], [u2], [u3].

Можно констатировать, что если число основных единиц равно γ, то количество величин u также равно γ. Например, первичными величинами могут быть такие величины как сила, время, длина:

u1 = F, u2 = T, u3 = L,

ибо соответствующий определитель не равен нулю:





1

1

-2




Δ =

0

0

1

= -1 ≠ 0




0

1

0



т. е. эти величины могут быть использованы в качестве первичных. Если же взять в качестве первичных такие величины, как сила, скорость и мощность, у которых Δ = 0, то эти величины не являются независимыми, так как они связаны между собой уравнением N = F υ размерности не могут быть использованы в качестве основных единиц измерения. Наряду с этим необходимо отметить, что количество основных единиц измерения является в известной степени произвольным.

В теории подобия большое значение имеют безразмерные комплексы величин, представляющие собой произведение различных степеней этих величин. Их называют критериями подобия и обозначают π (пи).

Для примера рассмотрим механическое явление, где в качестве основных единиц измерения взяты [M], [L], [T] [24]. Пусть имеется n величин pi, i= 1,2,...,п. Размерность любой величины pi, можно выразить через эти величины


[Pi] = [L]λi [M] λi [T] λi, i= 1, 2, ... n. (1.3)
Любой критерий подобия - это некоторая комбинация величин Р12, ... , Рn.
π = P1z1 , P2z2, P3z3, . . ., Pnzn = C [P1] z1 , [P2] z2, [P3]z3, . . ., [Pn] zn (1.4)

где С - безразмерная величина

Так как критерии подобия - величины нулевой размерности, то

λ1 Z1 + λ2 Z2 + … + λn Zn = 0

μ 1 Z1 + μ 2 Z2 + … + μ n Zn = 0 (1.5)

τ 1 Z1 + τ 2 Z2 + … + τ n Zn = 0


Таким образом, получена система трех уравнений с неизвестными Z1, Z2, ... , Zn. Для выяснения числа независимых решений следует составить матрицу:





λ1

λ2

λ3







μ 1

μ2

μ 3

(1.6)




τ 1

τ 2

τ 3



Обозначим r - ранг матрицы. В таком случае, как известно система (1.5) имеет n-r независимых решений.

Z11, Z21 … Zn1

Z12, Z22 … Zn2 (1.7)

Z1n-1, Z2n-1 … Zn
Тогда, согласно (1.3), каждое решение Z1i, Z2i, Zni позволяет получить один критерий подобия. Причем ранг матрицы не может быть больше числа основных единиц выбранной системы измерения, так как число строк матрицы равно числу основных единиц.

Для правильного понимания и использования данного метода необходимо знать основные теоремы теории подобия [2].




Каталог: files
files -> Истоки и причины отклоняющегося поведения
files -> №1. Введение в клиническую психологию
files -> Общая характеристика исследования
files -> Клиническая психология
files -> Валявский Андрей Как понять ребенка
files -> К вопросу о формировании специальных компетенций руководителей общеобразовательных учреждений в целях создания внутришкольных межэтнических коммуникаций
files -> Русские глазами французов и французы глазами русских. Стереотипы восприятия


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница