Вторая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что теория, включаю



Скачать 13.49 Kb.
Pdf просмотр
Дата27.04.2018
Размер13.49 Kb.


Вторая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что теория, включаю- щая арифметику и непротиворечивая, не просто не может доказать какое- то истинное утверждение, а не может доказать конкретное утверждение о собственной непротиворечивости.
Основная идея доказательства в том, что из доказательства утверждения,
утверждающего свою непротиворечивость, следует несуществование это- го самого доказательства (а объект, который можно предъявить, доказуемо существует). Если бы непротиворечивость была доказуема, сведение суще- ствования доказательства к противоречию доказывало бы несуществование доказательства. Но оно недоказуемо по первой теореме Гёделя о неполноте.
Таким образом, только противоречивые теории, содержащие арифмети- ку, могут доказать свою непротиворечивость. Никакое добавление аксиом не поможет.
Кроме того, как мы видели раньше, арифметики без индукции --- даже хотя в арифметике Пеано для них можно доказать теорему Гёделя --- иногда не могут даже доказать непротиворечивость исчисления высказываний.
Невозможность доказать непротиворечивость арифметики Пеано в ней самой означает, что нельзя выделить ``совсем безопасное подмножество''
арифметики и в нём доказать непротиворечивость всей теории.
Будем верить, что арифметика Пеано P A непротиворечива.
Так как ни непротиворечивость арифметики Пеано, ни противоречивость арифметики Пеано недоказуемы, можно представить себе модель арифме- тики Пеано с дополнительной аксиомой ``арифметика Пеано противоречи- ва''. Модель будет удовлетворять аксиомам арифметики, но при попытке ис- пользовать её в качестве натуральных чисел для нумерации формул всегда будет находиться доказательство противоречия в арифметике Пеано.
Заметим, что если у нас в арифметике есть операция добавления едини- цы, то любая модель должна включать все натуральные числа метатеории
--- и наследовать все её проблемы.
Есть два радикальных способа уйти от этой проблемы.
Один состоит в том, чтобы сказать, что больших натуральных чисел во- обще нет. Или сказать, что они есть, но неправильные. Например, сказать,
что сложение определено не на всех натуральных числах, но на тех, кото-
1

рые мы можем предъявить, оно определено (реализовать это можно через индуктивные определения, не утверждая, что они применимы для всех на- туральных чисел). Ещё более радикальный вариант --- это сказать, что боль- ших натуральных чисел нет, но к каждому числу можно прибавить 1. Эта теория будет классически противоречива, но при некоторых ограничениях на способы записи можно добиться того, что никакое доказательство про- тиворечия не будет помещаться в видимую часть Вселенной.
Другой состоит в применении логик, разрешающих противоречия и не разрешающих вывод чего угодно из противоречия. Такие логики, напри- мер, ценны при попытках делать выводы на основе данных, собранных из большого количества независимых источников. Например, одна из них, ло- гика парадокса, приписывает каждому высказыванию одно из двух или оба истинностных значения, и реализует связки по принципу всех возможных результатов. В ней те же тавтологии, что и в классической логике, так как все классические оценки реализуются, а добавление вариантов истинности не может устранить (возможную) истинность формулы. С другой стороны,
если A может быть и истинно и ложно,а B заведомо ложно, то A
→ B может быть и истинно и ложно и правило modus ponens не работает.
2

Каталог: postscript


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница