Виктор Светлов. Научный вывод: Байесовская парадигма На мой взгляд, на русском языке выходит недостаточно книг по байесовскому подходу, поэтому «я делаю стойку»


Теорема Байеса: основная идея и ее формализация



Скачать 180.28 Kb.
страница2/7
Дата10.05.2018
Размер180.28 Kb.
1   2   3   4   5   6   7
    Навигация по данной странице:
  • Р(Н|Е)

Теорема Байеса: основная идея и ее формализация


Наш мозг представляет байесовское устройство, познающее окружающий мир путем предсказаний и поиска причин наших ощущений.
Крис Фрит. Мозг и душа. Как нервная деятельность формирует наш внутренний мир.

Теория вероятностей допускает прямое и обратное применение. Прямое: если известна причина (ее объективная вероятность), всегда можно узнать ее следствие — предсказываемую вероятность ее наблюдаемого проявления, т.е. фиксируемое в опыте значение относительной частоты. Обратное: если известны вероятности следствий, можно вычислить вероятности их предполагаемых причин.

Пусть Н обозначает гипотетическую причину некоторого события Е. ¬Н – дополнение Н (множество возможных причин события Е, несовместимых с причиной Н); ¬Е — дополнение Е (множество событий в качестве возможных следствий причины Н, несовместимых с событием Е). Тогда НЕ обозначает: причина Н действует и событие Е происходит; Н¬Е — причина Н действует, но событие Е не происходит; ¬НЕ — причина Н не действует, но событие Е наступает; ¬Н¬Е — ни причина Н не действует, ни событие Е не происходит (рис. 3).

Рис. 3. Полное поле возможных результатов действия причины Н и реализации ее следствия Е

Вероятность Р(Н), измеряющую степень доверия исследователя к истинности гипотетической причины Н, независимой от планируемого опыта, принято называть априорной (доопытной) вероятностью Н. Вероятность Р(Н|Е) принято называть апостериорной вероятностью причины Н относительно происшедшего события Е. Сравнение априорной и апостериорной вероятностей одной и той же гипотезы Н дает информацию о влиянии происшедшего события на возможное изменение степени доверия исследователя к анализируемой причине.

Простейший вариант теоремы Байеса:



Ее основная идея состоит в том, что апостериорная вероятность Р(Н|Е) гипотезы Н всегда является частью абсолютной вероятности Р(Е) происшедшего события Е и совпадает с ней только в том случае, если ее дополнение ¬H несовместимо с Е (так как в этом случае имеет место Р(¬HЕ) = 0). Тем самым теорема Байеса доказывает, что апостериорная вероятность произвольной гипотетической причины Н представляет отношение вероятности ее совместной истинности с событием Е к сумме аналогичных вероятностей для Н и ¬Н относительно события E.

Допустим, подбрасывается монета, вероятность выпадения герба которой не известна и ограничена значениями 1/2 или 1. Соответственно в качестве гипотетических причин выступают предположения: Н1 = {Р(Г) = 1/2} и Н2 = {Р(Г) = 1}. Априорные вероятности гипотез одинаковы: Р(Н1) = Р(Н2) = 1/2. В первом опыте выпал герб: Е1 = Г1. Спрашивается, какая из указанных гипотез наиболее вероятна на основании Е1?

Перепишем равенство (1) с учетом начальных условий. Это позволит вычислить апостериорные вероятности гипотез Н1 и Н2 после выпадения герба в первом подбрасывании, т.е. после реализации события Е1:





Мы видим, что P(H1) = 1/2 > Р(H1|E1) = 1/3, но Р(Н2) = 1/2 < Р(Н22) = 2/3, что говорит о том, что выпадение герба в первом подбрасывании уменьшает доверие к гипотезе H1, как истинной причине события Е1 и увеличивает аналогичные шансы гипотезы H2.

Вычисление апостериорных вероятностей возможных причин наблюдаемых событий составляет первую часть применения теоремы Байеса. Вторую часть образует вычисление вероятностей предсказаний новых событий на основании вычисленных априорных вероятностей. Обе части применения теоремы Байеса образуют цикл все более точного познания (объяснения и предсказания) вероятностей причин и их следствий с любой желаемой степенью (рис. 4).

Рис. 4. Цикл применения теоремы Байеса для объяснения и предсказания наиболее вероятных причин и следствий

Формула (1) вместе с обосновывающими их логико-математическими и методологическими положениями образуют концепцию индуктивной вероятности — логико-методологическое ядро обратного применения теории вероятностей. Основное допущения индуктивной концепции вероятностей: вероятности гипотез и совершаемых на их основе предсказаний имеют сложную концептуальную природу, так как зависят от наблюдаемых частот, логических особенностей языка, личной веры исследователя в правоту или ложность рассматриваемой гипотезы одновременно. Будучи чувствительными к концептуальным допущениям, индуктивные вероятности могут отражать влияние не только непосредственно наблюдаемых факторов, но и более фундаментальных факторов, скрытых, как правило, от наших глаз. Сила индуктивных вероятностей состоит также в том, что они представляют собой гибкий инструмент познания. Изменяясь в соответствии с накапливаемыми данными, индуктивные вероятности позволяют успешно учиться на опыте и, что самое главное, исправлять допущенные ранее ошибки и неточности.

Кроме математического значения, теорема Байеса имеет фундаментальный теоретико-познавательный смысл, который станет более очевиден при анализе фундаментальных и дискуссионных проблем индукции, абдукции и формализации основных паттернов научного вывода.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница