Управление технологическими процессами


Модели линейного программирования



страница9/16
Дата10.05.2018
Размер1.04 Mb.
ТипКонспект
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16

2.1. Модели линейного программирования

2.1.1. Планирование производства


Современный подход к производственным операциям некоторого предприятия состоит в том, что каждый вид продукции описывается в терминах количества ресурсов, необходимых для производства единицы данного вида продукции. Само производство данной единицы рассматривается как совместное использование некоторых наличных ресурсов. Перед руководителем предприятия стоит следующая задача: определить, сколько нужно произвести единиц каждого вида, чтобы предприятие получило максимальный доход при наличии ограничений, связанных с количеством ресурсов, имеющихся в его распоряжении. Это довольно упрощённый подход представляет собой, тем не менее, мощный метод исследования широкого круга производственных процессов. Его неотъемлемую часть составляет линейная модель.

Пусть фирма изготовляет 4 модели штампов: для коленвала, шатуна, диска и втулки. Кроме основного ингредиента, инструментальной стали, для производства некоторых штампов используется износостойкое покрытие; нам нужна полировка для штампов втулки; во всех случаях требуется фрезеровка и термообработка.

Штамп для коленвала в действительности эквивалентен 5 кг инструментальной стали, 1,0 часу на фрезеровку, 3 часам на термообработку и 0,4 часа на создание покрытия.

Штамп для шатуна эквивалентен 20 кг стали, 1,5 часам на фрезеровку и 8 часам на термообработку.

Штамп для диска эквивалентен 15 кг стали, 2,5 часам на фрезеровку, 1,5 часам на термообработку и 2 часам на покрытие.

Штамп для втулки требует 22 кг стали, 2 часов на фрезеровку, 1 часа на термообработку и 2 часов на полировку.

Наличные ресурсы на неделю: Ринс = 20000 кг инструментальной стали, Рфр=400 часов фонда времени фрезерных станков, Рто=200 часов фонда оборудования для термообработки, Рпк=300 часов фонда времени оборудования для покрытия, Рпо =50 часов фонда времени на полировку. Задача состоит в определении того, как надо распорядиться всеми этими ресурсами, чтобы получить максимальный доход.

Имеются следующие данные относительно дохода от реализации каждой единицы продукции: 4500 руб. за штамп для коленвала; 8000 руб. за штамп для шатуна; 11000 руб. за штамп для диска; 5500 руб. за штамп для втулки.

Сколько единиц продукции каждого вида мы должны произвести? Каким образом получить при этом максимальную прибыль?

Модель линейного программирования отвечает на эти вопросы.

Обозначим число единиц каждого вида штампов коленвала x1, шатуна x2, диска x3 и втулки x4. Если x1 = 10, то будет сделано 10 штампов для коленвала. Для каждого штампа x1 используются ресурсы: 5 кг стали, 1 час фрезерования, 3 часа термообработки, 0,4 часа покрытия. Если будет сделано x1 штампов, то эти ресурсы будут использованы x1 раз. То же самое для остальных видов штампов.

Система неравенств, выражающих ограничения на использование ресурсов:

5 x1+20 x2+15 x3+22 x4  20000,

1 x1+1,5 x2+2,5 x3+2 x4  400,

3 x1+8 x2+15 x3+10 x4  200,

0,4 x1+ 2 x3  30,

0,2 x4  50.

Доход представляется выражением 4500 x1+8000 x2+11000 x3+5500 x4, которое является целевой функцией.

Нам остается теперь найти значения x1, x2, x3, x4, которые сделают значение целевой функции наибольшим.

Если нужно сделать как минимум 50 штампов для коленвала, то надо добавить к этой модели еще одно неравенство x1  50.

Если нужно сделать не более 30 штампов для диска, то надо добавить неравенство x3  30.

2.1.2. Планирование производства и хранения


Рассмотрим положение производителя сезонного продукта, который должен распланировать помесячно выпуск этого продукта на следующий год.

Предприниматель обязан ежемесячно удовлетворять потребности.

Он может обеспечить месячный спрос, либо произведя полностью требуемое количество в течение того же месяца, либо произведя часть этого количества и покрывая разницу за счет перепроизводства в предыдущих месяцах.

Однако график колеблющегося выпуска связан с чрезмерными затратами в течение периодов повышенного спроса и затратами из-за простоев обслуживающего персонала и оборудования в течение месяцев с пониженным спросом. С другой стороны, предприниматель, столкнувшись с колебаниями спроса, может произвести излишек продукта в период пониженного спроса с тем, чтобы сохранить его и использовать в период повышенного спроса. Процесс производства тогда может быть сделан совершенно стабильным. Однако вследствие повышения затрат, связанных с хранением излишков на складах, такое решение может оказаться неприемлемым, если оно ведет к сравнительно большим месячным излишкам.

Задачи такого рода иллюстрируют трудности, возникающие при наличии противоречивых факторов. Здесь необходимо определить график выпуска продукции, при котором минимизируется сумма затрат, возникающих из-за колебаний производства и хранения. В таких задачах удовлетворительное планирование означает определение и принятие промежуточного плана, заключённого между двумя крайними планами, один из которых минимизирует излишки, а другой – колебания производства. Оптимальный график производства будет зависеть от соотношения убытков, связанных с противоречивыми причинами.

Разработаем математическую модель этой задачи. В начале первого месяца предприниматель имеет на складе определённое количество, скажем s0, продукта, оставшегося от предшествующего производства. Если предполагается производить продукт нового типа, то считаем s0 = 0.

Пусть xt – число единиц продукта, произведённого в течение месяца t (выпуск продукции); rt – необходимое в месяце t количество единиц продукта (потребность); st – число не использованных после месяца t единиц продукта (запас).

По существу задачи имеем xt  0, rt  0, st  0 для всех значений t. Для первого месяца производство x1 и предшествующий запас продукта s0 должны быть таковы, чтобы их сумма была более или равна потребности r1. Отсюда следует соотношение x1 + s0r1.

Если полученное соотношение удовлетворяется как равенство, то запас после первого месяца должен быть равен нулю. Если имеет место неравенство, то s1>0. В обоих случаях имеем x1 + s0r1 = s1, или x1 + s0s1 = r1.

Для второго месяца производство x2 и предшествующий запас s1 в сумме должны быть более или равны потребностям второго месяца r2. Имеем тогда соотношение x2 + s1r2, или x2 + s1s2 = r2.

Вообще, производство xt, запас st и потребность rt связаны соотношением

xt + st–1st = rt.

Предприниматель стремится свести к минимуму колебания графика выпуска и достичь гладкости процесса производства. Разность между любыми двумя последовательными месячными выпусками продукции, xt xt–1 будет представлять соответствующее расширение или свёртывание производства. Так как любое число может быть представлено в виде разности двух неотрицательных чисел, получаем:



xtxt–1 = ytzt,

где yt  0 представляет расширение производства, а zt  0 – его свёртывание.

Получили основные уравнения этой модели:

xt + st–1strt =0,

xtxt–1yt + zt = 0.

Здесь xt  0, st  0, yt  0, t = 1, 2, ..., n. Если в конце года желательно свести к нулю окончательный излишек продукта, полагаем sn = 0. В зависимости от условий модели x0  0, s0  0.

Предприниматель, разумеется, заинтересован в получении максимума прибыли. Очевидно, его доход будет зависеть от колебаний графика выпуска продукции и связанных с этим излишков произведённого продукта. Из опыта прошлых лет предпринимателю известно, какова стоимость расширения производства на одну единицу между (t–1)-м и t-м месяцами, а также стоимость хранения одной единицы в течение одного месяца. Пусть этими стоимостями будут соответственно а долларов и b долларов. Тогда желательно минимизировать целевую функцию

.

Если а весьма мало, то соответствующим оптимальным планом будет график, связанный с наибольшими колебаниями производства и наименьшими запасами.

Если b весьма мало, то соответствующим решением будет график, приводящий к наибольшим запасам и наименьшим колебаниям производства.

Отметим, что для 12 периодов времени, т.е. для n=12, модель включает 24 уравнения с 48 неизвестными.


2.1.3. Планирование снабжения инструментами


Некий поставщик хочет определить, сколько инструментов данного вида, например фрез данного типа, ему нужно купить, а сколько отправить на переточку, чтобы постоянно иметь достаточное их количество для своих клиентов. Поставщик стремится достигнуть правильного баланса между покупками и переточками, чтобы минимизировать общую стоимость подсистемы инструментов. Проблема заключается в том, чтобы построить модель линейного программирования для задачи о снабжении инструментов.

Первая стадия построения модели – сбор данных. Определим количество фрез, необходимых для работы в течении 7 дней: 1) понедельник – 5; 2) вторник – 6; 3) среда – 7; 4) четверг – 8; 5) пятница – 7; 6) суббота – 9; 7) воскресенье – 10. Каждую покупку новых фрез можно совершить в любой день и вовремя получить по цене 250 рублей за штуку. На предприятии есть 2 участка. На участке №1 фрезу могут заточить за 2 дня, причем это обойдется в 150 рублей, а на участке №2 ту же работу выполняют за 3 дня по цене 100 рублей за штуку.

Допустим, что мы использовали все старые фрезы, так что у нас не осталось ни одной штуки, и построим модель линейного программирования по нашим данным. Во-первых, введем обозначения. Пусть n1, n2, n3, n4, n5 – количество новых фрез, купленных в соответствующий день. Аналогично пусть k1, k2, k3, k4, k5 и q1, q2, q3, q4, q5 – количество фраз, отправленных на участки №1 и №2. Пусть d1, d2, d3, d4, d5 означает количество фрез, не отправленных на переточку в соответствующий день.

Поскольку мы хотим минимизировать общую сумму, необходимую для поддержания количества доточенных фрез на должном уровне, не следует покупать фрез больше, чем требуется в данный день, или отправлять фрезу на переточку, если она не будет использована в дальнейшем.

В первый день наших операций, мы должны купить точно такое же количество фрез, какое требуется. По окончании работы мы можем выбирать: послать ли все или некоторые из 5 изношенных фрез на участок №1 или на более медленный участок №2, или оставить их на складе. То, что происходит с этими 5 фрезами, можно представить уравнениями

n1=5,

k1+q1+d1=5.

Общая стоимость всех операций 1-го дня равна 250n1+150k1+100q1 (рублей).

Для работы в среду можно использовать k1 фрез, отправленных на переточку в 1 день, в то время как q1 фрез будут готовы к 4 дню. Точно так же d1 фрез, не отправленных в 1 день, можно отправить на следующий день.

Для работы во второй день мы снова должны купить некоторое количество фрез, а именно



n2= 6.

После их использования мы поступим с ними и с d1 изношенными фрезами согласно уравнению



k2+q2+d2=6+d1.

Оно выражает тот факт, что у нас скопилось d1 изношенных фрез, оставшихся с 1 дня, и ещё 6, оставшихся со 2 дня; мы можем либо отдать их на восстановление, либо оставить в цехе. Стоимость всех операций во 2 день составляет 250n2+150k2+100q2.

Мы можем теперь непосредственно выписать оставшиеся уравнения нашей модели. Предположим, что нас интересует эффективный способ инструментообеспечется только за одну неделю и, следовательно, мы не будем отдавать фрезы на восстановление, если они не вернутся назад к воскресенью.

Для среды



n3+k1=7,

k3+q3+d3=7+d2,

а стоимость операции в 3 день равна 250n3+150k3+100q3.

Для четверга

n4+k2+q1=8,

k4+q4+d4=8+d3,

стоимость операции в четверг составит 250n4+150k4+100q4.

Для пятницы

n5+k3+q2=7,

k5+d5=7+d4,

с общей стоимостью 250n2+150k5.


Для субботы

n6+k4+q3=9,

d6=9+d5,

с общей стоимостью 250n6.

Для воскресенья

n7+k5+q3=10,

d7=10+d6,

с общей стоимостью 250n7.

Объединяя полученные выше уравнения, мы видим, что наша задача заключается в том, чтобы найти величины n, k, q, d, которые удовлетворяют приведенным выше линейным уравнениям и минимизируют функцию стоимости

250(n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7)+150(k1+k2+k3+k4+k5)+100(q1+q2+q3+q4).

Вычисления показывают, что если покупки и восстановление производить так, как указано ниже, то заточенных фрез хватит для каждой работы: n1=50, k1=0, d1=0, n2=60, k2=0, d2=0, n3=70, d3=0, n4=30, q1=50, d4=0, n5=0, k3=10, q2=60. d5=20, n6=0, k4=30, q3=60, d6=90, n7=0, k5=50, q4=50, d7=100. Общая стоимость в рублях 210·250+90·150+220·100=8800, причём чтобы сделать 520 ожидаемых работ, придётся купить 210 новых фрез.


Каталог: general information -> institutes -> engineering institute -> department of quot mechanical engineering quot -> educational-methodical-activity
educational-methodical-activity -> Конспект лекций Омск 2007 удк
educational-methodical-activity -> Математическое моделирование элементов конструкции и технологического процесса механической обработки детали на основе теории графов
educational-methodical-activity -> Конспект лекций ч. 1 Омск
general information -> Тесты для аспирантов (общие вопросы философии науки) Базовый уровень
general information -> Программа вступительного экзамена по специальности


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница