Управление технологическими процессами



страница15/16
Дата10.05.2018
Размер1.04 Mb.
ТипКонспект
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16

5. Теория игр


Все рассмотренные нами до сих пор модели относились к тем ситуациям, когда нет сил, противодействующих лицу, которое принимает решение. Между тем гораздо более многочисленны так называемые конфликтные ситуации, в которых различные участники имеют не совпадающие между собой интересы. Математический аппарат, пригодный для их моделирования и получивший название теории игр, существенно отличается от рассмотренного ранее. Здесь будут приведены лишь простейшие результаты этой теории, заинтересовавшемуся читателю рекомендуем обратиться к специальной литературе.

Под словом «игра» мы будем понимать совокупность правил, руководствуясь которыми участники – игроки принимают решения. Предполагается, что результатом игры является плата, которую в соответствии с правилами проигравший платит выигравшему. Ради простоты ограничимся рассмотрением одноходовых игр, в которых участвуют два игрока А и В, причем проигрыш одного, например В, равен выигрышу другого, т. е. А. Обычно их называют «играми двух лиц с нулевой суммой». Для того чтобы полностью определить такую игру, нужно задать таблицу платежей – платежную матрицу. Поясним это на примере. Пусть задана матрица



Игрок А должен выбрать одну из строк матрицы. Игрок В, не зная результата его выбора, должен выбрать один из столбцов. Число, стоящее на пересечении выбранных строки и столбца, определяет выигрыш игрока А. (Выигрыш игрока В равен этому же числу с обратным знаком). Например, если А выбрал вторую строку (будем говорить вторую стратегию), а В – третий столбец (третью стратегию), то А выигрывает, а В проигрывает 5 единиц.






Основной вопрос, который возникает в теории игр, состоит в следующем: существует ли наилучший способ игры для каждого из игроков, т. е. имеются ли у них оптимальные стратегии? Прежде чем сформулировать окончательный результат, обратимся к нашему примеру.

Сразу видно, что игроку А выгоднее всего выбирать первую стратегию, так как элементы первой строки соответственно больше элементов второй и третьей строк. Точно так же игроку В выгоднее всего выбирать вторую стратегию, так как элементы второго столбца соответственно меньше элементов остальных столбцов.

Следовательно, благодаря специфическому свойству данной платежной матрицы найдены оптимальные стратегии игроков: А –первая стратегия, В – вторая стратегия. Число 4 (стоящее на пересечении первой строки и второго столбца) в этом случае носит название цены игры. Смысл этого термина такой: цена игры – это та плата, которую получает оптимально играющий игрок, играя с другим оптимально играющим игроком. Ясно, что первая стратегия игрока А обеспечивает ему выигрыш не менее 4, а вторая стратегия игрока В гарантирует ему проигрыш не более 4.

Имеется и другое свойство, встречающееся гораздо чаще и облегчающее поиск оптимальных стратегий. Снова рассмотрим пример.

Пусть платежная матрица имеет вид

Если игрок А выберет первую стратегию, то как бы ни действовал игрок В, уж одну единицу-то он выигрывает. Если игрок А выбирает вторую стратегию, то гарантированный выигрыш составляет 4. В третьей же стратегии гарантируется проигрыш не более трех. Ясно, что предпочтительнее всего для игрока А именно вторая стратегия. Подобные же рассуждения показывают, что для игрока В наилучшей является третья стратегия, так как она обеспечивает наименьший из возможных максимальных проигрышей.

Если оказывается, что наибольший из минимальных выигрышей в точности равен наименьшему из возможных максимальных проигрышей, т. е. если минимум в какой-нибудь строке совпадает с максимумом в соответствующем столбце, то эти строка и столбец являются оптимальными стратегиями игроков. Точка их пересечения называется седловой точкой платежной матрицы. В последнем примере седловой точкой является число 4, которое и будет ценой игры.

Но далеко не каждая матрица имеет седловую точку. Как же находить оптимальные стратегии игрокам, если платежные матрицы не обладают приведенными выше свойствами?

Оказывается, что залог успеха при многократной игре с одной и той же матрицей состоит в выборе своих стратегий с определенными частотами. В отличие от обычной, так называемой чистой стратегии, эти стратегии называются смешанными. Доказано, что для всякой игры с нулевой суммой всегда существуют оптимальные смешанные стратегии. Если игра проводится один раз, то лучше всего для игроков избирать стратегии, пользуясь каким-либо подходящим правилом случайного выбора, который каждой чистой стратегии сопоставляет вероятность выбора, пропорциональную соответствующей частоте.


Каталог: general information -> institutes -> engineering institute -> department of quot mechanical engineering quot -> educational-methodical-activity
educational-methodical-activity -> Конспект лекций Омск 2007 удк
educational-methodical-activity -> Математическое моделирование элементов конструкции и технологического процесса механической обработки детали на основе теории графов
educational-methodical-activity -> Конспект лекций ч. 1 Омск
general information -> Тесты для аспирантов (общие вопросы философии науки) Базовый уровень
general information -> Программа вступительного экзамена по специальности


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница