Республики казахстан



Скачать 355.71 Kb.
страница2/7
Дата10.05.2018
Размер355.71 Kb.
ТипУчебно-методический комплекс
1   2   3   4   5   6   7

, формула Бернулли


а) - менее к раз;

б) более к раз;

в) не менее к раз;

г) не более к раз;

д) не менее к1 раз и не более к2 раз;

е) хотя бы один раз





Формулы Лапласса

Локальная теорема Лапласса

Интегральная теорема Лапласса

,




Формула Пуассона

, где



Наивероятнейшее число

np – q  np + p наивероятнейшее число


а) если (np – q) - дробное, то к0 одно

б) если (np – q) - целое, два наивероятнейших числа: к0 и к0 + 1;

в) если p - целое, то к0  np .




Дискретная случайная величина

Закон распределения




Числовые характеристики дискретной случайной величины

Математическое ожидание


Дисперсия



Среднее квадратическое отклонение





Биномиальный закон распределения

Вероятности формула Бернулли

Математическое ожидание

Дисперсия




Гипергеометрический закон

Вероятности




Закон Пуассона

Вероятности , формула Пуассона


Математическое ожидание

Дисперсия




Непрерывная случайная величина





Функция распределения (интегральная функция)

.

Плотность распределения (дифференциальная функция)







Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание

Дисперсия


Вероятность попадания в заданный интервал





Равномерное распределение

Функция распределения Плотность распределения



Математическое ожидание

,

Дисперсия

Вероятность попадания в интервал




Показательное распределение

Функция распределения


Плотность распределения

Математическое ожидание

Дисперсия

Вероятность попадания в интервал



Р(axb)=e-a – e-b



Нормальное распределение

Плотность распределения

f (x)=

Математическое ожидание

М (Х)=а


Дисперсия

D (Х)=

Вероятность попадания в интервал

Р ()=Ф () – Ф (),




Закон больших чисел

Неравенство Чебышева

Р () или Р()-

Теорема Чебышева

Теорема Бернулли



или Р()1- или Р()=2Ф()





Энтропия- мера неопределенности испытания

Н (Х)=- для дискретной величины

H(X)=- для непрерывной величины





Элементы математической статистики

= средняя арифметическая (-c)2 дисперсия




Эмпирическая функция

Fn(x)=



Критерии согласия

Критерий Пирсона (критерий ): мера расхождения
Критерий Колмогорова: - мера расхождения

Критерий Романовского: - мера расхождения





Доверительные интервалы









Случайные двумерные величины (дискретная)

Условные математические ожидания


Условные вероятности





Случайные двумерные величины (непрерывная)

Условные математические ожидания



Функция распределения

Плотность распределения

Отсюда функция распределения

Плотности вероятностей одномерной случайной величины

Ковариация

или

Коэффициент корреляции






Теория корреляции

Метод наименьших квадратов

Уравнение прямых регрессий у на х (х на у)



Ух -=(х -) и Ху -=(у-) коэффициентами регрессии у на х (х на у). = и


Лекция 1. История развития теории вероятностей

Теория вероятностей возникла в середине XVII века. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами.

Следующий (второй) период истории теории вероятностей ( XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы).

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в XVIII в. ряд трудов по теории вероятности был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей,связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии).

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже. Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной теории вероятностей.

Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.

В 20-х гг. ХХ в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального.

В Западной Европе во 2-й половине ХIX в. получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии - А. Кетле, в Англии - Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии - Л. Больцман), которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории теории вероятностей характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования теории вероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень большом усилении работы по теории вероятностей за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) современная наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития теории вероятностей открывается деятельностью С.Н. Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям теории вероятностей к естествознанию им математической статистике.

 Ряд важнейших основополагающих работ в различных областях теории вероятностей и математической статистики принадлежат А. Н. Колмогорову. Он дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав её с одним из важнейших разделов современной математики – метрической теорией функций. Особое значение имеют работы А. Н. Колмогорова в области теории случайных функций (стохастических процессов), которые в настоящее время являются основой всех исследований в данной области. Работы А. Н. Колмогорова, относящиеся к оценке эффективности, легли в основу целого нового научного направления в теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности боевых действий. 

В. И. Романовский (1879 - 1954) и Н. В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е. Е. Слуцкий (1880 - 1948) – в теории случайных процессов, Б. В. Гнеденко – в области теории массового обслуживания, Е. Б. Дынкин – в области марковских случайных процессов, В. С. Пугачев – в области случайных процессов в применении к задачам автоматического управления.

Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи с настоятельными требованиями практики. Преимущественным вниманием пользуются, как и у нас, вопросы, относящиеся к случайным процессам. Значительные работы в этой области принадлежат, например, Н. Винеру, В. Феллеру, Д. Дубу. Важные работы по теории вероятностей и математической статистике принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.

За последние годы мы стали свидетелями рождения новых и своеобразных методов прикладной теории вероятностей, появление которых связано со спецификой исследуемых технических проблем. Речь идет, в частности, о таких дисциплинах, как «теория информации» и «теория массового обслуживания». Возникшие из непосредственных потребностей практики, эти разделы теории вероятностей приобретают общее теоретическое значение, а круг их приложений постоянно увеличивается.
Лекция 2. Анализ учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики»

Попытка построения вероятностно-статистической линии в базовом курсе математики предпринята в следующих учебниках:

1. «Математика, 5», «Математика, 6», под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. 5-й класс: решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов, что иллюстрируется с помощью построения дерева возможных вариантов. Рассматриваются понятия: случайные, достоверные, невозможные и равновероятные события. В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). 6-й класс: добавляются круговые (для представления соотношения между частями целого); комбинаторика: логика перебора и правило умножения, новый способ решения комбинаторных задач — с помощью правила умножения, вероятность случайных событий. Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах, вводится понятие «частота и вероятность случайных событий».

2) «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9», под ред. Г.В. Дорофеева. 7-й класс: основные статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, размах; решение комбинаторных задач с помощью рассуждений, перестановки; вероятность и частота случайных событий. 8 класс: повторение статистических характеристик, вводится новая характеристика — медиана; таблицы частот; классическое определение вероятности. 9 класс: статистические исследования, водится определение статистики; выбор, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки; полигоны, выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

3) «Математика, 5», «Математика, 6», И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. 5 класс: достоверные, невозможные и случайные события и задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное); комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов. 6 класс: понятие вероятности; классическое определение вероятности; комбинаторное правило умножения. Одним недостатком, является то, что авторами вводится лишь классическое определение вероятности и не рассматривается понятие частоты. А более логично и целесообразно вводить классическое определение на основе частного.

4) Некоторые учебные комплекты пополнились дополнительными пособиями, содержащими материал по стохастике. «Алгебра: элементы статистки и теории вероятностей», под ред. С. А. Теляковского, Ю. Н. Макамрычев, Н. Г. Миндюк. Это пособие предназначено для учащихся 7–9-х классов, оно дополняет учебники Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9» под редакцией С.А. Теляковского. Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. 7 класс: «Статистические характеристики», простейшие статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана, размах. 8 класс: организация статистических исследований, наглядное представления статистической информации (таблицы частот); интервальный ряд, сплошное и выборочное исследование, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность; полигона и гистограмма. 9 класс: элементы комбинаторики; метод перебора возможных вариантов; дерево исходов; правило умножения; перестановки, размещения,сочетания, случайное событие и относительная частота случайного события, статистическое и классическое определения вероятности; теоремы сложения и умножения вероятностей.

5) «Элементы статистики и вероятность», автор М. В. Ткачев. 7 класс. «Введение в комбинаторику», история комбинаторики; (сочетания, перестановки и размещения), правило умножения; графыв. 8-й класс: случайные события; классическое определение вероятности, решение вероятностных задач с помощью комбинаторики; геометрическая вероятность, противоположные события и их вероятность, относительная частота и статистическое определение. 9-й класс: случайные величины дискретной и непрерывной, таблицы распределения значений случайной величины и его графическое представление (полигоны), генеральная совокупность и выборка, мода, медиана, размах, отклонения от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и правило трёх сигм.

6) «События, вероятности, статистическая обработка данных», авторы А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Простые комбинаторные задачи, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Случайные события и их вероятность. Вводится классическое определение вероятности. Стаатистика, представление информации в виде таблиц, таблица распределения и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана), экспериментальные данные и вероятности событий, в котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится.

7) «Вероятность и статистика. 5-9 классы». Авторы Е. А. Бунимович, В. А. Булычев. Случайных события и сравнения их вероятности. Понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). Статистическое определение вероятности, классическое. Правила умножения, вычитания, сочетания и число сочетаний. Вопросы статистического оценивания и прогнозирования.

8) «Теория вероятностей и статистика», авторы Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров.Это пособие предназначено для учащихся 7–9-х классов. Таблицы и диаграммы. Столбиковая, круговая диаграммы и диаграмма рассеивания. «отклонение» и «дисперсия». Случайные события и их вероятности. Элементарные события, их равновозможность, противоположные события, диаграммы Эйлера, объединения и пересечения событий, сложение и умножение вероятностей. Комбинаторика, где рассматривается правило умножения, перестановки, сочетания, формулы числа перестановок и сочетаний, а затем с их помощью решаются задачи на вычисление вероятностей. В отдельных главах рассматриваются геометрические вероятности и испытания Бернулли.


Лекция 3. Статистическое мышление и школьное математическое образование

Статистическое мышление формируется из следующих взаимосвязанных компонентов: формирование статистической культуры; формирование комбинаторного мышления; развитие вероятностной интуиции.

Статистическая культура включает в себя умение воспринимать, читать и анализировать статистическую информацию и представлять ее в различной форме (таблицы, диаграммы, кривые распределений) с целью получения правильных выводов о характере явлений.

Комбинаторное мышление включает в себя умение определять все исходы рассматриваемого явления, выделять из полного пространства исходов выборки по определенному признаку.

Вероятностная интуиция включает в себя умение оценивать шансы, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать ситуации, применять статистический подход к анализу явлений.

Вероятностная и статистическая компоненты статистического мышления при обучении спецкурсу должны органично дополнять друг друга. Взаимосвязь вероятностной и статистической составляющих обеспечивается сочетанием статистических средств и вероятностных методов для решения реальных задач. В результате обучения школьники усваивают представление о статистических данных как о реализации случайных величин, а вероятностные методы используются для анализа статистических данных. Сначала вводится статистическое определение вероятности, а затем для случаев, когда есть симметрия исходов испытаний, дается классическое определение.

Как показывает мировая практика начинать формирование вероятностного мышления в вузе  поздно, очень трудно перестроить сформировавшееся детерминистское мышление. Поэтому преподавание теории вероятностей и математической статистики представляет большую проблему, которую невозможно считать лишь проблемой высшей школы. Требуется определенная вероятностная направленность курса школьной математики, т.е. не одноразовое обращение к этим вопросам, а длительное и настойчивое формирование вероятностного мышления, начиная с младших классов.

Сейчас в общем курсе школьной математики появились элементы статистики, комбинаторики и вероятности. Но необходимо не просто научить учеников решать какие-то частные задачи, но и выработать у них элементы вероятностно-статистического мышления.

В числе характерных особенностей математического мышления Г. Вейль называл комбинаторный способ представления (сопоставления) различных математических и иной природы объектов. Эту особенность можно назвать комбинаторным стилем мышления. Под комбинаторностью мышления понимается способность мыслить совокупностями образов, подчиненных тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов.

В условиях современной действительности человек сталкивается с необходимостью решения разнообразных нестандартных задач. В связи с этим становятся актуальными такие качества мышления, как гибкость, критичность, глубина, адаптивность, динамизм, способность действовать в условиях конкуренции и ситуациях неопределенности. Современному человеку необходим новый стиль мышления, сочетающий в себе перечисленные качества. Таким стилем мышления является вероятностное мышление.

Вероятностное мышление - это один из видов мышления, в основе которого лежит причинно-следственная связь статистического характера, функционирует на базе понятий случайного события, случайной величины, вероятности события, которые составляют основу принципиально новых закономерностей; в его структуре формируются различные виды вероятностных обобщений.

Специфика вероятностного стиля мышления проявляется в его содержательном и деятельностном аспектах. В содержательном аспекте данный стиль мышления характеризуется тем, что его предметом являются не только вероятности отдельных случайных событий, но и распределения вероятностей, а результатом как детерминистические, так и статистические закономерности - законы, фиксирующие правильную повторяемость явлений в статистической совокупности.

В деятельностном аспекте вероятностный стиль мышления представляет собой аналитико-синтетическую мыслительную деятельность. Эта деятельность опирается как на общие с детерминистическим стилем формы анализа и синтеза, так и на формы, специфические для данного стиля мышления: «индуктивный статистический анализ» (прогнозирование свойств выборочной совокупности на основе теоретических характеристик) и «индуктивный статистический синтез» (распространение свойств выборочной совокупности на генеральную).

Развитие вероятностного стиля мышления требует проведения обучающихся последовательно через все уровни развития его основных приемов: уровень оперирования приемами анализа и синтеза как элементарными действиями, уровень оперирования их комбинациями, уровень оперирования аналитико-синтетическими поисковыми стратегиями, рефлексивный уровень.



Сейчас в учебниках для 6-7-х классов появились элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Но такого краткого знакомства с этими дисциплинами недостаточно. Необходимо не просто научить решать какие-то частные задачи, но выработать элементы вероятностно- статистического мышления.

Для формирования у учащихся функциональной грамотности – умения воспринимать и критически анализировать информацию представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты – в школьный курс математики введен раздел «Вероятность и статистика» - обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение.

В действующем государственном образовательном стандарте основного общего образования сформулированы следующие требования к результатам изучения и освоению содержания предметной области «Математика и информатика» (выборочно в применении к вероятностно – статистической содержательной линии):

- критичность мышления, умение распознавать логически некорректные

высказывания, отличать гипотезу от факта; креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач (личностное направление);

- овладение основными способами представления и анализа статистических

данных; формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о вероятностных моделях; развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью числовых данных с помощью подходящих статистических характеристик, использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений ;

- умение находить в различных источниках информацию, необходимую для

решения математических проблем, и представлять ее в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации.

В силу новизны для школы вероятностно – статистического материала и отсутствия методических традиций возможна вариативность при его структурировании. Начало изучения соответствующего материала может быть отнесено к 7-9 классам. Согласно стандарту его изложения, как в рамках курса алгебры, так и виде отдельного модуля.

Вероятностно-статистический материал обладает огромным воспитывающим потенциалом, его изучение влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.

Введение элементов статистики и теории вероятностей в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается.

Основными целями изучения курса являются следующие.

- Способствовать формированию и развитию умений решения комбинаторных задач, позволяющих ученикам разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определённому правилу.

- Способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции.

- Способствовать развитию творческих способностей и дарований.

- Создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания.

- Создать условия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей

Вероятностно – статистический материал можно распределить таким образом, чтобы он присутствовал на протяжении всего курса средней школы. При изучении данного раздела математики на разных этапах обучения, формируются одни и те же (либо похожие) виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами. С каждым новым этапом изучения стохастической линии материал накапливается, усложняется, дополняется, отрабатывается ранее усвоенные, и формируются новые умения и навыки.

Вопрос о применении материала, изученного в рамках вероятностно – статистической линии, разрешается, если рассматривать этот материал как раздел математики, тесно связанный с другими содержательными линиями предмета. Если новый материал будет изучаться не в рамках одной темы, а на протяжении всего периода обучения, то данная содержательная линия будет естественно входить в структуру всего курса математики. В этом контексте задачи по комбинаторике и теории вероятностей можно интерпретировать как задачи на повторение, закрепление и углубление знаний по уже изученным темам алгебры и геометрии. В свою очередь, задачам из других разделов алгебры и геометрии можно придавать комбинаторную или вероятностную форму.

Чему и как учить в школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу вечных проблем, которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. И это неизбежно, потому что постоянно пополняются наши научные знания и подходы к объяснению окружающих нас явлений. Несомненно, что содержание школьного преподавания должно изменяться с прогрессом науки, несколько отставая от него и давая возможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые в психологическом и методическом отношении формы.

Однако считать, что содержание и характер школьного курса той или иной науки должны полностью определяться состоянием соответствующей научной отрасли знания и господствующими в ней представлениями о центральных ее понятиях, было бы грубейшей ошибкой. Подавляющее большинство школьников не станут специалистами в данной области науки. Из них выйдут как представители иных научных интересов и практических областей деятельности, так и представители свободных профессий - писатели, артисты, художники. Именно поэтому для всех учащихся необходимо получить в школе сведения об установившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний, а кроме того умения логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Школа должна дать представления о том, что наука и ее концепция тесно связаны с практикой, из которой она черпает постановки своих проблем, идеи, а затем возвращает практике новые возможности решения основных ее проблем, создает для нее новые методы. Без этого образование будет неполноценным, оторванным от жизни и создаст для воспитанников школы многочисленные трудности. Вот почему на содержание школьного образования должны оказывать широко понятые требования практики наших дней и обозримого будущего.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности. Даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что "завтра ожидается дождь с вероятностью 40%".

Полноценное существование гражданина в сложном, вариативном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выборы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации.

Мы должны научить детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на демократические принципы мышления, на много вариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно – статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления . Однако не только социально – экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально – экономических наук построены и развиваются на вероятностно – статистической базе. Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, да и в своей жизни он постоянно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий "вероятность" и "достоверность", проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курс школьной математики.

Сегодня в науке фундаментальное значение приобрело понятие случайного и уверенно пробивает себе дорогу отыскания оптимальных решений. Особенно назрела необходимость введения в школьное преподавание концепции случайного, и это вызывается не только требованиями научного и практического порядка, но и чисто методическими соображениями . В то же время классическая система российского образования основана, прежде всего, на отчетливо детерминистских принципах и подходах и в математике, и в других предметах. Если не снять, то хотя бы ослабить противоречие между формируемой в стенах школы детерминистской картиной мира и современными научными представлениями, базирующимися на вероятностно – статистических законах, невозможно без введения основ статистики и теории вероятностей в обязательное школьное образование. Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. Одновременно само знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначным "да" и "нет" существует еще и "быть может" (причем это "быть может" поддается строгой количественной оценке!), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью.

Согласно данным ученых-физиологов и психологов, а также по многочисленным наблюдениям учителей математики падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроках математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую возникает ощущение непроницаемой стены между излагаемым абстрактно-формальными объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету "математика", пропаганде его значимости и универсальности. Наконец, концепция открытого общества, процессы европейской и мировой интеграции неразрывно связанны с взаимным сближением стран и народов, в том числе и в сфере образования. Россия, имея одну из самых мощных и признанных в мире традиций школьного математического образования, одновременно остается едва ли ни единственной развитой страной, где в основном школьном курсе математики нет основ статистики и теории вероятностей . Наметившиеся в нашей стране тенденции экономических преобразований позволяют предположить, что в самом недалеком будущем обществом будут востребованы организаторы и участники производства нового типа, которыми должны будут стать многие выпускники школ. Столь необходимую для их деятельности стохастическую культуру надо воспитывать с ранних лет. Не случайно в развитых странах этому уделяется большое внимание: с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно – статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни.

Число примеров подходов к изучению вероятностно – статистического материала в средней школе можно было бы привести много, поскольку за последние два десятилетия практически каждая страна ввела этот материал в школьную программу и предложила один или несколько подходов к его изучению. Интересные работы появились в Польше, Швеции, Израиле, Франции. Проблемы, связанные с созданием системы изучения вероятностно – статистического материала в средней школе, в нашей стране освещается недостаточно.

Итак, вероятностно – статистическую линию характеризует три вида связей:

- связи внутри предметной линии (между комбинаторикой, теорией вероятностей, математической статистикой);

- внутри предметные связи (с другими разделами математики);

- меж предметные связи (применение вероятностных законов при изучении других школьных предметов).


Лекция 4. Требования к вероятностной подготовке учеников средней школы

Введение вероятностно-статистического материала в базовый курс математики породило немало проблем.

Остро встают проблемы методической готовности учителей к реализации этой линии. Школьников нельзя ориентировать на вузовские варианты построения курса теории вероятностей. Вузовский материал должен быть переосмыслен и лишь тогда перенесен в школу. Учитель обязан владеть специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирование особых, недетерминированных представлений у учащихся.

Одно из главных отличий школьного изучения стохастики состоит в тесной связи отвлеченных понятий и структур с окружающим миром. Поэтому деятельность школьников не должна ограничиваться изучением только готовых вероятностных моделей. Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы ученической деятельности. Учитель призван направлять такую деятельность, а для этого сам должен владеть методами формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий, связанных с принятием решений в реальных (не математических) ситуациях, играет важную роль и требует умелого управления со стороны учителя. Владение искусством стохастических рассуждений — непременное условие успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов и утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа, не должен вызывать растерянности у учителя. Нужно быть гибко мыслящим человеком, лишенным догматической веры в абсолютную истинность чужих выводов.

Особенности стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретации результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации. По этой причине во многих случаях одну и ту же статистическую информацию разные люди могут трактовать по-разному. Примером может служить следующая модель.

Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20% (табл. 1). После этого он заявил, что средний заработок рабочих повысился. Так ли это?



Таблица 1

Заработок

до увольнения

после увольнения

1000 р.

400 р.

800 р.

320 р.

Число рабочих

200

800

200

120

Если вычислить средние характеристики — моду, медиану и среднее арифметическое, то получим, что их значения после увольнения части рабочих будут больше, чем до увольнения. Но в данном случае, если внимательно посмотреть на таблицу, то можно заметить, что жизнь рабочих не улучшилась, а только ухудшилась, не говоря уже о тех, кто вообще потерял работу. Видимость повышения зарплаты создается из-за увольнения значительной части низкооплачиваемых рабочих. Здесь итоги решения математической задачи противоречат здравому смыслу.

Математическая модель, как видно из данного примера, не всегда адекватна практической ситуации.

Выступая в качестве дирижера и помощника учащихся, учитель призван прививать им критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковать статистическую информацию, самостоятельно разоблачить различного рода фальсификации, кажущиеся на первый взгляд правдоподобной информацией.

Учитель должен понимать причины принятия неправильных решений в ходе анализа явлений, происходящих под воздействием случая. Обманчивое впечатление может возникать из-за неполноты статистической информации. Например, рассматривая сведения о числе женщин, занятых в промышленности и в системе образования, можно прийти к выводу, что женский труд преобладает в промышленности:



Где работают

В промышленности

В образовании

Число женщин

129 483

41 769

Однако мнение меняется после того, как дополнительно становится известным, что в образовании работает 57 218 человек, а в промышленности — 264 251 человек. В результате получается, что число женщин составляет около 73% от всех работников образования и меньше 50% от всех работников, занятых в промышленности.

Специфика стохастической линии требует от учителя умений так организовать деятельность школьников, чтобы изучение понятий и методов происходило в форме открытия новых инструментов познания окружающего мира. При обучении стохастике создается благоприятная почва для эвристической деятельности учащихся. У педагогов появляется возможность использования новых, непривычных для уроков математики, подходов к обучению. Определяя уровень усвоения учениками тех или иных стохастических умений, учитель может столкнуться со следующей трудностью: при решении задач ученикам чаще приходится опираться на здравый смысл, а не действовать строго по алгоритму, поэтому ответы разных учащихся на один и тот же вопрос могут звучать по-разному. В данном случае задачей учителя является оценка «права на ошибку» учащегося, поскольку сама такая оценка носит вероятностный характер.

Приступая к обучению школьников стохастике, учитель должен ясно представлять, чем обусловлена необходимость введения новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастики в ряду других тем, знание итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.

Некоторые выводы реализации стохастической линии в основной школе

С самого начала ведется работа по анализу данных (сбор, представление и анализ информации). Работа с таблицами и диаграммами.

В качестве упражнений предлагается провести ряд экспериментов (что необычно для уроков математики и призвано вызвать у учащихся неподдельный интерес) и, опираясь на результаты проведенных опытов, ввести понятие частоты, а потом частотное определение вероятности.

В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматриваются лишь как средство для подсчета вероятности, это сказывается на содержании этого материала в учебниках и месте его изучения. Но комбинаторика ставит и другие цели: в первую очередь — это развитие мышления и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера.

Реализация любой темы в школьном курсе сталкивается с рядом проблем. Одна из них — проблема содержания материала: что именно и в каких количествах изучать в школе. Так как школьный курс ограничен временными рамками, то приходится выбирать некоторый минимум, достаточный для достижения поставленных целей обучения по данной линии и математике вообще.

Опираясь на государственные стандарты образования, анализ учебной и методической литературы, можно выделить следующие моменты в содержании и последовательности изложения материала по данной линии.

Во-первых, необходимо изучать этот материал на протяжении всего курса средней школы. Курс можно разбить на несколько этапов (5–6, 7–8-е классы, 9-й класс). На каждом этапе формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами. На каждом этапе материал усложняется, дополняется, отрабатываются усвоенные ранее и формируются новые умения и навыки.

Важным элементом стохастической линии является работа с данными: их сбор, обработка, представление, анализ, практические выводы. Всем этим занимается статистика.

На первом (подготовительном) этапе обучения необходимо обучить учащихся не только работе с готовыми данными, но и научить их самостоятельно собирать информацию и представлять ее в различных формах. Одним из самых распространенных способов представления информации являются таблицы. Учащиеся часто сталкиваются с ними — это расписание уроков, страница классного журнала, программа телепередач, турнирные таблицы и т.п.

Учащиеся должны научиться анализировать данные, используя таблицы и диаграммы. Это позволит в дальнейшем не останавливаться на обучении работе с табличными данными, а сконцентрировать внимание на обучении делать статистические и практические выводы.

Можно показать практическую значимость таблиц, построенных по результатам опроса общественного мнения (в классной жизни такие таблицы могут быть использованы, например, для организации досуга).

Для представления различных данных также удобно использовать диаграммы.

Одним из направлений стохастической линии является теория вероятностей, и одной из важных задач на первом этапе является формирование понятия вероятность случайного события.

Необходимо познакомить учащихся с понятием «случайное событие» и сформировать у них представление о том, какое событие называется достоверным, какое невозможным и какие события называются равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры, и просить школьников самих приводить такие примеры. Учитель должен все время фиксировать внимание учащихся на случайных событиях в быту, в природе и технике.

Необходимо развивать у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий.

Перед введением понятия «вероятность случайного события» полезно провести эксперименты со случайными исходами и сравнить результаты учащихся с результатами экспериментов, которые неоднократно проводились на протяжении нескольких столетий. Учащиеся с удивлением заметят, что результаты очень похожи. Проведение экспериментов должно возбудить у учащихся неподдельный интерес и, хотя эксперимент является эмпирическим методом обучения, математика не является экспериментальной наукой. Но опыт дает учащимся возможность сделать открытия, увидеть закономерности, а теория вероятностей опирается именно на результаты многочисленных экспериментов.

При проведении опытов учащиеся могут убедиться в том, что с увеличением числа испытаний значения статистической частоты (выбранного для наблюдения исхода) устойчиво сосредотачиваются возле некоторого числа p, которое и называют вероятностью наблюдаемого исхода или события.

Но нужно отметить, что говорить о статистической вероятности мы можем лишь при проведении достаточно большого числа экспериментов. Поэтому всегда возникает вопрос о точности такой оценки вероятности, поскольку не всегда возможно проведение достаточно большого числа экспериментов.

Параллельно с вероятностной линией должна изучаться и комбинаторика. Оптимальный вариант, если работа по формированию комбинаторного мышления начинается уже с начальных классов.

Начинать обучение комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторных задач методом непосредственного перебора. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.

Основными комбинаторными понятиями являются сочетания, перестановки и размещения. Но сами термины вводить не обязательно, главное, чтобы учащийся осознавал, наборы какого типа требуется составить в данной задаче (важен ли порядок и возможны ли повторения).

После того как учащиеся научатся составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов. Очень важно показать его применение при решении комбинаторных задач.

Первое знакомство со статистикой происходит при изучении основных статистических характеристик, при их нахождении и использовании для анализа и практических выводов. При изучении основных статистических характеристик важно понимать их практическую значимость, уметь использовать их для анализа имеющейся информации и делать правильные выводы на их основе.

В продолжение вероятностной линии следующим шагом идет введение классического определения вероятности. Необходимо, чтобы учащиеся понимали разницу между статистическим и классическим определениями вероятности. Чтобы они осознавали, что это не еще одно определение вероятности, а один из способов вычисления вероятности.

Сопоставляя определение классической вероятности и статистической вероятности, заключаем: определение классической вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности; определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, классическую вероятность вычисляют до опыта, относительную частоту — после опыта.

После введения классического определения вероятности можно рассмотреть геометрическую вероятность. В этом случае рассматривается не количество возможных и благоприятных исходов, а отношение площади области, благоприятствующей появлению рассматриваемого случайного события, к площади всей области. То есть геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.



Статистические исследования являются завершающим фрагментом вероятностно-статистической линии курса. Здесь рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания. Также вводятся некоторые новые понятия. Изучение этого материала направлено на формирование умения понимать и интерпретировать статистические результаты.
Лекция 5. Психолого-педагогические аспекты изучения теории вероятностей в средней школе

Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. С этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и о формировании личности с помощью математики, необходимость развития у школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в основном обязательном школьном курсе математики.

Одновременно само знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может», способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью.

Согласно данным ученых – физиологов и психологов, а также по многочисленным наблюдениям учителей математики, в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми абстрактно-формальными объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.

Наконец, концепция открытого общества, процессы европейской и мировой интеграции неразрывно связаны с взаимным сближением стран и народов, в том числе и в сфере образования.

Опыт российских математиков показал, что в возрасте начальных классов еще многое в представлениях ученика о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата, прежде всего обыкновенных дробей, для объяснения представлений о вероятности.

Но начинать изложение основ теории вероятностей в старших классах малоэффективно. Наработанное к этому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированное традиционным курсом математики, желание усвоить на уроке, прежде всего, некоторый набор правил, алгоритмов и методов вычисления фактически заменяет формирование вероятностных представлений формальным выучиванием формул комбинаторики и вычисления вероятности по классической модели Лапласа.

Исследование таких известных психологов, как Пиаже, Е. Фишбейн показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. О том же говорят и эксперименты, проведенные Е. А. Бунимовичем, российским ученым, авторов учебников, содержащих элементы стохастики. В экспериментальных исследованиях вероятностные представления школьников старших классов, приступивших к углубленному курсу математики, но еще не изучавших вероятностные разделы. Результаты исследования недвусмысленно говорят о том, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развитие вероятностного мышления и не избавляет даже от тривиальных вероятностных предрассудков и заблуждений.

Приведем один пример. Учащимся задавали вопрос:

" На одной карточке спортлото (6 из 49) зачеркнуты номера1, 2, 3, 4, 5 и 6,а на другой5, 12, 17, 23, 35 и 41.

Как вы думаете, выигрыш какого набора чисел более вероятен?".

Из всех участников эксперимента 22% старшеклассников ответили, что вероятнее второй карточки. Интересен практически одинаковый ответ двух школьников: " Вообще – то оба случая равновероятны, но второй случай более вероятен", выражающий очевидное противоречие между бытовыми и научными представлениями школьников.

Любопытно, что химико-биологические экономические классы, где курс математики существенно глубже базового, но отсутствует вероятностно – статистический материал, дают почти такой же результат (до 30 % ответов – «выигрыш второго набора более вероятен»). Не сильно отличаются от приведенных данных и результаты ответов на аналогичный вопрос в тесте, предложенном в 2009 году учителям математики на курсах повышения квалификации.

Отметим кстати, что известный любитель математических игр и парадоксов Мартин Гарднер по аналогичному поводу написал, что на самом деле выгодней вычеркивать комбинации 1, 2, 3, 4, 5 и 6 или другую же «регулярную» комбинацию. Шансы на выигрыш те же, а вот сумма при выигрыше может оказаться существенно больше, так как едва ли кому – то придет в голову зачеркнут номера порядка с 1 по 6, и потому в случае удачи не придется ни с кем делить призовой фонд.

Была проведена экспериментальная работа по преподаванию начальных основ вероятности в разных возрастных группах: во 2 –6 классах на занятиях развития творческих способностей; в 5 – 6, 8- 9 и 10- 11 – на уроках математики.

Опыт показал, что в возрасте начальных классов еще многое в представлениях учеников о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата (прежде всего – простых дробей) для объяснений представлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики, таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики, систематический перебор возможных вариантов на небольшом множестве предметов возможно и даже необходимо вводить в курс начальной школы.

Одновременно было обнаружено, что начинать изложение основ теории вероятностей в старших классах – малоэффективно. Наработанное к этому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированное традиционным курсом математики, желание усвоить на уроке прежде всего некоторый набор правил, алгоритмов и методов вычисления фактически заменяет формирование вероятностных представлений формальным выучиванием формул комбинаторики и вычисления вероятности по классической модели Лапласа.

В тоже время, как уже было сказано, обсуждение на качественном уровне вероятностных ситуаций с учащимися старших математических классов, усвоившими достаточно формальный курс основ теории вероятностей, показывает, сколько мало знание формул комбинаторики и классической вероятностной модели способствует развитию вероятностной интуиции изживанию традиционных вероятностных предрассудков.

Как известно, опыт преподавания основ теории вероятностей в школе, на абстрактно – формальном уровне, в традиционной схеме урока дал в основном негативный результаты и привел к изъятию этого материала из школьной программы. Материал оказался сложен, формален, плохо усваивался.

Описанная ситуация во многом схожа с известными проблемами преподавания геометрии в школе, где сегодня можно считать уже общепризнанной необходимость периода «наглядной геометрии» и предварительной работы с учащимися по формированию пространственных представлений до изучения систематических курсов планиметрии и стереометрии.

Работы психологов, на которые мы уже ссылались, также утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет, что примерно соответствует 5-7 классу общеобразовательной школы. При этом очевидно, что связь со сложностью уже исходных понятий классической теории вероятностей, в 5-7 классе абсолютно невозможны аксиоматический подход к понятию вероятности, а часто и локальная дедукция при изложении основ теории вероятностей.

Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтики вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показал, что этот незакрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений ребят. C элементами статистического мышления необходимо начинать знакомить в школе в ряде предметов, а не только в курсе математики. Нужно сделать так, чтобы на уроках ботаники и зоологии, астрономии и физики, русского языка и истории время от времени в нужном месте были сделаны разумные замечания о случайности явлений, которые изучает данная научная дисциплина. Естественно, что математика при этом не может оставаться в стороне. Самые первые представления о мире случайного дети получают из наблюдений за ними в окружающей жизни. При этом важные характерные черты наблюдаемых явлений проясняются в ходе сбора статистических сведений и наглядного их представления. Умение регистрировать статистические сведения и представлять их в виде простейших таблиц и диаграмм уже само по себе характеризует наличие у школьника некоторого статистического опыта. В нем находят отражение самые первые, пусть еще не до конца осознанные представления о неоднозначности и изменчивости реальных явлений, о случайных, достоверных и невозможных результатах наблюдений, о конкретных видах статистической совокупности, их особенностях и общих свойствах. Эти умения дают возможность формировать правильное представление не только о явлениях с ярко выраженной случайностью, но и о таких явлениях, случайная природа которых неочевидна, и затушевана многими осложняющими восприятие факторами.

В быту и на работе выпускник средней школы постоянно сталкивается с необходимостью получения и оформление некоторых сведений. На уроках физики, химии, биологии при выполнении лабораторных и практических работ ученик должен уметь оформить результаты наблюдения и опытов; на уроках географии истории, обществоведения ему необходимо пользоваться таблицами и справочниками, воспринимать информацию, представленную в графической форме. Эти умения необходимы каждому человеку, т. к. со статистическим материалом, представленный в различной форме, он постоянно встречается во всех источниках информации, рассчитанных на массовую аудиторию, - в газетах, журналах, книгах, по телевидению и т. п.

Понимание характера изучаемого стохастического явления связано с умением выделять главное, видеть особенности и тенденции при рассмотрении таблиц, диаграмм и графиков. Простейшие навыки при «чтении» таблиц и графиков позволяют подметить некоторые закономерности наблюдаемых явлений, увидеть за формами представления статистических данных конкретные свойства явлений с присущими им особенностями и причинными связями.

Типические черты изучаемых явлений, их общие тенденции могут быть выявлены с помощью средних статистических характеристик. Умение пользоваться ими характеризует наличие у учащегося представлений, связанных с центральными тенденциями в мире случайного. Понимание смысла самых простых средних показателей, таких, как среднее арифметическое, необходимо каждому ученику.

Стохастический характер окружающих явлений не может быть раскрыт без понимания степени изменчивости. Поэтому возникает необходимость в количественной оценке разброса статистических данных, которая способствует более глубокому пониманию сущности явлений и процессов, дает возможность сравнивать статистические совокупности по степени их вариации.

Одним из важнейших компонентов стохастического мышления является понимание устойчивого в мире случайностей, упорядоченности случайных фактов. Нельзя допустить, чтобы стихийно воспринимаемые в жизни отдельные стороны случайных явлений учащиеся воспринимали вне всяких взаимосвязей. Центральное место занимают здесь представления, связанные с различными экспериментальными представлениями закона больших чисел. Самый простой, и доступный путь состоит в формировании представлений о вероятности как о «теоретически ожидаемом» значении частоты при увеличении числа наблюдений. При этом понимание взаимоотношения между вероятностью и ее эмпирическим прообразом – частотой приводит осознанию статистической устойчивости частоты. В то же время важную роль играет и понимание того, что количественная оценка возможности наступления некоторого события может быть осуществлена до проведения эксперимента, исходя из некоторых теоретических соображений. Таким образом, приходим к вычислению вероятностей в классической схеме.

В том случае, когда при обучении математике вероятностная интуиция не развивается, вместо верных представлений и концепций учащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные суждения.

Одной из важных целей изучения вероятностно – статистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в жизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверждения той или иной гипотезы и т. п. представление о вероятности, которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения, отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителем представлений об устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.

Отметим при этом, что равно неэффективны и даже опасны как ранняя формализация, так и другая крайность, получившая сейчас отражение в некоторых экспериментальных программах – бесконечные рассуждения о вероятности вне курса математики, вне построения вероятностных моделей.

После изучения элементов комбинаторики, статистики и вероятности в школе и в колледже учащиеся должны:

- различать виды событий; уметь определять число всех исходов испытания, и исходов, благоприятствующих наступлению конкретного события;

- различать формулы статистической частоты и вероятности;

- строить простейшие «деревья» исходов;

- выполнять действия с факториалом;

- применять основные правила и формулы комбинаторики и вычислять вероятности событий с их использованием;



- строить статистический ряд по выборке и вычислять его числовые характеристики; строить полигоны и гистограммы частот.
Лекция 6. Тематическое планирование учебного материала по факультативному курсу «Комбинаторика, вероятность и статистика»

Вопрос непрерывности образования, то есть такой его организации, когда результат обучения на каждом этапе обеспечивает начало следующего – один из центральных вопросов педагогики. Для современного процесса образования, характеризующегося совокупностью многовариативных систем, наиболее актуальной является проблема тесной взаимосвязи среднего, среднего специального и высшего образования.

Всех, кто станет профессиональным экономистом, обучают в вузах основам теории вероятностей и математической статистики. Преподавание этих курсов представляет большую проблему, которую невозможно считать лишь проблемой высшей школы. Успешная профессиональная подготовка будущего специалиста невозможна без единства среднего, среднего специального и вузовского процессов обучения. Преемственность между средним и высшим звеньями рассматривается на современном этапе как одно из условий непрерывного образования молодежи. Это не должно означать, что цель среднего образования – раннее изучение программы теории вероятностей первого курса. Преемственность между учащимся и студентом определяется сформированностью у ученика первоначальных понятий о комбинаторике, вероятности и статистике для дальнейшего изучения теории вероятностей и математической статистики в вузе. Отсутствие этих знаний у учащегося становится главным препятствием в решении проблемы преемственности среднего и высшего при формировании у специалиста статистического мышления.реднего и высшего обру учащегося становится главным препятствием в решении проблемы преемственностиистического мышления. зоваобразования

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представления о вероятности.

Мы должны научить наших детей жить в вероятностной ситуации, что значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Ориентация на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно- статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления.

В то же время классическая система казахстанского образования основана, прежде всего, на отчетливо детерминистских принципах и подходах и в математике, и в других предметах. Если не снять, то хотя бы ослабить противоречие между формируемой в стенах школы детерминистской картиной мира и современными научными представлениями, базирующимися на вероятностно-статистических законах, невозможно без введения основ статистики и теории вероятностей в обязательное школьное образование.

Много лет, занимаясь преподаванием «Математики для экономистов», мы обратили внимание на трудности, которые возникают у студентов при изучении раздела теории вероятностей и математической статистики, они связаны с отсутствием у студентов комбинаторного мышления. Ранее, в курсе школьной математики не было даже элементов комбинаторики. Отсутствие элементов теории вероятностей, комбинаторики и статистики в школьной программе препятствовало формированию статистического взгляда на мир.

Сейчас в учебниках для 6-7-х классов появились элементы комбинаторного анализа, теории вероятностей и статистики. Но такого краткого знакомства с этими дисциплинами недостаточно. Необходимо не просто научить решать какие-то частные задачи, но выработать элементы вероятностно- статистического мышления.

Одновременно само знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может», способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью.

Но начинать изложение основ теории вероятностей в старших классах малоэффективно. Наработанное к этому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированное традиционным курсом математики, желание усвоить на уроке, прежде всего, некоторый набор правил, алгоритмов и методов вычисления фактически заменяет формирование вероятностных представлений формальным выучиванием формул комбинаторики и вычисления вероятности по классической модели Лапласа.

Опираясь на опыт работы по проведению спецкурса в российских школах и на использование материалов учебных пособий [14-16], нами была предпринята попытка построения вероятностно-статистической линии в рамках спецкурса «Статистика, комбинаторика и вероятность» в школе-лицее № 7 г. Семипалатинска. Программа спецкурса показана в приложении Ж.

Содержание и структура спецкурса обусловлены реализацией главной задачи – формирование вероятностно-статистической грамотности и развития статистического мышления позволяют обеспечить преемственность между средним и высшим образованиями.

В нашем спецкурсе рассматривается три части: элементы статистики, элементы комбинаторики и элементы теории вероятностей, что соответствует структуре новой содержательной линии в школьном курсе математики. В таблице 19 приведено примерное тематическое планирование, рассчитанное на 68 часов (2 года).
Таблица – Примерное тематическое планирование спецкурса


Наименование тем курса

Всего часов

1

2

Основные понятия комбинаторики.




Предмет комбинаторики. Выбор без повторений и с повторениями. Типы составляемых комбинаций.

2

Метод «деревьев». Подсчет вариантов при помощи «дерева»

2

Нахождение кратчайшего пути.

1

Котрольная работа № 1

1

Правила комбинаторики




Правила комбинаторики и их непосредственное применение при подсчете вариантов.

2

Факториал.

2

Уравнения с факториалом.

2

Контрольная работа № 21

2

Размещения и перестановки




Размещения без повторений.

1

Размещения с повторениями.

1

Перестановки без повторений.

1

Перестановки с повторениями

1

Контрольная работа № 3

1

Сочетания




Сочетания без повторений. Бином Ньютона.

1

Статистический контроль.

1

Сочетания с повторениями.

1

Комбинированные задачи.

1

Контрольная работа № 4

1

Основные понятия теории вероятностей




Что изучает вероятность? Эксперимент и событие.

2

Шансы на успех. Вероятностная шкала

2

Классическое определение вероятности

2

Статистическое определение вероятности.

2

Применение формул комбинаторики при вычислении вероятности.

2

Контролная работа № 1

1

Теоремы о вероятностях




Теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий.

1

Теоремы умножения независимых событий.

2

Теорема умножения для зависимых событий.

1

Смешанные задачи на теоремы сложения и умножения.

2

Вероятность появления хотя бы одного события




Контрольная работа № 2

1

Повторение испытаний. Случайная величина




Схема Бернулли. Повторение испытаний.

2

Дискретная случайная величина. Закон распределение.

2

Числовые характеристики случайных величин.

2

Биномиальный закон распределения.

2

Гипергеометрический закон распределения.

1

Линейные операции над случайными величинами

2

Контрольная работа № 3

1

Элементы статистики

2

Каталог: ebook -> umkd
umkd -> Республики казахстан
umkd -> Программа дисциплины для преподавателя семей 2014 разработано
umkd -> Программа дисциплины для преподавателя семей 2013 предисловие курс «Организация работы местной администрации»
umkd -> Республики казахстан
umkd -> Курс лекций по дисциплине «Системы автоматизированного проектирования»
umkd -> Запрещенные аргументы
umkd -> Республики казахстан
umkd -> Программа дисциплины «Основы системной экологии»
umkd -> Программа дисциплины «История лингвистических учений»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница