Рабочая программа по дисциплине Детерминированный хаос для специальности



Скачать 200.44 Kb.
Дата30.07.2018
Размер200.44 Kb.
ТипРабочая программа

Федеральное агентство по образованию

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

Кафедра радиофизики и нелинейной динамики


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА


по дисциплине Детерминированный хаос

для специальности 014200 – биохимическая физика,

реализуемой на физическом факультете

Саратов, 2006 год


Рабочая программа составлена в соответствии

с Государственным стандартом

высшего профессионального образования

по специальности 014200 – БИОХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

(номер государственной регистрации 272 ен/сп от 27.03.2000 г.)



ОДОБРЕНО:

Председатель учебно-методической


комиссии физического факультета,

профессор

__________________ В.Л.Дербов
__________________ 2006 г.





УТВЕРЖДАЮ:

Проректор по учебной работе,

профессор

______________Е.М. Первушов


__________________ 2006 г.


СОГЛАСОВАНО:

Декан физического факультета,

профессор Д.А. Зимняков
Заведующий кафедрой радиофизики

и нелинейной динамики физического факультета,

профессор_______________ В.С. Анищенко


Вил учебной работы

Бюджет времени по формам обучения, час



очная

очно-заочная

заочная



полная програм­ма

ускорен­ные сро­ки



полная програм­ма

ускорен­ные сроки

Аудиторные занятия, всего

36

--

--

--

--

в том числе: - лекции - лабораторные (практические) – семинарские

36

-

-















Самостоятельная работа студен­тов

6














Зачеты, +/-

+













Экзамены, +/-

-













Контрольные работы, количество

1













Курсовая работа, + /-

--












Авторы:

заведующий кафедрой радиофизики

и нелинейной динамики, профессор В.С. Анищенко

профессор кафедры радиофизики

и нелинейной динамики В.В. Астахов

профессор кафедры радиофизики

и нелинейной динамики Т.Е. Вадивасова

Р

аздел I. Организационно – методическое содержание


Курс ``Детерминированный хаос'' читается студентам дневного отделения физического факультета, обучающимся по специальности 014200 - биохимическая физика в течение 9-го учебного семестра. Он включает 36 часов лекционных и 14 часов самостоятельный. Целью курса является знакомство с основными идеями, понятиями и базовыми моделями теории динамического хаоса, обучение методам анализа хаотических систем различной природы, описание свойств различных притягивающих хаотических множеств и типичных сценариев перехода к хаосу, введение в современные проблемы нелинейной динамики. В результате изучения данного курса студенты должны иметь представление о природе возникновения динамического хаоса в нелинейных системах и сценариях перехода к хаосу. Знать основные базовые модели, освоить теоретические и компьютерные методы исследования систем с хаотической динамикой. Уметь проводить бифуркационный анализ конкретных радиофизических систем и рассчитывать количественные характеристики регулярных и хаотических колебаний.

Раздел 2. Тематический план учебной дисциплины











Бюджет учебного времени
















в том числе













лекции

лабора­торные и прак­тиче­ские

Семи­нарские занятия

само­стоя­тельная работа






1

2

3

4

5

6

7

8




Очная полная программа




I

1.

2.


Введение в теорию динамического хаоса
Введение
Краткая классификация динамических систем

1.1.


1.2.

1.3.
Хаос и неустойчивость



42

1

3

5


36

1

3
1

1

1


4

--



--


6


1

экзамен





3.


4.
5.


6.
7.
8.


2.1.

2.2.


2.3.

2.4.
Геометрическая природа странных аттракторов

3.1.

3.2.


3.3.
Статистические подходы к описанию динамического хаоса

4.1.


4.2.
Сценарии перехода к хаосу

5.1.


5.2.

5.3.


5.4.

5.5.
Хаос в консервативных системах

6.1.
Взаимодействие хаотических систем

7.1.


7.2.

7.3.
Пространственно - временной хаос

8.1.

8.2.


8.3.

8.4.




5

3
11


2.5


4.5
7


2

0.5


0.5

1
4

0.5

3

0.5


2

1.5


0.5
10
1

3

2

3

1


2

4
2


1

1
6


2

1

2



1






1

1
1


0.5


0.5
1





Итого:

42

36







6

контрольная

экзамен



Раздел 3. Содержание учебной дисциплины
Введение. Понятие динамического хаоса. Динамический хаос и случайный процесс. Природа непредсказуемости в детерминированных системах. Роль флуктуаций. Возникновение и развитие теории динамического хаоса.
Тема 1. Краткая классификация динамических систем

    1. Метод фазового пространства. Два подхода к определению динамической системы: дифференциальные уравнения и отображения. От дифференциальных уравнений к отображениям: построение сечения Пуанкаре. Автономные и неавтономные системы. Особенности неавтономных систем.

    2. Консервативные и диссипативные системы. Общая характеристика консервативных и диссипативных систем. Предельные множества и аттракторы диссипативных систем. Классификация регулярных аттракторов потоков и отображений: неподвижные точки, циклы, торы.

    3. Примеры систем с хаотической динамикой и их физическая реализация (механика, электроника, лазерная физика, биология). Логистическое отображение, отображение Хенона, шарик на колеблющейся поверхности стола, нелинейный осциллятор с внешним воздействием, модель Лоренца, модель Ресслера, генератор с инерционной нелинейностью, цепь Чуа. Качественное обсуждение динамики этих систем.


Тема 2. Хаос и неустойчивость. Роль устойчивых и неустойчивых многообразий

гиперболических траекторий.

    1. Эволюция элемента фазового объема на хаотическом аттракторе. Ляпуновские показатели фазовой траектории на хаотическом аттракторе (в случае систем с непрерывным и дискретным временем). Спектр ляпуновских характеристических показателей (спектр ЛХП). Классификация аттракторов по сигнатуре спектра ЛХП.

    2. Свойство гиперболичности фазовой траектории. Гиперболические, почти гиперболические и негиперболические хаотические аттракторы и их особенности. Понятие квазиаттрактора. Примеры хаотических аттракторов различных типов.

    3. Гладкое отображение подковы (подкова Смейла), как модель свойств хаотического аттрактора.

    4. Гомоклинические и подобные им траектории и их роль в возникновении хаоса. Теорема Шильникова. Критерий Мельникова. Критерий Чирикова.


Тема 3. Геометрическая природа странных аттракторов

    1. Фракталы. Простейшие примеры фракталов: Канторово множество, ковер и салфетка Серпинского, кривая Кох. Двухмасштабное канторово множество и элементарное представление о мультифракталах. Скейлинг и фрактальная структура – типичное свойство большинства хаотических аттракторов (примеры).

    2. Размерности фрактальных множеств. Метрические размерности и размерности натуральной меры. Определения различных типов размерностей и методы их расчета: размерность Хаусдорфа, емкостная размерность, информационная размерность, корреляционная размерность, ляпуновская размерность. Примеры размерностей простейших фракталов. Взаимосвязь между различными типами размерности.

    3. Свойство «хаотичности» и свойство «странности» аттрактора, их нетождественность и взаимосвязь. Понятие нерегулярного аттрактора. Типы нерегулярных аттракторов: странный хаотический аттрактор (СХА), странный нехаотический аттрактор (СНА), «нестранный» хаотический аттрактор (НХА). Свойства СНА и НХА. Примеры СНА и НХА в простейших модельных системах.



Тема 4. Статистические подходы к описанию динамического хаоса.

    1. Уравнение Фробениуса-Перрона и инвариантная мера на аттракторе для случая одномерных отображений. Пример: расчет статистических характеристик случайной последовательности, порождаемой отображением треугольника.

    2. Проблема существования инвариантной меры на хаотическом аттракторе. Особенности гиперболических и негиперболических аттракторов. Статистические характеристики динамического хаоса в присутствии флуктуаций.


Тема 5. Сценарии перехода к хаосу

    1. Общая дискуссия о сценариях перехода к хаосу. Задача о потери устойчивости предельного цикла: три типичных варианта. Качественное обсуждение удвоений периода, перемежаемости и перехода через квазипериодичность. Исторические замечания: от теории Ландау к Рюэлю - Такенсу, Фейгенбауму и др. Экспериментальное наблюдение различных сценариев.

    2. Переход к хаосу через удвоения периода циклов (сценарий Фейгенбаума). Логистическое отображение как основная модель. Циклы и бифуркации. Бифуркационная диаграмма (дерево Фейгенбаума). Ренормгрупповой анализ. Свойства скейлинга в пространстве состояний и в пространстве параметров. Фурье-спектр на пороге хаоса. Аттрактор Фейгенбаума и его фрактальные свойства. Динамика в закритической области. Окна устойчивости периодических режимов.

    3. Переход к хаосу через перемежаемость (сценарий Помо – Манневиля). Перемежаемость типа I: ламинарные и турбулентные стадии, скейлинговые соотношения для продолжительности ламинарных стадий, уравнения ренормгруппы и его точное решение. Краткое обсуждение перемежаемости типа II и III.

    4. Переход к хаосу через квазипериодические колебания. Сценарий Рюэля - Такенса и его модификации. Переход к хаосу через разрушение двумерного тора, необходимость двупараметрического анализа. Теорема о разрушении двумерного тора с резонансной структурой на нем. Бифуркации, приводящие к хаосу. Отображение окружности. Плоскость параметров. Число вращения. Языки Арнольда. Структура языков вблизи критической ситуации потери обратимости отображения и ее связь со структурой разложения числа вращения в цепную дробь. Ренормгрупповой анализ для случая золотого сечения.

    5. Особенности разрушения эргодического тора в системах с квазипериодическим возбуждением. Переход к хаосу через режим СНА.



Тема 6. Хаос в консервативных системах.

    1. Особенности хаотической динамики консервативных систем. Возмущение интегрируемой системы. КАМ – теорема. Механизмы возникновения и развития консервативного хаоса. Теорема Пуанкаре – Биркгофа. Критерий глобального хаоса. Пример: отображение Чирикова.


Тема 7. Взаимодействие хаотических систем.

    1. Периодическое воздействие на хаотические автоколебания. Частотно-фазовая синхронизация хаоса. Однонаправлено связанные хаотические системы. Полная и обобщенная синхронизация хаоса.

    2. Взаимодействие систем с фейгенбаумовским сценарием развития хаоса. Особенности взаимной синхронизации хаоса. Частотно - фазовая синхронизация хаоса, полная синхронизация, lag-синхронизация.

    3. Фазовая мультистабильность периодических и хаотических режимов. Особенности разрушения режима полной синхронизации. Явления риддлинга и баблинга. Кризисы хаотических аттракторов и переход к гиперхаосу.


Тема 8. Пространственно – временной хаос в распределенных средах и их дискретных моделях.

    1. Цепочка связанных отображений с локальной однонаправленной связью как модель развития турбулентности вниз по потоку. Случай симметричной связи. Диссипативная и инерционная связь. Скейлинговые свойства пространства параметров.

    2. Решетки связанных отображений. Доменные структуры. Фазы Канеко. Скейлинговые свойства протстранственно – временных структур у порога хаоса.

    3. Цепочки локально – связанных хаотических автогенераторов. Эффекты частотно – фазовой синхронизации.

    4. Уравнения в частных производных. Уравнение Гинзбурга – Ландау как универсальная модель пространственно – временной динамики у порога возникновения неустойчивости. Теорема о центральном многообразии и конечномерные модели.



Виды самостоятельной работы: проработка лекционного курса, чтение дополнительной литературы.
Раздел 4. Перечень основной и дополнительной литературы
Основная литература

  1. Заславский Г.М. Стохастическая необратимость в нелинейных системах. – М.: Наука, 1970.

  2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебания. – М.: Наука, 1972.

  3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Наука, 1981.

  4. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1976.

  5. Странные аттракторы. Сборник статей под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. – М.: Мир, 1981.

  6. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. – М.: Мир, 1980.

  7. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 1984.

  8. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Наука, 1990.

  9. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский- Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. – Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.


Дополнительная литература

  1. Хакен Г. Синергетика. – М.: Мир, 1980.

  2. Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. М., том 5, 1986.

  3. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. – М.: Мир, 1984.

  4. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. – М.: Мир. 1980.

  5. Рюэль Д. Случайность и хаос. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

  6. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. – М.: Мир, 1983.

  7. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Москва – Ижевск, 2002.

  8. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. – М.: Наука, 1980.

  9. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.2. – М.: Мир, 1978.

  10. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. – М.: Мир, 1969.

  11. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Шиманский-Гайер Л. Динамическое и статистическое описание колебательных систем. – Москва – Ижевск, 2005.



Раздел 5. Перечень средств обучения
Оптический проектор

Электронный проектор

Компьютеры

Имеется презентация части материала курса на электронных носителях.


Раздел 6. Вопросы к курсу


  1. Провести классификацию динамических систем. Охарактеризовать метод точечных отображений Пуанкаре.

  2. Какие предельные множества и аттракторы могут существовать в диссипативных динамических системах?

  3. Приведите примеры систем с хаотической динамикой.

  4. Как определяются Ляпуновские показатели фазовой траектории на хаотическом аттракторе?

  5. Как проводится классификация аттракторов по сигнатуре спектра ЛХП?

  6. Какие особенности у гиперболических, почти гиперболических и негиперболических хаотических аттракторов?

  7. Сформулируйте критерий Мельникова и критерий Чирикова.

  8. Приведите простейшие примеры фракталов.

  9. Что называется размерностью Хаусдорфа, емкостной размерностью, информационной размерностью, корреляционной размерностью и ляпуновской размерностью?

  10. Проведите расчет статистических характеристик случайной последовательности, порождаемой отображением треугольника.

  11. Какие типичные сценарии перехода к хаосу наблюдаются в системах различной природы?

  12. Постройте бифуркационную диаграмму для логистического отображения. Какие свойства скейлинга проявляются в пространстве состояний и в пространстве параметров системы?

  13. Опишите закономерности развития Фурье – спектра у порога хаоса, и динамику систему в закритической области.

  14. Как происходит переход к хаосу через перемежаемость? Чем различаются три типа перемежаемости?

  15. Как происходит переход к хаосу через разрушение двумерного тора? Какие бифуркации приводят к хаосу?

  16. Что называется отображением окружности? Что называется числом вращения? Какова структура разбиения плоскости параметров на области синхронизации («языки Арнольда»)?

  17. Какие особенности разрушения эргодического тора возникают в системах с квазипериодическим возбуждением?

  18. В чем заключаются особенности хаотической динамики консервативных систем?

  19. Что называется частотно – фазовой синхронизацией хаоса?

  20. Что понимают под полной и обобщенной синхронизацией хаоса?

  21. Что называется фазовой мультистабильностью?

  22. Какие сценарии потери полной синхронизации хаоса могут наблюдаться во взаимодействующих системах?

  23. Что называется гиперхаосом? Какая связь между кризисами хаотических аттракторов и переходом к гиперхаосу?

  24. Опишите поведение простейших моделей пространственно – распределенных систем в виде цепочки логистических отображений с однонаправленной связью и с симметричной связью в случаях диссипативной и инерционной связи.

  25. Что называется доменными структурами и фазами Канеко в решетках связанных отображений?



Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница