Проверка статистических гипотез



Скачать 59.26 Kb.
страница1/3
Дата25.05.2018
Размер59.26 Kb.
ТипЗакон
  1   2   3

Глава 9
Проверка статистических гипотез

9.1 Постановка задачи
Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, которое можно проверить по выборке. Как правило, статистические гипотезы делят на гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.

Пусть - закон распределения случайной величины Х, зависящий от одного параметра . Предположим, что наша гипотеза состоит в утверждении, что . Назовём эту гипотезу нулевой и обозначим её Н0 . Альтернативной, или конкурирующей гипотезой, которую обозначим Н1 , будет . Перед нами стоит задача проверки гипотезы Н0 относительно конкурирующей гипотезы Н1на основании выборки, состоящей из п независимых наблюдений Х1 ,Х2, …, Хп . Следовательно, всё возможное множество выборок объёма п можно разделить на два непересекающихся подмножества ( О и W) таких, что проверяемая гипотеза Н0 должна быть отвергнута, если наблюдаемая выборка попадает в подмножество W и принята, если выборка принадлежит подмножеству О.

Подмножество О называют областью допустимых значений, а подмножество W – критической областью. При формировании критической области возможны ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, нулевая гипотеза отвергается, то есть принимается гипотеза Н1 , в то время как в действительности верна гипотеза Н0 .

Ошибка второго рода состоит в том, что принимается гипотеза Н0 , а в действительности верна гипотеза Н1.

Для любой заданной критической области будем обозначать через вероятность ошибки первого рода, а через - вероятность ошибки второго рода. Следовательно, можно сказать, что при большом количестве выборок доля ложных заключений равна , если верна гипотеза Н0 , и , если верна гипотеза Н1. При фиксированном объёме выборки выбор критической области W позволяет сделать как угодно малой либо , либо.



9.2 Сравнение центров распределения нормальных генеральных совокупностей

На практике иногда оказывается, что средний результат одной серии наблюдений заметно отличается от среднего результата другой серии. Что это? Влияние ошибок наблюдения? Или, может быть, мы имеем дело с двумя разными генеральными совокупностями.

Итак, имеем две случайные величины Х и У. Обе подчиняются нормальному закону распределения. Допустим, что мы располагаем двумя независимыми выборками объёмами п1 и п2 соответственно. Нулевая гипотеза : М(Х)=М(У). За альтернативную гипотезу примем . Дисперсии этих двух выборок будем считать известными.

Если гипотеза Н0 справедлива, то разность их арифметических средних распределена также по нормальному закону, а дисперсия этой разности ( при условии, что Х и У – независимы!) равна сумме дисперсий этих случайных переменных:



.

Введём нормированную случайную величину , которая также распределена нормально и имеет дисперсию¸ равную единице, и математическое ожидание, равное нулю. С помощью таблицы, функции Лапласа, нетрудно установить критическое значение для , которое наша разность не может превосходить с заданной вероятностью . Если гипотеза Н0 имеет место, то эта вероятность мало отличается от единицы. Чем меньше , тем меньше вероятность отклонить проверяемую гипотезу.

Приведём пример.

Допустим, что мы располагаем двумя сериями наблюдений с количеством п1 =25 и п2=50. При этом, получены средние значения . Установить с вероятностью 0,99, является ли это расхождение случайным. Пусть обе случайные величины имеют стандартное отклонение = 0, 30.

Вычислим нормированную разность

Из таблицы функции Лапласа следует, что c вероятностью (надёжностью) 0,99 наша нормированная случайная величина должна быть меньше 2,576. Область значений z>2,576 при нашей гипотезе достичь практически невозможно. Это означает, наблюдаемое расхождение нельзя считать случайным.

Следует отметить, что в случае z<2,576, ещё нельзя утверждать, что гипотеза подтвердилась. С помощью проверки гипотез можно лишь отвергнуть проверяемую гипотезу, но никогда нельзя доказать её справедливость.




Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница