Проверка гипоьезы о независимости случайных величин



Скачать 89.33 Kb.
страница1/2
Дата16.08.2018
Размер89.33 Kb.
ТипЗакон
  1   2

Приложение 1.

Методы проверки некоторых гипотез.
П1.1 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НЕЗАВИСИМОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [15].
Вариант метода наименьших квадратов, представленный формулами (4.4, 4.5) справедлив в предположении, что погрешности измерения всех величин yj независимы и дисперсии их одинаковы.

Если нет априорной уверенности в независимости yj на основе условий проведения эксперимента , например: измерения различных yj отделяют большие промежутки времени, опыты выполнены рандомизировано (см. раздел 5.4) и т. п., то проверить гипотезу о независимости yj можно, только проделав большое число измерений (p) в каждой экспериментальной точке, построив выборную ковариационную матрицу результатов эксперимента и проверив гипотезу о ее диагональности.


(П 1.1)

здесь i, j - экспериментальные точки, относящиеся к различным условиям эксперимента, i, j изменяются от 1 до n, n- число различных экспериментальных точек; k = 1 ...p, p- число повторных измерений в каждой точке.

Для построения критерия проверки гипотезы переходят от ковариантной матрицы к корреляционной
(П 1.2)

Теоретически для независимых случайных величин R - единичная матрица и ее определитель должен быть равен 1. Но мы имеем лишь оценку R, построенную по n выборкам объема p значений случайных величин.

Поэтому в качестве критерия проверки гипотезы H0: R = I , берут определитель : V = .

Закон распределения V довольно сложен, но при достаточно больших значениях p можно использовать его асимптотическое представление:


P{-mlnV}=P{2 f }+(2/m2) [P{2 f+4}- P{2 f }]+O(m-3). (П 1.3)

Bыражение (П 1.3) справедливо с точностью до слагаемых порядка m-3. Здесь


f = m = p- (П 1.4)

 - граница области, в которую – m lnV попадает с рассчитанной по (П 1.3)

вероятностью, если гипотеза справедлива. (Заметим, что в "идеале" lnV = 0).

Следовательно, критическая область для проверки гипотезы: – m lnV >  при уровне значимости = 1- P{-mlnV}.


Выражение (П 1.3) можно использовать, если (2/m2)< 1. Заметим, что второе слагаемое в (П 1.3) отрицательно. Поэтому, выбрав первоначально критическую область для заданного уровня значимости, используя только первое слагаемое, мы получим в результате несколько больший уровень значимости для данной критической области.

Поясним алгоритм проверки гипотезы на примере. В процессе метрологической аттестации автоматизированного спектрального прибора низкого разрешения фиксировались отклонения показаний прибора от «истинных» значений длин волн , излучаемых эталонным источником. Измерения выполнены p=10 раз для n=4 спектральных линий. Результаты представлены в таблице П1. Проверяемая гипотеза: Погрешности измерения длины волны различных линий независимы.

Таблица П1. Разность показаний прибора и паспортного значения длин волн для четырех спектральных линий ( нм)


опыт

i k


линия

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





1

2.21

1.78

-5.08

-4.31

0.41

-1.23

-2.39

0.20

1.54

0.61

-0.70

2

0.02

-1.63

-0.82

-1.35

-0.26

2.04

0.36

1.03

1.48

-0.03

0.09

3

0.56

0.32

0.86

-0.95

-1.39

6.10

-0.53

-2.56

1.52

-0.79

0.31

4

-2.40

-2.07

-0.04

0.06

0.53

0.98

0.48

-1.37

-3.23

2.82

-0.42

Выберем критическую область и уровень значимости для проверки гипотезы , используя формулы (П 1.4) и (П 1.3). Из (П 1.4) получим:

f=6, m=6.833, 2=0.458, (2/m2)=0.0098.

Малое значение (2/m2) позволяет вообще пренебречь вторым слагаемым в (П 1.3), поэтому по таблице распределения 2 при числе степеней свободы 6 находим , что26 меньше чем 12.59 с вероятностью 0.95, следовательно гипотеза будет отвергнута , если окажется, что– m lnV > 12.59 на уровне значимости 5%.

Проделаем вычисления. Средние арифметические отклонений для каждой линии приведены в последнем столбце таблицы П1. Ковариационную матрицу можно не вычислять, т.к. из (П1.2 ) видно, что на диагонали корреляционной матрицы будит стоять единицы , а вне диагонали коэффициенты корреляции для i-той и j- той линий , которые вычисляются по формуле (3.13) . Корреляционная матрица имеет вид:


Ее определитель V=0.57, – m lnV=3.83< 12.59, т.е. гипотеза о независимости погрешности измерения длин волн проверена на уровне значимости 5% и принята.

П1.2 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ ОБ ОДНОРОДНОСТИ ДИСПЕРСИЙ.
В разделе 3.3 описан способ проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух выборок нормально распределенных случайных величин. Иногда требуется проверить гипотезу о том, что большее число выборок имеют одинаковые дисперсии ( например, чтобы убедиться , что метод наименьших квадратов применим в простейшем варианте). Предположим сначала, что объемы всех выборок одинаковы и равны n. ( в каждой выборке n элементов), а число таких выборок р. Найдем по каждой i-той выборке оценку дисперсии S2i по формуле (2.2).

Критерием проверки гипотезы об одинаковости дисперсий служит величина [5]:



, (П 1.5)

т.е. отношение максимальной из оценок дисперсии к сумме всех оценок.

Критические точки G , отвечающие уровню значимости 5% приведены в таблице П 3.6 приложения 3 .

Если экспериментальное значение G меньше приведенного в таблице, гипотеза о равенстве дисперсий для всех выборок принимается и в качестве общей оценки берется среднее арифметическое всех оценок.

Сложнее обстоит дело , если выборки имеют разный объем [11].

Пусть из нормально распределенных генеральных совокупностей извлечены р независимые выборки, различных объемов ni (некоторые объемы, но не все, могут быть одинаковыми). По выборкам найдены согласно (2.2) дисперсии S2i. Требуется, как и раньше, при уровне значимости  проверить гипотезу о равенстве дисперсий всех генеральных совокупностей

Обозначим : ki = ni - 1 - число степеней свободы дисперсии S2i .

- сумма чисел степеней свободы;

(П 1.6)

- средняя арифметическая дисперсий, взвешенная по числам степеней свободы;



Критерием проверки гипотезы служит случайная величина В = V/C, которая при условии справедливости гипотезы об однородности дисперсий распределена приближенно как 2 с

р-1 cтепенями свободы, если объем каждой выборки ni  4.

Следовательно, для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Внабл. = V/C и по таблице критических точек распределения 2 , по уровню значимости  и числу степеней свободы р - 1 найти критическую точку , такую что Р{2>2 кр}=. Если Внабл < 2 кр - нет оснований отвергнуть гипотезу. Если Внабл > 2 кр - гипотезу отвергают.

Не следует торопиться вычислять постоянную С, т.к. она заведомо больше 1. Сначала надо найти V и сравнить с 2 кр; если окажется, что V<2 кр , то С вычислять не нужно. Если же V > , то надо вычислить С и затем сравнить В с2 кр.

При условии однородности дисперсий в качестве оценки общей дисперсии принимают среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы (П 1.6).




П1.3 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА [15].


Каталог: stat
stat -> Как приобретать друзей и оказывать влияние на людей
stat -> С. В. Комаров Рефлексия как механизм системы управления развитием организации
stat -> К программе прикладных методологических разработок для управленческой практики. Основные моменты проблематизации
stat -> I. Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе федерального государственного стандарта
stat -> Статьи об искусстве
stat -> Учебное пособие для вузов зритнева Е. И. Социология семьи : учеб пособие для студентов вузов


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница