Программа-минимум (Часть I основная) кандидатского экзамена по специальности


Математическая логика и теория алгоритмов



Скачать 70.38 Kb.
страница2/2
Дата30.07.2018
Размер70.38 Kb.
ТипПрограмма-минимум
1   2
1. Математическая логика и теория алгоритмов

Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Тезис Чёрча.

Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.

Построение полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства.

Классы P и NP. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи ВЫПОЛНИМОСТЬ.

Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы.

Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость.

Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме.

Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции.

* Полнота исчисления предикатов. Теорема Мальцева о компактности.

*Элементарные теории классов алгебраических систем. Категоричные в данной мощности теории. Теорема о полноте теории, не имеющей конечных моделей и категоричной в бесконечной мощности.

Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка.

Формальная арифметика. Теорема о представимости вычислимых функций в формальной арифметике (без доказательства).

*Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики. Теорема Тарского о невыразимости арифметической истинности в арифметике.

*Неразрешимость алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов.

*Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора.



2. Алгебра

Теоремы Силова.

Простота группы An , n ? 5 и SO3.

Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов.

Свободные группы и определяющие соотношения.

Алгебраические расширения полей. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.

Конечные поля, их подполя и автоморфизмы.

Радикал кольца. Структурная теорема о полупростых кольцах с условием минимальности.

Группа Брауэра. Теорема Фробениуса.

Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе.

Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Теорема Биркгофа-Витта.

*Основы теории представлений. Теорема Машке. Одномерные представления. Соотношения ортогональности.

*Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа.

*Решетки. Дедекиндовы решетки. Теорема Стоуна о булевых алгебрах.



3. Теория чисел

Квадратичный закон взаимности.

Первообразные корни и индексы.

Неравенства Чебышева для функции ?(x).

Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел.

Характеры и L-функции. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Тригонометрические суммы. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений.

*Критерий Вейля равномерного распределения. Теорема Вейля о последовательности значений многочлена.

Модулярная группа и модулярные функции. Теорема о строении алгебры модулярных форм.

Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами.

Приближение вещественных чисел рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел.

Трансцендентность чисел е и ?.

Основная литература


  1. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.

  2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. 2-е изд. М.: Наука, 1987.

  3. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

  4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М.: Наука, 1984.

  5. Новиков П.С. Элементы математической логики. 2-е изд. М.: Наука, 1973.

  6. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980.

  7. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

  8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры алгебры. М.: Физматлит, 2000.

  9. Винберг Э.Б. М. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2001.

  10. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.

  11. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

  12. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

  13. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

  14. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

  15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

  16. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. М.: Изд-во МГУ, 1995.

  17. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

  18. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.

  19. Коробков Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

  20. Серр Ж.П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

  21. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

ПРОГРАММА-МИНИМУМ (Часть II - Дополнительная)



1. Математическая логика и теория алгоритмов

Нумерованные множества и m-сводимость.

Методы доказательства разрешимости и неразрешимости теорий.

Конструктивные модели. Конструктивные булевы алгебры.

Ультрапроизведения моделей и их свойства.

Формульная определимость.

Теоремы об ускорении.

2. Алгебра

Коммутаторные соотношения в свободных группах. Формула Витта.

Группа автоморфизмов свободной группы.

Нильпотентные группы без кручения. Представление унитреугольными матрицами. Теорема Мальцева о пополнении.

Линейно упорядоченные группы. Система выпуклых подгрупп. Групповые условия упорядочиваемости.

Алгоритм Бухбергера построения базиса идеала в кольце многочленов от нескольких переменных.



3. Теория чисел

Сходимость в поле p-адических чисел.

Представление чисел разложимыми формами.

Квадратичные и круговые поля.

Диофантовы уравнения.

ЛИТЕРАТУРА



  1. Ершов Ю.Л. Теория нумераций. М.: Наука, 1977.

  2. Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. Новосибирск: Научная книга, 1996.

  3. Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных фугкций. М.: Мир, 1983.

  4. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.

  5. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

  6. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

  7. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

Каталог: postgraduate -> docs
postgraduate -> Историческая лексикология русского языка
postgraduate -> М. Хайдеггер время картины мира91
postgraduate -> Примерная тематика докладов аспирантов по философии науки в 2015-2016 уч г. Общие проблемы философии науки «Венский кружок»
postgraduate -> Историческая лексикология русского языка
postgraduate -> Совесть в духовно-нравственной системе «добротолюбия»
postgraduate -> Примерная тематика рефератов аспирантов по истории науки в 2015-2016 уч г
postgraduate -> Историческая лексикология русского языка
docs -> Программа-минимум (Часть I основная) кандидатского экзамена по специальности


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница