Программа курса "Алгебра и геометрия"



Дата01.05.2018
Размер39.5 Kb.
ТипПрограмма курса

Программа курса "Алгебра и геометрия",

мехмат ЮФУ, 1 курс, 1-2 группы, 2 семестр 2013/14 уч.года

Определение линейного пространства; примеры линейных пространств, простейшие свойства линейных пространств. Система векторов; подсистема. Линейная комбинация векторов. Векторная интерпретация систем линейных уравнений. Линейно зависимая и линейно независимая система. Критерий обращения определителя в ноль. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем (система, состоящая из одного вектора; критерий для системы, содержащей более одного вектора; случай системы из двух векторов; система, содержащая линейно зависимую подсистему; подсистема линейно независимой системы; добавление вектора к линейно независимой системе; второй критерий линейной зависимости и др.). Полная система, ее свойства, основная лемма.

Размерность линейного пространства. Определение конечномерного и бесконечномерного линейного пространства; размерность пространства Fn. Базис; теорема существования базиса, следствие. Теорема о размерности линейного пространства с базисом, следствие. Размерность декомплексификации. Теоремы о соотношении базиса линейно независимой и полной системы, критерий конечномерности линейного пространства. Координаты вектора, их единственность, свойства. Матрица перехода. Преобразование координатных векторов при замене базиса. Свойства матрицы перехода. Алгоритм вычисления матрицы перехода.

Подпространство, критерии и примеры. Линейная оболочка и ее свойства. Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Прямая сумма; теорема о разложении пространства в прямую сумму. Свойства размерности подпространств (соотношение размерностей подпространства и пространства; размерность суммы подпространств; критерий разложения конечномерного пространства в прямую сумму подпространств, о тривиальности пересечения).

Максимальная линейно независимая подсистема. Максимальная линейно независимая подсистема как базис линейной оболочки; следствие об инвариантности числа элементов максимальной линейно независимой подсистемы. Ранг системы векторов; простейшие свойства. Ранг матрицы. Инвариантность ранга матрицы при ее транспонировании. Минор матрицы; теорема о связи ранга матрицы с ее минорами. Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях ее столбцов и строк. Ступенчатая форма матрицы; теорема о ранге матрицы ступенчатой формы, следствия. Теорема о ранге произведения матриц; следствие об умножении на обратимую матрицу. Критерий совместности системы линейных уравнений (Кронекера и Капелли). Критерий существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений и ее подпространство решений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

Скалярное произведение; определение евклидова пространства. Теорема существование скалярного произведения в произвольном конечномерном линейном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского, примеры. Норма в евклидовом пространстве; свойства нормы. Расстояние в евклидовом пространстве; свойства расстояния. Угол между векторами.

Ортогональность векторов; свойства отношения ортогональности, теорема Пифагора. Ортогональная система векторов и ее линейная независимость. Нормированный вектор; нормирование вектора. Ортонормированная система векторов. Свойства ортонормированных базисов. Процесс ортогонализации, теорема о равенстве линейных оболочек. Следствие существования ортонормированного базиса.

Ортогональные матрицы, свойства. Критерий ортогональности матрицы. Теоремы об ортогональности матрицы перехода.



Ортогональность вектора множеству; ортогональное дополнение. Свойства ортогонального дополнения. Теорема о разложении евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Алгоритм нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей, матрица Грама. Расстояние от элемента до конечномерного подпространства. Унитарные пространства, унитарные матрицы (обзорно).
Литература

Учебники

  1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры, изд. 6–11. М.: Наука, 1958–1975.

  2. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

  3. И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.

  4. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра, изд. 1–3. М.: Наука, 1974–1984.

  5. Л.А. Калужнин. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1977.

  6. А.В. Козак, В.С. Пилиди. Линейная алгебра. М. Вузовская книга. 2001.

  7. В.Д. Кряквин. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006, 2007.

Каталог:


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница