О теореме Пифагора и способах ее доказательства



Скачать 141.5 Kb.
страница4/4
Дата02.01.2018
Размер141.5 Kb.
1   2   3   4

Алгебраический метод доказательства.


  • Рис. 12 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.

На рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CMAB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того, что ABC подобен ACM следует

b2 = cb1; (1)

из того, что ABC подобен BCM следует

a2 = ca1. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2.

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.


  • Доказательство Мёльманна (рис. 14).
    Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна с другой, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности Имеем:

откуда следует, что c2=a2+b2.

  • Доказательство Гарфилда.
    На рисунке 15 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

во втором 

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.


  • Существует много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 16 – 23). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.



Рекомендуем учителям предложить учащимся по этим рисункам самостоятельно доказать теорему Пифагора.




Каталог: DswMedia
DswMedia -> Положение о внутришкольном мониторинге качества образования в Муниципальном бюджетном общеобразовательном учреждении «Гимназия г. Алдан»
DswMedia -> Программа по обществознанию составлена на основе федерального компонента
DswMedia -> Русь древняя и средневековая V – рубеж xvi–xvii вв
DswMedia -> Сочинение «Разум и чувство»
DswMedia -> Речевые характеристики персонажей в комедии Грибоедова «Горе от ума»
DswMedia -> Усовершенствование методической работы в доу как одно из условий повышения качества дошкольного образования
DswMedia -> Психологическая компетентность педагога


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница