О теореме Пифагора и способах ее доказательства


Доказательства методом достроения



Скачать 141.5 Kb.
страница3/4
Дата02.01.2018
Размер141.5 Kb.
1   2   3   4

Доказательства методом достроения.


Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

  • На рис. 7 изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

  • На рис. 8 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

KLOA = ACPF = ACED = a2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;  

отсюда  c2 = a2 + b2.



  • Рис. 10 иллюстрирует доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой AB. Здесь:

OCLP = ACLF = ACED = b2;

CBML = CBNQ = a2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

отсюда

c2 = a2 + b2.



  • Рис. 11 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом.
    Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим



Каталог: DswMedia
DswMedia -> Положение о внутришкольном мониторинге качества образования в Муниципальном бюджетном общеобразовательном учреждении «Гимназия г. Алдан»
DswMedia -> Программа по обществознанию составлена на основе федерального компонента
DswMedia -> Русь древняя и средневековая V – рубеж xvi–xvii вв
DswMedia -> Сочинение «Разум и чувство»
DswMedia -> Речевые характеристики персонажей в комедии Грибоедова «Горе от ума»
DswMedia -> Усовершенствование методической работы в доу как одно из условий повышения качества дошкольного образования
DswMedia -> Психологическая компетентность педагога


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница