Математики открыли что-то интересное



страница9/11
Дата30.07.2018
Размер0.58 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Промежутки истории
Теория катастроф – такое название получила первоначально узкая область математики, лежавшая на стыке топологии и анализа и изучавшая особенности (особые точки) систем дифференциальных уравнений. Но очень скоро теория катастроф полноправно вошла в междисциплинарные исследования синергетики. Универсальность ее понятий стала общепризнанной и перешагнула рамки точных наук. Так, например, в научном фольклоре широко известны полушутливые, но тем не менее логичные модели, которые предложил один из создателей теории катастроф, знаменитый советский математик В.И.Арнольд для объяснения процессов, происходивших в нашей стране в период перестройки и после нее.

Тем не менее возможность исследования “катастроф” в общественных науках обычно вызывает у историков не менее отрицательный отклик, чем ассоциации с “теорией хаоса”. В гуманитарной лексике слово “катастрофа” неизбежно влечет за собой представления о катаклизмах (стихийных бедствиях, эпидемиях, войнах), сопровождающихся массовыми жертвами и разрушениями. Теория с таким “страшным” названием не может дать ничего конструктивного для исторических объяснений, имеющих дело с поступательным движением истории.

И, однако, это ошибка. Можно сразу сказать, что виноваты, как и в случае с хаосом, неправильные ассоциации к слову, в общем-то довольно точно отражающему суть изучаемого явления. Более того, все названные несчастия – болезни, землетрясения и пр. – в том смысле, который вкладывает в этот термин математическая теория, как раз “катастрофами” и не являются.

В буквальном переводе с древнегреческого катастрофа означает “переворот”. Точнее, мы можем представить себе некоторую систему со своими внутренними законами и чертами поведения. Когда в такой системе происходит переворот, это означает, что меняет режим поведения, в нем рождаются какие-то новые черты, которых в ней не было раньше, а старые теряются. (Ясно, что такая картина подходит и к бытовому толкованию слова “переворот” как смене политических режимов). Именно такие “перевороты” математики наблюдали в окрестностях особых точек систем дифференциальных уравнений при изменении их параметров, поэтому они и дали своей теории такое название.

Один из авторов теории катастроф писал: “Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий… в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный метод исследования всех скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений”.16

Итак, катастрофа – это системное явление, которое может претендовать на роль общефилософского термина. В полном соответствии с гегелевской диалектикой незначительное количественное изменение управляющего параметра может привести к качественному скачку в поведении системы. Мы уже встречались с этим в предыдущем параграфе – действительно, рассмотренная там бифуркация была лишь частным случаем катастрофы. В логистическом отображении при малом изменении величины k (например, с 2,99 до 3,01) устойчивое стремление системы к стационарной точке менялось на периодические колебания между двумя точками. Это и есть изменение режима поведения, т.е. катастрофа.

Можно ли такое качественное название режима считать произвольным? Конечно же нет. И устойчивая точка и предельный цикл уже существовали во внутренних свойствах системы, заданной законом (9). Однако, они не могли реализовываться одновременно, поэтому и существовали при различных значениях параметра. Значит, в результате катастрофы на самом деле система как целое не приобретает новых свойств – просто реализуются новые возможности, изначально в ней заложенные, но которые ранее не могли себя проявить. Поэтому катастрофа в истории – это решительная проверка системных свойств общества (страны, народа, города, учреждения и т.д.), подлинно критический момент, который заставляет выявить скрытые черты, реализовать подспудные возможности, о которых, может быть, ранее и не подозревали, и которые в других обстоятельствах могли бы никогда и не выступить на историческую сцену.

Наконец, еще одна важнейшая категория, присущая катастрофе – неизбежный выбор пути. Поясним на знакомом примере. В логистическом отображении одну устойчивую точку сменяют две устойчивых, затем четыре и т.д., что прекрасно иллюстрируется “деревом бифуркаций” (см. рис. 21) Тем самым, как мы не раз говорили, система входит в циклический режим, перебирая одну за другой все устойчивые точки при данном параметре. Однако, если перейти от отображения (9) к реальным физическим системам, которые оно описывает, мы увидим, что такой циклический режим – математическая идеализация. В реальной “диссипативной” системе (где присутствует трение, различные тепловые потери и пр.) бесконечное чередование устойчивых точек невозможно, и в конечном счете система выбирает лишь одну из них и останавливается возле нее. При этом срабатывают все свойства, присущие хаотическим системам, и в частности, чувствительность к начальным условиям, а на практике это значает, что предсказать, какую-именно из точек (или “ветвей” на дереве бифуркации) выберет система, невозможно.

Итак, в момент бифуркации мы имеем дело с непредсказуемым выбором системы между двумя (а в более сложных случаях и несколькими) путями. Каждый из путей реален, поскольку заложен в свойствах системы, но реализовываться может только один из них. Предсказать же его заранее мы не можем – бесконечно малое изменение исходного состояния (“взмах крыльев бабочки”) может привести к тому, что выбор изменится на противоположный.

Удивительно, но похожие проблемы уже давно обсуждаются в истории. Речь идет об анализе возможных исторических альтернатив и причин, приводящих к выбору того или иного пути. Такие “контрфактические” исследования приобрели популярность не только на Западе, но в последние десятилетия появились в отечественной историографии.17

Системный подход “теории катастроф” придает этим исследованиям новую глубину. Если ранее многие историки склонны были абсолютизировать роль малых причин в выборе исторического пути, то теория катастроф показывает, что случайный выбор совершается отнюдь не в случайных условиях, и всегда раскрывает внутренние, потенциально существовавшие возможности системы. Например, часто, полушутя, полувсерьез в исторической литературе рассуждают о зависимости формирования римской империи от красоты “носика Клеопатры” (согласно традиционным описаниям древних историков, именно страсть к египетской царице привела Антония к поражению от флота Августа в битве при мысе Акциум). Между тем, не просто “носик Клеопатры” привел к победе императорский Рим и изменил судьбы мира. Эта и другие случайные детали, весьма незначительные сами по себе, повлияли на процесс выбора системы в критической ситуации (катастрофе), которая уже сложилась на территории римской республики к рубежу I в.н.э. в силу всего ее исторического развития и должна была привести к рождению нового качества. И черты будущей империи, и других, возможно, более демократических форм государственности уже были заложены в период поздней республики, поэтому империю, конечно же, не создал “носик Клеопатры”. Но именно он внес вклад в выбор между ней и другими путями развития.

Явления, поддающие анализу на языке теории катастроф, всегда возникают в переходные истории периоды. Как следует из изложенной парадигмы, именно эти “промежутки” истории (выражение Ю.Н.Тынянова) особенно информативны благодаря содержащимся в них нереализованным тенденциям и непройденным путям, объединены общей ситуация исторического выбора, надолго определяющего будущее государства или народа. Подходы к таким “критическим точкам” истории могут быть развиты при исследовании проблем, например, выбора столицы складывающегося государства, структурной перестройки общества в период гражданских войн или реформ, пространственного роста городских и промышленных агломераций, развития новаторских тенденций в культуре и т.д. Взгляд историка, вооруженный математическим знанием, может принести в анализ этих ситуаций как традиционные выводы, раскрытые более глубоко, на качественном ином языке, так и новые представления. Более подробный обзор таких попыток мы предложим читателю в следующих главах.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница