Математики открыли что-то интересное


Приготовим хаос за 5 минут



страница8/11
Дата30.07.2018
Размер0.58 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Приготовим хаос за 5 минут
Итак, первоначально детерминированный хаос был открыт при исследовании систем дифференциальных уравнений, таких как модель Лоренца, и поэтому, чтобы «поймать» его удивительные свойства, все же требовались изрядные вычислительные усилия. Но очень скоро люди “приручили” хаос. Оказалось, что изучать его можно на примерах простейших разностных схем, подобных тем, что выписывали, рассуждая о теории Мальтуса. И особую роль среди схем, приводящих к хаосу, сочетая одновременно простоту и глубину анализа, получило т.н. логистическое отображение, к которому мы сейчас и обратимся.

Предположим, что нас интересуют ряд последовательных значений переменной Xi, где каждое последующее значение определяется предыдущим по правилу:



Xi+1 = k Xi (1 – Xi) (9)

Как видно, эта дискретная схема – нелинейна, и напоминает модель Мальтуса с пределом роста (5). Индекс i, как обычно, будем считать нумерующим временные единицы – годы, месяцы или дни. Сама переменная X может иметь различный смысл. Рассмотрим на график Xi+1 = f(Xi), изображенный на рис.14 (как видно, он представляет собой параболу). Если все значения переменной X нормировать от 0 до 1 (или, что то же самое от 0 до 100%), то это отображение увеличивает малые значения X и уменьшает значения, близкие к 100%. Такое поведение демонстрирует, например, рынок товаров, где X – доля рынка, захваченная новинкой. Понятно, что увеличение такой доли активно происходит, когда она только появилась и ее доля на рынке мала; когда же она покрывает почти весь рынок, начинается естественный спад, связанный с отказом от надоевшего и слишком распространенного товара, и рынок ищет другие новинки. Параметр k здесь моделирует некоторую силу, управляющую внедрением новинки (например, рекламу).

Логистическое отображение возникает и в более приближенной к истории модели социальной мобилизации (Гранофеттер, 1978). Задачей моделирования здесь было показать, как быстро массы людей включаются в общественные движения (митинги, петиции, демонстрации, марши протеста, городские беспорядки и т.д.). Модель была названа “пороговой”, поскольку утверждалось, что у каждого человека существует некоторый порог вступления в массовую акцию – для этого необходимо, чтобы в ней участвовала какая-то существенная часть его окружения. Другой порог существует и для выхода из акции – если слишком много окружающих занимаются тем же самым. Поэтому ясно, что, если X – это доля участников массового движения, ее малые значения должны расти, а близкие к 100% – падать.

Значения коэффициента k интерпретируются здесь как мера “политизированности” общества, показывающая насколько в нем велик интерес к происходящим общественным событиям и движениям. Поскольку значение переменной X меняется в пределах от 0 до 1 (т.е. 100%), то и управляющий коэффициент k нормирован в определенном диапазоне. Из требования математической корректности модели вытекает, что нормированные значения k лежат от 0 до 4.

Рассмотрим сначала последовательность Xi при малых k. Мы воспользуемся для этого уже знакомыми нам расчетами в Microsoft Excel. Итак, отведем ячейку A1 для начального значения X0 (скажем 0,3), в ячейку С1 заносим коэффициент k (для начала выберем его равным 0,1), а столбец B пока оставим свободным. Ячейки первого столбца представляют искомую последовательность Xi. Для этого в клетку A2 мы вводим вычислительную формулу

=$С$1*A1*(1–A1)

и “размножаем” эту формулу, скажем, на 30 клеток столбца A, что соответствует тридцати шагам нашей последовательности.

В первом столбце появился ряд вычисленных чисел искомой последовательности. Если выделить всю область столбца, содержащую числа, и нажать кнопку “Диаграмма” (следуя дальнейшим инструкциям, как мы это уже делали к вычислительном примере №2), то можно построить график, по которому удобно следить за дальнейшими изменениями в поведении ряда.



Рис 15. Логистическое отображение: сходимость к устойчивой точке X0 = 0.


На графике при выбранном нами значении k=0,1 видно, что значения X быстро сходятся к нулю. Это происходит практически уже через 4 шага наших вычислений. Меняя начальные значения в клетке A1, мы убеждаемся, при любом из них последовательность Xi сходится к нулю, т.е. 0 – это устойчивая стационарная точка модели при данном коэффициенте k. Результат можно интерпретировать следующим образом: малая “политизированность” жителей приводит к тому, что их участие в социальном движении будет непрерывно падать, даже при большом начальном “вбросе” его участников X0. Точно также при отсутствии рекламы распространенность товара должна все время сокращаться, даже если вначале им заполнили весь рынок.

Начнем теперь увеличивать параметр k. Легко заметить, что стремление X к нулю замедляется, этот процесс начинает занимать все больше и больше времени. При k=1 он идет так долго, что выходит за границы нашего графика; мы видим, что на 30-м шаге значение X еще где-то около 2%.

Однако, стоит управляющему параметру пересечь границу k>1, как появляется новое качество. Последовательность Xi сходится теперь к некоторому конечному ненулевому значению (например, для k=1,3 это значение примерно 0,23, т.е. 23%). И эта сходимость также не зависит от начального условия, и происходит как от малых, так и от больших X0. Выберем, скажем, при том же значении k=1,3 начальное условие X0=0,005. Казалось бы, это условие очень близко к стационарной точке X=0, однако, как видно из графика, последовательность значений Xi все равно приходит к уровню Xпред= 0,23. На математическом языке это означает, что стационарная точка X=0 потеряла устойчивость, а новая стационарная точка Xпред = 0,23 такую устойчивость получила.

Рис 16. Логистическое отображение: сходимость к устойчивой точке X0≠0.


Итак, наша модель показывает, что при превышении некоторого критического уровня “политизированности” социальные движения становятся устойчивыми в обществе. Доля их участников оказывается примерно постоянной и определяется внутренними свойствами системы – теми индивидуальными порогами участия, о которых мы говорили в начале параграфа. Существование и устойчивость такой “политически активной” части населения в развитом обществе подтверждается многочисленными социологическими исследованиями.

Возникает вопрос: сохранится ли такая картина при дальнейшем росте политизации? Не грозит ли увеличение политически активной части общества нарушить его стабильность в целом? Как доказывает модель Гранофеттера, у таких опасений есть все основания.

Мы продолжаем увеличивать коэффициент k и замечаем, что стационарная точка Xпред растет вместе с ним. На самом деле, нетрудно вывести математический закон, заложенный в модели (9), согласно которому стационарная точка определяется формулой Xпред = 1 – 1/k. Она справедлива в пределах значений k от 1 до 3, и при последнем из них доля политически активного населения достигает 67 %. А затем происходит неожиданное.

Как только k пересекает значение 3, режим поведения системы меняется. Вместо одной стационарной точки, к которой сходилась бы последовательность Xi из любого начального условия, в ее пределе возникает цикл – два чередующих значения Xi. Рассмотрим, например, k=3,2 и прежнее начальное значение X0 = 0,3.



Рис. 17. Логистическое отображение: предельный цикл из двух точек.


На графике хорошо видно, что спустя примерно 15 шагов поведение системы становится циклическим – значения X = 0,80 и X = 0,51 чередуются. Легко убедиться, что последовательность будет сходиться к этим же чередующимся значениям при любом начальном условии. Поэтому данный цикл из двух точек устойчив, т.е. является новым периодическим аттрактором системы. Его можно назвать предельным циклом в том же смысле, в каком мы использовали этот термин для систем дифференциальных уравнений.

Дальнейшее увеличение управляющего параметра показывает, что цикл из двух точек существует в области 3<k<3,5. После того как k превышает 3,5, происходит новое удвоение, и новым аттрактором системы становится цикл уже из четырех точек (на графике мы проверили это при k = 3,55).



Рис. 18. Логистическое отображение: предельный цикл из четырех точек.


Как вы уже догадываетесь, при дальнейшем росте k возникают следующие удвоения, причем происходят они все быстрее и быстрее. Восьмиточечный предельный цикл появляется при значении k около 3,57, затем рождаются циклы из 16, 32, 64 и т.д. точек. Они по-прежнему устойчивы, но наблюдать их все сложнее (так, например, ясно, что на рассматриваемом нами участке в 30 шагов наблюдать цикл из 32 точек невозможно). Следовательно, на практике с ростом числа точек в цикле представление о периодичности процесса постепенно утрачивается, и он все более начинает напоминать случайный. Однако, подлинный “хаос” может наступить, только при переходе системы к “циклу” из бесконечного числа точек. Поразительное свойство логистического отображения (9) состоит в том, что такой переход осуществляется при конечном значении управляющего параметра k около 3,6. Таким образом, при 3,6<k<4 система ведет себя апериодично, разброс значений Xi становится произвольным, в любой момент времени они могут приблизиться к 1 или упасть до 0. Это значит, что в системе наступил детерминированный хаос.

Убедимся в этом, взяв k = 3,95. Соответствующий график лучше построить для вдвое большего числа точек, чем раньше, поэтому продлим столбец чисел в таблице, до ячейки A60, а затем выделим нашу диаграмму, нажмем клавишу “Мастер диаграмм” и в появившемся окне изменим область данных графика на “=$A$1: $A$60”. Перед нами возникает график ряда Xi, который можно было бы счесть последовательностью случайных чисел, если бы мы знали, что он сгенерирован по вполне определенному закону (9). В ряду присутствуют как очень большие (близкие к 1), так и малые значения. Можно строго доказать, что значения Xi могут с равной вероятностью оказаться в любой области отрезка от 0 до 1, и таким образом, равномерно заполняют его, но в случайном порядке. Это свойство, по которому хаотический ряд равномерно заполняет область значений, называется эргодичностью и играет важную роль в теории хаоса.



Рис. 19. Логистическое отображение: хаос.


Какие выводы из увиденного нами рождения хаоса можно сделать для нашей модели социальной мобилизации? Первый и главный – при слишком большом значении управляющего параметра (“политизации”) общество теряет устойчивость. Заметим, что стабильное состояние продолжалось до максимального уровня “политически активной” части населения в 67 %. При дальнейшем росте политизации вместо увеличения этой социальной группы наша модель предсказывает колебания ее численности. Люди то вступают, то выходят из общественных движений (в последнем случае их отталкивает слишком большое число участников) – т.е. нарастает социальная неуверенность, и это первый симптом надвигающегося хаоса. Последующий режим можно рассматривать как переходный – колебания будут усложняться, резко прогрессируя (как мы видели, для перехода от 4 до 16-точечного цикла и т.д. достаточно изменения уровня политизации на несколько десятичных долей), наконец, если политизация близка к максимальной (а ей, напомним, соответствует максимальное значение k=4), то в обществе наступает хаос. В любой момент времени число участников социальных движений может достигнуть 100% (и это, очевидно, «революция»), или упасть до нуля. Более того, предвидеть развитие поведения системы невозможно – этому препятствует указанное нами выше свойство детерминированного хаоса: чувствительность к начальным значениям.

Проиллюстрируем это важное свойство на нашей электронной таблице. Если вы помните, вначале мы оставили свободным столбец B, и вот теперь он нам понадобится. Выделите все ячейки с числами в столбце A, затем в ряду основных клавиш программы нажмите “Копировать”, и затем поставьте курсор в ячейку B1 и нажмите клавишу “Вставить”. Столбец B теперь является копией столбца A. Но меняя значение в его первой клетке B1, можно получить вторую числовую последовательность для нашего анализа. Пусть в A1 находится начальное значение X0=0,3, а в B1 – очень близкое значение 0,3001 (коэффициент k по прежнему берем равным 3,95). Построим на диаграмме графики двух рядов одновременно, для этого достаточно все лишь указанным выше способом поменять область данных на “=$A$1:$B$60”.



Рис. 20. Логистическое отображение: чувствительность к заданию начального условия (ЧЗНУ).


Вначале оба ряда почти сливаются. Но вот по истечении 10 шагов заметны уже некоторые различия в их поведении, наконец, на 15 шаге они совершенно расходятся – один ряд резко уменьшается почти до нуля, а другой, наоборот, растет. Расстояние между значениями ряда превышает половину ширины всей области значений (около 0,6 – сравним с тем, что в начале их разность была 0,0001) В дальнейшем поведении рядов всякая корреляция между ними утрачивается. Интересно увидеть из графика, как где-то около 40 шага ряды вдруг опять сливаются – однако это чистая случайность, и мы видим, что через несколько шагов она исчезает.

Логистическое отображение не просто демонстрирует нам простой пример перехода системы к детерминированному хаоса. Оно еще предлагает определенный сценарий такого перехода. Признаками такого сценария являются удвоения (или, как говорят математики, бифуркации) стационарных точек системы. Наверное, самая красивая картинка из всего, что нам может дать такое простое с виду отображение (9), – это “дерево бифуркаций” (см. рис. 21). На рисунке изображены значения стационарных точек системы (по вертикальной оси) при различных k (по горизонтальной оси). Вначале – это всего одна стационарная точка Xпред=1 – 1/k, но затем она раздваивается на двухточечный цикл (при k=3), а в свою очередь каждая из точек цикла раздваивается дальше (при k=3,5) и т.д. При k>3,6 мы совершенно перестаем различать структуру дерева, не можем сосчитать сколько на нем “ветвей”, а это и значит, что в системе наступил хаос.

У дерева бифуркаций много необычных свойств. Например, в нем есть “окна” порядка – самое большое такое окно можно заметить при k  3,84 – здесь последовательность Xi переходит на трехточечный цикл! Как показывают математические исследования такие “окна” можно найти для циклов любого порядка, однако с увеличением количества точек цикла размер соответствующего окна становится исчезающе малым.

Другое любопытное свойство – в том, что расстояния между последовательными бифуркациями (измеренные по оси k), убывают приблизительно в геометрической прогрессии. Именно это свойство обеспечивает наступление хаоса при конечных значениях управляющего параметра. Более того, знаменатель прогрессии (т.н. число Фейнгенбаума F  4,669) – это универсальная математическая константа, независящая от конкретного вида отображения (9). Такой же знаменатель наблюдается у последовательности бифуркаций любого отображения, лишь бы на его графике (см. рис. 14) был один максимум. Все это раз иллюстрирует тот факт, что переход к хаосу через последовательность бифуркаций является одним из универсальных способов рождения хаоса.

Бифуркации присущи не только стационарным точкам дискретных отображений. Они возникают и в системах дифференциальных уравнений, где изменения управляющего параметра могут привести к рождению предельного цикла из фокуса, к “столкновению” и слиянию двух фокусов и т.д. (некоторые возможности изображены на рис. 22). Главная черта этих примеров – качественное преобразование фазового портрета системы при изменении ее параметров. Меняются режим фазовых траекторий, а значит рождается новая внутренняя структура решений системы, их качественно новое поведение.

Со свойствами бифуркаций связано последнее глобальное определение из теории хаоса, которое мы рассмотрим в данной части. Речь идет о понятии “катастрофа” и его сочетании с некоторыми уже устоявшимися взглядами на развитие исторического процесса.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница