Математики открыли что-то интересное


Опасная красота или Что может сделать одна единственная бабочка?



страница7/11
Дата30.07.2018
Размер0.58 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Опасная красота или Что может сделать одна единственная бабочка?
По-видимому, все это происходило так12. Однажды американский метеоролог Эдвард Лоренц попал под дождь и промок до нитки, поскольку не взял с собой зонтик. Простудившись и лежа в постели он долго и горько сетовал на собственную профессию: “Ну, сколько это будет продолжаться? Научатся ли когда-нибудь метеорологи давать надежные прогнозы погоды?” Поскольку свободного времени во время болезни у Лоренца было много, он немного подумал и решил сам попробовать и смоделировать, как именно меняется погода за его окном. Вначале дело казалось невероятно сложным – у атмосферы на улице десятки показателей, в ней происходят самые различные процессы – но, в конце концов, Лоренц свел все многообразие параметров к трем главным переменным, для связи которых он написал три нелинейных дифференциальных уравнения. Модель вышла довольно грубой, но годилась для предсказаний – осталось только “зарядить” ее в ЭВМ и получать результаты (а на дворе был 1963 г., и рабочий компьютер Лоренца марки LPG 30 просто не справился бы с расчетами более точной, но и более сложной модели). Из уважения к открытию мы также приведем систему дифференциальных уравнений Лоренца, не обсуждая смысла его переменных (достаточно сказать, что они происходят из упрощения классических уравнений гидродинамики и теплопроводности):

dX/dt = 10 (Y – X)

dY/dt = – XZ + r X – Y (8)

dZ/dt = XY – (8/3) Z

Вначале вычисления шли как обычно. Если параметр r, выбранный Лоренцом в качестве управляющего, брать малым, то система имела устойчивые решения, стремящиеся к стационарной точке типа «фокус». Однако, если придать этому параметру достаточно большое значение (например, r=28), то фазовые траектории системы (8) теряли устойчивость. Они становились нерегулярными орбитами, вращающимися вокруг двух фиксированных центров, причем их витки не имели постоянного радиуса, они то приближались, то удалялись от центра. Поразительно было, что сделав несколько оборотов вокруг одного из центров траектория внезапно перескакивала ко второму, а потом столь же внезапно возвращалась, и число витков между “перескоками” все время менялось, так что в этом процессе не было видно никакой закономерности.

Тщательно исследуя необычное поведение траекторий, Лоренц сделал два поразительных открытия. Во-первых, независимо от выбора начальных значений траектории всех решений довольно быстро оказывались в некоторой ограниченной области фазового пространства и начинали чертить там одну и ту же фигуру, показанную на рис. 11. Как вы видите, она очень похожа на бабочку, расправившую крылья. В центре каждого крыла находятся неустойчивые стационарные точки системы дифференциальных уравнений (8) (вы можете отыскать их сами, приравнивая правые части (8) к нулю). Если внимательно рассматривать структуру этой “бабочки”, то можно увидеть, что ее крылья “сотканы” очень сложно, как будто “нитка” все время случайным образом переходила с одного крыла на другое. Это означает, что и решение (8), которому соответствуют траектории на “бабочке”, ведет себя как бы случайно (на рис.12 показан график зависимости от времени одной из переменных X(t)): некоторое время решение проводит вблизи одной стационарной точки (на графике это X=8,5), затем резко переходит к колебаниям вокруг другой точки (X’= – 8,5). Подчеркнем, что к нашей “бабочке” сходились траектории из любых, в том числе очень далеких начальных точек, поэтому она несомненно представляет собой аттрактор системы (8). Однако он совсем не похож на рассмотренные нами выше фокус и предельный цикл, и поэтому он получил название странного аттрактора.13

Второе свойство системы (8), обнаруженное Лоренцом, было не менее удивительным. Он нашел, что поведение модели “чудовищно” неустойчиво к изменению начальных условий. Поясним это так: мы возьмем два решения системы, выходящие из очень близких начальных точек (см. рис.13) Вначале их поведение схоже – они почти синхронно обращаются вокруг крыльев бабочки и вместе делают “первый перескок”. Однако, спустя некоторое время поведение решений расходится – они перестают делать “перескоки” вместе, и если вначале второе решение просто несколько запаздывало по сравнению с первым, то очень скоро даже сама форма решений становится совсем другой. Расстояние между решениями растет, они оказываются на разных «крыльях», и, наконец, можно сказать, что с некоторого момента между поведением этих решений вообще нет никакой связи. Таким образом, Лоренц сделал вывод: при сколь угодно малом изменении начальных значений спустя конечное, и даже весьма небольшое время, новое решение системы (8) полностью утрачивает корреляцию с старым. Предсказать его поведение, основываясь на старом решении, становится невозможно, хотя их начальные условия были очень и очень близки.

Сам не ожидая такого успеха, Лоренц смог теперь ответить на волновавший его вопрос: можно ли предсказать погоду? Оказывается, ответ прост – нет, нельзя, по крайней мере, на длительное время вперед, поскольку минимальная ошибка в знании начального состояния атмосферы, ошибка, которую нельзя учесть даже обладая самыми лучшими приборами, может привести к тому, что погода, которая наступит, будет абсолютно противоположна предсказанной. Конечно, это не относится к краткосрочным прогнозам, когда корреляция двух близких решений еще не успевает нарушиться. К тому же, можно надеяться, что не всегда параметры атмосферы таковы, что в ее уравнениях появится странный аттрактор, поэтому результаты Лоренца не должны подрывать сами основы существования службы погоды. Но если уж эти параметры приводят к появлению странного аттрактора , то система входит в состояние хаоса, и тогда ее поведение принципиально непредсказуемо. Малые, даже смешные причины, изменяющие начальные условия, могут вызвать колоссальные трагические последствия.

Лоренц писал: “Взмах крыльев бабочки сегодня, на крыше моего дома в США может через месяц вызвать опустошительный ураган на побережье Индонезии.”14 “Эффект бабочки” – именно так и назвал Лоренц обнаруженную им необычайную чувствительность к заданию начальных условий. Образ бабочки, порожденный самим видом аттрактора Лоренца, очень быстро, уже при самом открытии хаоса, сплетался с представлениями об исторических судьбах человечества. В начале 1960-х. гг. (почти одновременно с открытием Лоренца!) великий американский фантаст Рей Бредбери написал ставший знаменитым рассказ “И грянул гром”. Его герои – путешественники во времени – обсуждают влияние незначительных изменений в далеком прошлом на человеческую историю и приходят к тем же выводам, что и Лоренц. “Нельзя предсказать, к чему приведет гибель того или иного растения. Малейшее отклонение сейчас неизмеримо возрастет за шестьдесят миллионов лет... Скажем, мертвая мышь ведет к небольшому отклонению в мире насекомых, дальше – к угнетению вида, еще дальше – к неурожаю, депрессии, голоду, наконец, к изменениям социальным. А может быть, итог будет совсем незаметным – легкое дуновение, шепот, волосок, пылинка в воздухе, такое, что сразу не увидишь. Кто знает? Кто возьмется предугадать?”15 Бредбери смотрит на историю Земли как на систему в состоянии хаоса, с непредсказуемой судьбой. В результате, как вы помните, герой рассказа, попав в прошлое, случайно раздавил все ту же бабочку – а в современных ему Соединенных Штатах изменились результаты президентских выборов, и к власти пришел диктатор.

Рассмотренная нами модель Лоренца содержит все сущностные черты, свойственные явление детеминированного хаоса и позволяет дать его математическое определение. Очевидно, что модель типа (8) описывает детерминированную систему в том смысле, что законы ее развития заданы на языке дифференциальных уравнений, значения всех коэффициентов в уравнениях фиксированы, поэтому математика гарантирует, что зная начальные условия системы мы найдем однозначное решение, описывающее ее дальнейшее поведение. Откуда же здесь взяться случайности? Оказывается, что все дело в чувствительности к заданию начальных условий. Малейшая ошибка в их определении сводит на нет уверенность в том, что мы определили именно то единственное, нужное нам решение, более того, любое “близкое” решение, на самом деле совершенно не годится, поскольку через короткое время оно потеряет свою “близость” к искомому решению. Это значит, что для того, чтобы определить поведение системы, необходимо знать начальные условия с бесконечной точностью, а это невозможно. Итак, в действительности поведение нашей детерминированной системы оказывается принципиально непредсказуемым, т.е. случайным. Поэтому мы можем дать следующее определение: детерминированным хаосом называется режим поведения динамической системы, обладающей свойством чувствительности к заданию начальных условий.

Указанное ключевое свойство в определении хаоса имеет и чисто математическую формулировку – в системе, обладающей чувствительностью к заданию начальных условий, траектории в фазовом пространстве неустойчивы и любое отклонение между двумя из них X(t) и X’(t) экспоненциально растет:

|X(t) – X’(t)| ~ C e t .

(модуль здесь надо понимать как расстояние в многомерном фазовом пространстве). Константа  >0 и определяет характерное время разбегания траекторией и называется показателем Ляпунова (подробнее о нем см. приложение). Нам сейчас важна тесная связь между хаотическим поведением системы и неустойчивостью: существование странного аттрактора всегда означает присутствие локальной неустойчивости в данной области фазового пространства.

Помимо исследования фазового пространства, то же свойство можно изложить и на временном языке с помощью понятия автокорреляционной функции A() = <X(t), X(t + )> (острые скобки означают усреднение по всем значениям времени t). Ее значение выражает корреляцию решения X(t) с тем же решением, сдвинутым по времени на промежуток . Введенная статистиками, эта функция как раз и призвана показать, насколько полученное решение предсказуемо (корреляция присутствует для всех ) или нет, как в нашем случае. Если решения в хаотической системе через конечное время теряют связь со своим предшествующим поведением, то автокорреляционная функция для таких решений спустя конечный промежуток должна обращаться в нуль, т.е. ненулевые значения A() должны встречаться только в ограниченном диапазоне . Поскольку автокорреляционную функцию в принципе можно вычислить для любого временного ряда, то она служит хорошим инструментом для диагностики присутствия хаоса в системе (см. приложение).

Наконец, познакомимся чуть подробнее на примере модели Лоренца с геометрией странного аттрактора. Мы говорили, что внешне аттрактор Лоренца похож на бабочку, т.е. двумерную поверхность. Однако, «проткнув» кажущееся двумерным “крылышко”, мы обнаружим там сложную структуру, состоящую из большого числа плотно упакованных листов. Таким образом, обладая “поперечной” структурой, странный аттрактор не может быть поверхностью, но вместе с тем не имеет объема, поскольку толщина каждого “листа”, из которых он состоит, равна нулю. Все это приводит нас к мысли, что странный аттрактор относится к очень необычному классу геометрических объектов, называемых фракталами, – объектов, пространственная размерность которых не является, как мы привыкли, целым числом (одно– , двух– или трехмерные фигуры), а некоторым дробным числом (так, размерность аттрактора Лоренца d = 2,06). Краткий очерк фрактальных свойств природы и их применений мы также сочли необходимым поместить в приложение к этой главе.

Итак, в чем же главная ценность открытий Лоренца? Не только в том, что им был математически “пойман” некий экзотический объект. Вернемся к началу главы. Лоренц получил свою систему, значительно упростив исходные, более точные гидродинамические уравнения. И, упростив – получил невероятно сложное, хаотическое поведение. Значит, это поведение было неотъемлимым свойством и самой исходной системы. А ведь полученный Лоренцом хаос, в некотором смысле, действительно прост, его удобно моделировать и изучать, а для “неупрощенной” атмосферы ситуация еще сложнее (можно попытаться представить себе странные аттракторы с большими размерностями и запутанной структурой, которые описывают бушующие турбулентные потоки и т.д.) Но главное – Лоренц даже на грубой модели открыл подлинное свойство природы.

В этом умении – упрощать, чтобы открыть сложное – заключена большая надежда для тех полей науки, где явление хаоса не так очевидно, и конечно же, для истории. Хаос – это структурное свойство системы, одна из основных ее черт. Поэтому, для его обнаружения не требуется слишком точная модель, и можно не бояться, что если слегка поменять коэффициенты или добавить новые слагаемые, то хаос исчезнет. Мы уже знаем, что хаос порожден нелинейностями и неустойчивостями фазового потока в многомерном пространстве – а это выполняется для большинства нелинейных систем. Например, в истории для этого достаточна всего лишь трехкомпонентная модель социума с нелинейными связями (в биологии, скажем, этому соответствуют системы типа “два хищника и добыча” и т.п. – и здесь действительно обнаруживается хаос). Анализируя задачу и неизбежно упрощая ее (хотя, понятно, не надо впадать в крайности!), можно не бояться «потерять» хаос, и если мы нашли его в простой модели системы – значит, он действительно там есть.

И еще: мы хотим подчеркнуть одну особенность, отличающую наш подход от того, что продемонстрирован в знаменитом рассказе Рея Бредбери. Там хаос – это как бы глобальное состояние истории, времени, влияющее на все и вся. Это не совсем точная метафора – мы уже говорили, что моделируемая дифференциальными уравнениями действительность описана локально, и такое описание само по себе имеет свои временные и пространственные границы. Для системы в целом это означает, что хаос может умирать и рождаться. Скажем, пусть в модели Лоренца управляющий параметр r незначительно меняется с течением времени. На поведении решений это почти не скажется, но тогда система, начиная когда–то развитие с малым r в регулярном режиме, может затем, при достижении управляющим параметром некоторого “критического” значения, перейти к хаосу. Возможен и обратный переход. Такого рода изменение режимов поведения называется бифуркацией и заслуживает подробного знакомства в следующих параграфах. Пока же, не соглашаясь с Реем Бредбери, мы предлагаем свой, “локальный” взгляд на историю как на чередование хаотических и предсказуемых процессов, и если в период хаоса роль случайностей резко возрастает, то в “спокойное” время они не могут оказать существенного влияния на направление развития.

Все изученные в этом параграфе свойства находят непосредственное применение при построении методов, позволяющих определить, находится ли система в хаотическом режиме (иначе говоря при детектировании хаоса). Мы рассмотрим сейчас эти же свойства на одном конкретном примере, позволяющем лучше и нагляднее понять “механику” хаоса, а затем перейдем к обсуждению возможности исторических приложений нового понятийного аппарата.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница