Математики открыли что-то интересное



страница6/11
Дата30.07.2018
Размер0.58 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
2. Вычислительная схема.

Необходимо преобразовать систему (7) к виду, удобному для вычислений. Для этого мы вспоминаем, что, например, производную dX/dt можно заменить скоростью роста X/t за конечное время t, если это время достаточно мало. Сделав такую замену для производных dX/dt и dY/dt, и вспоминая, что по определению X = Xi+1 – Xi, после несложных математических преобразований мы получим способ нахождения следующий значений Xi+1 и Yi+1, по предыдущим:



Xi+1 = Xi + t * (– a Xi + k Xi Yi)

Yi+1 = Yi + t * ( b Yik Xi Yi)

Остается только ввести эту вычислительную схему в нашу таблицу. А именно, в ячейку A2 мы вводим формулу

= A1 + F$1 * (–C$1*A1 + E$1 * A1 * B1)

а в ячейку B2 формулу

= B1 + F$1 * (D$1 * B1 – E$1 * A1 * B1)

3. Построение графиков и фазовых траекторий.

Интересно проследить развитие наших популяций на достаточно длительном промежутке времени, поэтому мы выберем 200 шагов вычислений, а "протянем" с помощью мыши наши вычислительные формулы, размножая первую из них на столбец A вплоть до A200, а вторую формулу – вплоть до B200. Чтобы увидеть графики изменения массы щук и ершей, выделим (нажав клавишу "Shift" и двигая курсор) оба столбца, т.е. весь диапазон ячеек от A1 до B200. Далее в основном меню программы нажмем клавишу "Мастер диаграмм". Мы выбираем тип диаграммы – "График". На экране появятся простые инструкции, следуя которым мы строим диаграмму, на которой находятся оба графика X(t) (щуки – «правый» график) и Y(t) (ерши – «левый» график). Они приведены на рис. 4.



Рис. 4. Динамика модели Лотки–Вольтерра для популяции ершей (график слева) и щук (график справа).


По горизонтальной оси откладывается номер шага по времени. Мы видим интересное свойство – примерно спустя 50 шагов оба графика начинают расти, максимальная масса щук достигает 400 кг, максимальная масса ершей чуть меньше. Однако важно, что положения этих максимумов разные, более того, можно заменить, что максимум ершей соответствует наибольшему росту популяции щук (они "хорошо питаются"), и, наоборот, максимум щук – наискорейшему уменьшению числа ершей, которых в этот момент активно поедают.

Оказывается, что постоить фазовую траекторию, соответствующую этим решениям, не менее просто. Поскольку фазовая траектория строится в координатах (X, Y), то нам нужно, опять выделив диапазон A1:B200 и нажав "Мастер диаграмм", просто выбрать другой тип графика – "XY – точечная диаграмма". Построенная картинка будет иметь следующий вид:



Рис. 5. Фазовая траектория в модели Лотки-Вольтерра (по оси X – щуки, по оси Y – ерши).


Ясно, что такие фазовые траектории можно построить не только для выбранных нами начальных условий (X=20, Y=30), но и для любых точек фазовой плоскости, таким образом, получив полный фазовый портрет системы. Заметим здесь, что поскольку при построении вычислительной схемы мы пользовались приближенным выражением для производной, поэтому вычисленная траектория не вполне точна – на диаграмме она не замкнута, в то время как точный анализ показывает, что траекториями системы (7) являются замкнутые кривые.

Очень интересен вид полного фазового портрета системы, изображенный на фазовом портрете (см. рис.6) Оказывается, что популяции щук и ершей изменяются циклически – об этом говорят замкнутые траектории на фазовой плоскости, двигаясь по которым мы вновь возвращаемся в исходное состояние системы. Циклический характер процесса можно объяснить и качественно. Постепенное вымирание щук приводит к тому, что популяция ершей начинает расти, тем самым у щук появляется больше добычи, процесс их вымирания прекращается и их популяция растет, вследствие этого пожирается все больше ершей, а значит их популяция сокращается, добычи не хватает, и щуки вновь начинают вымирать. На фазовой плоскости существует одна точка, в которой достигается равновесие – обе популяции не изменяются, т.к. съеденный и естественный приросты точно компенсируют друг друга (это – стационарная точка системы дифференциальных уравнений (7), ее можно найти, приравнивая к нулю правые части каждого уравнения, откуда Xc=b/k, Yc=a/k). Интересно, что даже стартуя из ситуаций, далеких от стабильного равновесия (т.е. начальные условия X0 и Y0 далеки от Xc и Yc), процесс носит устойчивый, повторяющийся характер – замкнутые траектории охватывают всю фазовую плоскость. Единственное исключение – это начало координат, точка (X=0, Y=0). Здесь система находится в неустойчивом равновесии. Действительно, отсутствие рыбы в пруду может длиться сколь угодно долго, однако, стоит там появиться хотя бы незначительному количеству щук и ершей, как система уже не вернется к нулевому состоянию, а продолжит циклическое развитие.

Как мы уже упоминали, двухкомпонентные модели типа (6) применимы не только в биологии, но и к исследованиям динамики общества. Значительную работу здесь проделал современный немецкий ученый, физик и социолог В.Вайдлих.9 Он рассматривал систему типа (6) как модель отношений между “народом” и “правительством”, причем переменные X(t) и Y(t) трактовались им как меняющаяся со временем степень влияния каждой из этих групп на принятие решений в обществе. Вайдлих доказал несколько общих выводов о протекании политических процессов в этой модели, а иллюстрирующие их фазовые траектории. приведены на рисунках. (рис.7). 1) При наличии “сотрудничества” между народом и правительством (т.е. народ доверяет решениям, принимаемым правительством, а то, в свою очередь, считается с мнением народа) система в зависимости от начального состояния может прийти к двум стабильным состояниям – гармоничной демократии, характеризующейся авторитетным правительством (большими X) и значительной ролью народа в принятии решений (большими Y) или (при “неблагоприятных” начальных условиях) – анархии, когда правительство безответственно и опирается на столь же безответственное мнение народа, причем ни один из них не контролирует ситуации, величины X и Y малы. 2) Если в силу каких–либо исторических обстоятельств в обществе сложился антагонизм между народом и правительством (т.е. правительство не доверяет народу, стремится уменьшить роль его мнения, и, наоборот, народ не склонен поддерживать авторитет правительства), то система также с течением времени приходит к двум устойчивым точкам – диктатуре (вся власть в руках правительства, не считающегося с народом, большие X, но малые Y) или охлократии, при которой единственной силой, влияющей на принятие решений, остается народ, а власть правительства минимальна (малые X, большие Y). 3) Наконец, если отношения между правительством и народом построены по схеме “хищник–добыча” (скажем, правительство жестко подавляет народное мнение репрессиями, а народ, тем не менее, поддерживает политику правительства), то, к удивлению, эта ситуация демонстрирует свою стабильность и приводит к циклическим изменениям авторитета народа и правительства вокруг равновесного значения, как мы это видели в модели Лотки–Вольтерра. Народ получает то несколько большее, то меньшее участие в принятии решений, при этом вес правительства в обществе то растет, то несколько падает, но вся система сохраняет устойчивость и повторяемость, и перевести ее на другой режим можно только внешними воздействиями10.

Итак, мы познакомились с некоторыми применениями двумерных систем дифференциальных уравнений в биологии и социальных науках и увидели, что эти системы позволяют описать качественно новые процессы по сравнению с одномерным уравнениям типа модели Мальтуса, рассматривавшимися ранее. В частности, именно в рамках двумерных систем естественно возникают периодические, циклические процессы.11

Общие же свойства решений двумерных систем куда богаче уже изученных нами. Так, помимо циклов и траекторий, уходящих в бесконечность, на фазовой плоскости можно нарисовать семейство траекторий, сходящихся к данной точке, которая в таком случае называется фокусом (см. рис.8) Также легко представить фазовый портрет и другого рода: незамкнутые траектории с течением времени “наматываются” на некоторую данную замкнутую траекторию, которая получила название предельного цикла. (см. рис.9)

Хорошей иллюстрацией различий между фокусом и предельным циклом является маятник настенных часов. Если маятник часов, висящий неподвижно, слегка качнуть, то он вернется в прежнее положение, т.е. остановится, и эта неподвижная точка – аналог притягивающего фокуса. Однако, если маятник раскачать достаточно сильно (а сами часы заведены), то он уже не вернется в начальное состояние, а будет долго качаться с одной и той же амплитудой, которая не зависит от того, насколько сильно мы качнули его впервые раз. Таким образом, в фазовой плоскости маятника существует область, где решения сходятся к фокусу, и есть другая область начальных данных, из которой все решения переходят на стационарные колебания , т.е. предельный цикл.

И фокус, и предельный цикл являются своего рода финальными состояниями, “целью развития” системы – по прошествии достаточно большого промежутка времени все фазовые траектории из данной области начальных значений стремятся к этим состояниям. Такого рода точки и кривые на фазовой плоскости называются аттракторами системы. Можно строго доказать, что фокус и предельный цикл – это единственные типы аттракторов, возможные в двумерном случае. В многомерной системе (количество описывающих ее дифференциальных уравнений больше чем 2) предельный цикл получает свое обобщение (см. рис.10) – эта линия проходит уже не на плоскости, а в фазовом пространстве и напоминает нить, обмотанную вокруг бублика (в математике обозначается как обмотка тора). Хотя наше воображение не способно представить пространство с размерностью больше 3, но математики легко это делают, и, по их утверждению, в таком многомерном пространстве (т.е. для произвольного числа дифференциальных уравнений) существуют предельные циклы на торах любой размерности.

Однако, с увеличением размерности пространства, уже в трехмерном случае в семействе аттракторов происходит прибавление, непосредственно связанное с рождением хаоса. Здесь появляется притягивающее множество нового типа – т.н. странный аттрактор. Подчеркнем, что минимальными требованиями для его возникновения являются нелинейность системы и число уравнений не менее трех – казалось бы, это не слишком много, но вытекающие отсюда следствия превосходят всякие ожидания.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница