Математики открыли что-то интересное



страница4/11
Дата30.07.2018
Размер0.58 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Щуки и правительство
В описанной нами ранее модели Мальтуса присутствовала всего одна динамическая переменная – X(t). Это было вполне естественно, поскольку нас интересовал только один показатель – численность населения, и само население рассматривалось как однородная группа людей. Однако, как быть, если нас интересуют несколько групп людей, не смешивающихся между собой, но взаимодействующих (т.е. проживающих на одной территории, общающихся, обменивающихся продуктами и т.д.)? Очевидно, что для такой ситуации необходимо написать многокомпонентную модель с несколькими динамическими переменными – X(t), Y(t), Z(t) и т.д., каждая из которых соответствует своей группе. Многокомпонентная модель может возникнуть и для однородной группы людей (например, этноса), если мы ставим задачу изучить несколько его разных показателей (не только численность, но социальную активность, уровень образования, отношение к соседним этносам и пр.), оказывающих влияние друг на друга7.

Математический язык предоставляет нам описание моделей такого типа с помощью системы дифференциальных уравнений. Каждое из этих уравнений определяет скорость изменения одной из динамических переменных, которая выражается через значения всех переменных задачи.

Мы начнем знакомство с системами дифференциальных уравнений с двумерного случая (два уравнения в системе). Модель, которую мы рассмотрим, хорошо известна в социологии, а родилась она в биологии еще в 1931 г. Ее предложил В.Вольтерра, итальянский ученый, по праву считающийся основателем математической экологии, для описания циклических процессов происходящих в цепи питания “хищник – жертва”, а американский математик А.Дж.Лотка первым использовал ее для развития языка социологических моделей, изучающих динамику населения.

Предположим, что две социальные группы (или популяции), численность которых описывают переменные X(t) и Y(t), взаимосвязаны друг с другом. С одной стороны, динамика каждой из численностей определяется внутренними показателями воспроизводства и предела роста (как мы видели это выше в модели Мальтуса). Однако, с другой стороны, к этим “собственным” изменениям каждой из переменных добавляется величина, пропорциональная влиянию другой группы. В итоге, мы можем записать для скорости роста каждой переменной похожие выражения:



dX/dt = a(Xпр–X) X + k12 XY (6)

dY/dt = b(Yпр–Y)Y + k21 XY

Первые слагаемые в каждом из уравнений в точности совпадают с правой частью модели Мальтуса с пределом роста (5) – это и есть собственные вклады в динамику переменных. Вторые же слагаемые, пропорциональные произведению X(t)∙Y(t), описывают взаимосвязь групп. Здесь важно дать правильное истолкование смысла коэффициентов k12 и k21 . Если оба коэффициента больше нуля, то взаимодействие групп приводит к росту численности каждой из них. Поэтому, в таком случае уместно говорить о сотрудничестве, “кооперации” двух групп (в биологии такое взаимодействие называется симбиозом). Если оба коэффициента отрицательны (т.е. в результате взаимодействия численность каждой из групп уменьшается), то речь идет о «конкуренции» групп (в биологии каждая из популяций “пожирает” другую). Наконец, если коэффициенты имеют разные знаки, например, k12>0, а k21<0, то отношения между группами можно характеризовать как “хищник – добыча”: первая группа (“хищники”) питается за счет второй группы (“добыча”), причем численность хищников растет пропорционально количеству добычи, а сама добыча, наоборот, уменьшается пропорционально числу хищников.

Система (6) описывает простейшее двухкомпонентное взаимодействие. Она является нелинейной, и в общем виде решается вычислительными методами, причем поведение решений сильно зависит от соотношения между параметрами модели. Демонстрировать эти решения можно разными способами – так, например, можно построить графики каждой из величин X(t) и Y(t) как функции времени, и, сравнивая оба графика между собой, делать выводы о свойствах полученного решения. Но более эффективный способ, предложенный математиками, состоит в построении фазового портрета решений системы. Это чисто геометрическая картина, полностью эквивалентная данной системе дифференциальных уравнений (ее всегда можно нарисовать благодаря тесной связи между алгеброй и геометрией, и ведь недаром именно последнюю в платоновской Академии считали вершиной математики!).

На фазовым портрете решения изображаются на плоскости с координатами XY (которая в этом случае называется фазовой плоскостью) в виде траекторий Y(X) или X(Y). Чтобы определить поведение переменных в каждом конкретном случае, мы “стартуем” от начальных условий – точки с координатами (X0, Y0). Поскольку через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна траектория, то, задав начальные условия, мы тем самым попадаем на искомую траекторию и движемся дальше в соответствии с ней. А двигаясь по траектории, мы тем самым и определяем дальнейшую динамику изменения переменных X и Y в данном конкретном решении.

Чтобы лучше в этом разобраться, рассмотрим “классическую” систему Лотки–Вольтерра, написанную как модель динамики двух популяций – щук и ершей – в замкнутом водоеме (в озере или пруде)8. В данной модели щуки, естественно, выступают в роли хищников, а ерши – добычи. Упрощая исходную систему (6), авторы предположили, что общая масса популяции щук X(t) далека от предельного уровня и, более того, обладает отрицательным коэффициентом воспроизводства, так что в отсутствии добычи – ершей – щуки бы экспоненциально быстро вымирали (их “собственное” уравнение dX/dt= – a X, a>0). Напротив, популяция ершей, также далекая от насыщения, без щук неограниченно плодилась бы согласно уравнению dY/dt= b Y, b>0. Объединим теперь оба уравнения в систему с учетом взаимодействия, а именно, полагая, что щуки поедают ершей:

dX/dt = – a X + k XY (7)

dY/dt = b Y – k XY

Здесь k > 0 – “коэффициент питания” – написан в соответствии со схемой “хищник–добыча”, причем его равенство в обоих уравнениях просто означает тот факт, что в процессе питания полная биомасса сохраняется (обе переменные величины имеют в модели Лотки–Вольтерра смысл не численности популяции, а пропорциональной ей биомассы).

Система (7) значительно проще исходной системы (6), ее решение можно даже найти аналитически. Однако мы, для построения фазовых траекторий вновь воспользуемся программой Microsoft Excel.




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница