Математики открыли что-то интересное



страница3/11
Дата30.07.2018
Размер0.58 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
3. Вычислительная формула.

Эта формула, вычисляющая значения населения в следующем году по предыдущему, уже была нами написана выше, но для удобства еще раз повторим ее здесь: Xi+1=Xi + (r – m) Xi . Численность населения будет находиться в первом столбце нашего листа, поэтому мы начнем с нахождения первого из вычисляемых значений (т.е. населения в 1966 г.), которое должно быть в клетке “A2”. Для этого вводим туда строчку, начинающуюся со знака равенства:

=A1+(B$1–C$1)*A1

Сравните эту запись с правой частью формулы выше – и ее смысл будет вам ясен. Действительно, вместо A1 программа подставит написанное в этой клетке значение 194, а вместо B1 и C1 – коэффициенты r и m. Смысл знака “$” мы объясним чуть ниже.

Итак, если вы без ошибки ввели указанную строку, то в клетке “A2” у вас появилось число 195,358 – вычисленное количество млн. жителей США в 1966 г. (впрочем, на цифры после запятой можно не обращать внимания – это явное превышение точности нашей модели).

4. Получение окончательных результатов.

Теперь нам остается только “размножить” полученную формулу из ячейки “A2” на весь столбец “A”. Для этого подведем указатель мыши к правому нижнему углу рамки вокруг этой ячейки (при этом сам указатель принимает форму черного крестика). Нажимая на левую кнопку мыши, мы “тянем” указатель вниз по столбцу, на столько клеток, на сколько нам нужно. Если мы хотим узнать динамику за 30 лет, то естественно остановиться на клетке “A30” и отпустить левую кнопку мыши. Наша формула скопирована на все ячейки от “A2” до “A30”, поставив рамку на любую из них, вы можете в этом убедиться. Причем когда мы “перетаскивали” формулу вниз, соответственно менялись все индексы ячеек, кроме тех, что были помечены знаком “$”. Поэтому фиксированные коэффициенты, содержащиеся в клетках B1 и С1, мы и отметили так, а переменные индексы у клеток столбца “A” обеспечили правильный переход, на каждом следующем шаге подставляя численность населения из предыдущей ячейки. В результате каждое значение этого столбца соответствует населению в определенном году, отсчитываемом от 1965, а последнее число в “A30” – населению США в 1994 году.

Если наши результаты совпали, то у вас получилось, что в 1994 году число американцев за счет естественного прироста населения должно было составить около 237,5 млн.чел. Любопытно, то реальная численность в этом году значительно выше – около 260 млн.чел. За 30 лет вычисленный нами полный прирост составил 43,5 млн. чел., в то время как реальный – около 66 млн., и следовательно “лишние” 22,5 млн. – это прирост обусловленные внешними факторами, в первую очередь – иммиграцией (сюда включаются и дети, родившиеся у иммигрантов, въехавших в страну за данный период) . В итоге мы сделали интересный вывод – за последние 30 лет иммиграция составила до 1/3 от естественного прироста населения США (заметим, что коэффициенты рождаемости и смертности мы при этом предполагали неизменными).

Наконец, вы можете сами исследовать другие свойства нашего эксперимента – например, поменять по своему усмотрению параметры рождаемости или смертности, начать с другого начального значения и т.д. Интересно, что все вычисления будут меняться автоматически – вам досточно лишь поменять число, скажем, в клетке “B2”, и сразу же в клетке “A30” появится новый ответ.


Однако, у рассмотренной нами модели есть существенный недостаток, который сказывается на границах ее точности. Правильные оценки можно получить в этой вычислительной схеме только при небольших коэффициентах рождаемости и смертности, в противном же случае описанная выше математическая схема вычисления естественного прироста населения неприменима. Дело в том, что в ней мы неявно предполагаем, что население изменяется дискретно, от года к году, в то время как на самом деле его рост происходит непрерывно, и при больших коэффициентах воспроизводства численность может существенно меняться уже в течение одного года. Неучет этого в нашей схеме приводит к накапливающейся ошибке.

Поэтому необходимо сделать переход к более универсальному классу моделей – от дикретных схем к построению дифференциального уравнения, описывающего непрерывную зависимость от времени. Дифференциальное уравнение исследует не конечные изменения, а скорость роста переменной величины. Наглядно это можно показать так. В дискретных вычислениях выше за единицу времени мы выбирали 1 год, поэтому приращение населения за год можно записать как

Xi =Xi /1=X(t)/t=q X(t)

где t = 1 год – прошедший отрезок времени. От дискретных обозначений, в которых время мы обозначали индексом i, мы перешли к непрерывному обозначению X(t). Поэтому и приращение населения обозначено как X(t)=X(t+t) – X(t).

Величина X(t)/t имеет смысл средней скорости изменения численности населения за данный промежуток времени. Ясно, что ее можно в принципе определить для любого отрезка времени t (год, месяц, неделя, день и т.д.) и начального момента времени t (не обязательно только начала года, как мы это делали раньше, но и начала каждого месяца и т.д.). В предельном случае мы можем вычислить мгновенную скорость роста в любой момент времени – для этого только нужно выбирать все меньшие интервалы t, отсчитываемые от данного момента t, вычислить приращение X(t) за этот интервал и разделить их друг на друга. Такая мгновенная скорость в математике называется производной от переменной величины X(t) по времени и обозначается как dX/dt. Итак, для мгновенной скорости роста населения выписанное выше уравнение (1) получает вид:

dX/dt = q X (t) (3)

Именно такие уравнения и называются дифференциальными. Они позволяют выразить значения скоростей изменения переменных по времени через сами переменные величины. Дифференциальное уравнение является лишь предельным случаем разностного уравнения (1), точно так же как мгновенная скорость dX/dt есть предельный случай средней скорости X/t.

В отличие от разностного уравнения, решить которое, как мы видели, можно элементарными вычислительными средствами, выписать решение дифференциального уравнения в общем виде – непростая задача, которую не всегда удается решить с помощью формул, в аналитическом виде; напротив, очень часто приходится прибегать к помощи графиков и других форм представления решений дифференциальных уравнений. Однако, наше простейшее уравнение (3) имеет аналитическое решение:

X(t)=X0 exp (qt) (4)

Здесь X0 – это начальная численность населения (соответствующая началу отсчета времени t=0). Решения такого типа называются экспоненциальными (впервые в математике они обсуждались в XVIII веке Лейбницем и Эйлером), а соответствующая функция – показательной или экспонентой (ее график изображен на рис. 1). Полученное нами ранее дискретное решение (2) – лишь частный случай экспоненциального роста2. Причем, главное преимущество нового решения (4) – в его непрерывности, что позволяет найти численность населения в любой момент времени.

Замечательно, что качественные свойства динамики населения, описываемой (4), не зависят от конкретного значения q, а только от его знака. Если коэффициент воспроизводства положителен, но население неограниченно растет, удваиваясь за равные промежутки лет; если отрицателен, то столь же стремительно падает, и если q=0 – остается постоянным. На основании решения (4) легко сделать конкретные оценки. Скажем, если население некоторого острова за 20 лет удвоилось, то еще через 11,7 лет оно утроится, еще через 8,3 года – учетверится, через 6,4 года – возрастет в 5 раз и далее приращение на каждое следующее число раз будет происходить все быстрее. Скажем, спустя 75 лет наблюдений прирост населения, равный его начальному числу, будет происходить уже в течение одного года. Через 100 лет население вырастет по сравнению с начальным в 32 раза – ясно, что это может превысить естественные ресурсы острова и означать его перенаселение, выход из которого – в колонизации новых земель. Именно таков был, например, механизм массового выведения колоний из греческих полисов в VII–VI вв. до н.э., когда перенаселение этих малых городов – государств достигалось за считанные десятки лет3.

В своей классической работе (An Essay on the Principle of Population, As It Affects the Future Improvement of Society, 1798) Мальтус обобщил эти проблемы перенаселения на население Земли в целом. Экспоненциальный рост населения должен обогнать линейный рост добываемых пищевых продуктов, и поэтому, согласно английскому ученому, условия жизни на планете в отсутствии войн, эпидемий и других катаклизмов будут неуклонно ухудшаться – этот вывод резко противоречил предсказываемому философами–просветителями грядущему “золотому веку”. Действительно, мы можем оценки и опасения Мальтуса применить к современному состоянию населения Земли. Если на 1993 год его численность оценивалась в 5,5 миллиардов человек, а сам рубеж в 5 млрд. был превышен в середине 1980-х гг., то при сохранении этих темпов роста по формуле (4) легко вычислить, что в 2000 году население Земли должно составить 6 млрд. человек, около 2025 года – 8 млрд., а рубеж 10 млрд. будет перейден в середине XXI века. Если такой рост не будет сопровождаться столь же быстрым увеличением производства ресурсов (которое возможно лишь за счет скачков в технологии), то человечество ждет жестокая борьба за выживание.

Мальтус и его продолжатели XIX века выступали за контроль над рождаемостью, различные ее “моральные ограничения”. Может ли это спасти человечество от будущей катастрофы? Ответ вновь дает нам дифференциальное уравнение (3). Дело в том, что меры, связанные с осознанием опасности перенаселения, возможностью “саморегуляции” системы, приводят к тому, что коэффициент воспроизводства q перестает быть независимой постоянной величиной – он должен уменьшаться по мере роста численности населения X. В простейшем случае это можно представить как q=a (Xпр – X(t)), где Xпр – эта некоторая предельная величина населения (определяемая ресурсами планеты), после достижения которой коэффициент воспроизводства обращается в нуль. Существование такого предела обусловлено ограниченностью ресурсов любой популяции, и подтверждается исследованиями в биологии, начатыми в свое время Ч.Дарвиным именно под влиянием работ Мальтуса.

В этих предположениях уравнение, описывающее динамику населения, приобретает новый вид



dX/dt = a (Xпр – X(t)) X (t) (5)

Уравнение (5) предлагает нам качественно новый тип зависимости – оно является нелинейным, поскольку производная dX/dt зависит от величины X нелинейным (в данном случае квадратичным) образом. В отличие от (5) прежнее уравнение (3) было линейным, поскольку в нем производная оказывалась прямо пропорциональной переменной величине.

Такое, на первый взгляд, незначительное усложнение уравнения радикально сказывается на его решении. Его вид представлен на рис. 2. При малой (относительно предельной величины) начальной численности населения (кривая 1) первое время изменения коэффициента q чувствуются слабо, и оно растет так же, как росло решение (4). Однако с приближением X к Xпр коэффициент воспроизводства стремится к нулю, поэтому рост населения “замирает”, его численность выходит на постоянную величину (горизонтальный участок кривой на графике). Интересно, что если начальная численность вдруг превышает предельную (например, миграция большой группы людей на остров с малыми ресурсами), то это автоматически означает, что коэффициент воспроизводства становится отрицательным и население падает, но так, чтобы с течением времени достичь предельного уровня (кривая 2). При X=Xпр скорость изменения переменной обращается в нуль. Такие величины называются стационарными точками дифференциального уравнения.

Модифицированная модель Мальтуса (5) находит применение в изучении популяционной динамики у животных4. Как подчеркивают ученые, именно она позволяет математически сформулировать дарвиновскую идею о выживании видов в процессе естественного отбора. И в отношении населения Земли демографы в целом руководствуются именно нелинейной моделью – так, по последним данным, его численность может стабилизироваться где-то между 12–13 млрд. человек на рубеже около 2075 года.5

Итак, на достаточно простом примере мы научились в этой главе пользоваться языком дифференциальных уравнений. Богатство этого языка можно было оценить по тому, как на основании некоторых простых предположений мы получили не только важные качественные следствия, но и точные количественные оценки. Особенно обратим внимание на то, как резко меняет поведение системы наличие нелинейной связи – именно это свойство приведет нас к появлению хаоса.

Наконец, протянем еще одну ниточку, связывающую язык дифференциальных уравнений с историей. Их объединяет не только изучение временной зависимости количественных и качественных показателей, но и локальность суждений. Выше мы упоминали о критике концепции глобальных законов в истории, из которой следовало, что ведущую роль здесь могут играть лишь локальные тенденции, содержащие многообразие путей. На наш взгляд, дифференциальное уравнение и является с точки зрения математического языка адекватной метафорой исторических тенденций. Подчеркнем еще раз, что в дифференциальном уравнении скорость изменения величин определяется их значениями только в данный момент времени, а не на всей их предыстории. С другой стороны, общее решение дифференциального уравнения – это полный набор траекторий, среди которых лишь выбор начального значения фиксирует конкретное решение.

Правда, в том примере с моделями исторической демографии, которые мы только что рассмотрели, изменение начального условия (начальной численности населения) почти ничего не меняло в решении – вся его динамика определялась коэффициентом q. Малые изменения в начальном значении вели к столь же малым изменениям в поведении решения – его график лишь незначительно сдвигался вверх или вниз (рис. 3). Это общее свойство линейных дифференциальных уравнений. На язык истории его можно перевести как “малые причины порождают малые последствия”.6 Лишь в случае нелинейной связи в уравнении (5) можно наблюдать качественный скачок – если мы варьируем задаваемую начальную численность населения вблизи Xпр, но можно небольшим изменением перейти от возрастающего решения (X0пр) к убывающему (X0>Xпр). Однако, дальнейшая судьба решений и соответствующих им групп населения одинакова – все они стремятся к постоянной численности, равной Xпр .

Казалось бы, трудно спорить на уровне нашего обыденного сознания со столь естественным утверждением, что от незначительных изменений не бывает катастрофических последствий. И тем не менее, в значительной своей части природа устроена совершенно иначе, и об этом пойдет речь в следующем разделе.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница