Математики открыли что-то интересное



страница10/11
Дата30.07.2018
Размер0.58 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Распознавание хаоса

Приведенные выше примеры, на наш взгляд, достаточно убедительно показывают, насколько плодотворным является применение языка синергетики как метафор исторического исследования. Вопреки мнению польского методолога Ежи Топольски, полагавшего, что теория хаоса “не представляет объяснений, которые были бы глубже фактографического описания событий”18, мы продемонстрировали содержательность терминов “хаос”, “катастрофа”, “бифуркации”, “момент выбора” и др. именно как субъектов исследования в истории, а также новизну и глубину объяснений системных свойств, которые они подразумевают для того или иного исторического явления.

Однако, безусловно, от рассуждений и метафор хотелось бы перейти к более точной процедуре распознавания хаоса. Поскольку эта методология родилась в области математики, то было бы странно ограничиться только ее качественным обсуждением, не попытавшись предложить количественных критериев и методов для того, чтобы научиться определять и анализировать проявления хаоса в исторических событиях.

У этой проблемы есть два аспекта. Во-первых, само по себе важно количественно установить наличие детерминированного хаоса в последовательности исторических данных. Таких работ в историографии еще не существовало, и здесь наша книга, в особенности ее заключительные главы, является пионерским исследованием. Если мы “узнаем” хаос, то это сразу повлечет за собой весь комплекс его свойств – существование различных путей, непредсказуемость выбора, влияние индивидуального и случайного фактора и т.д.– которые активно будут использоваться в историческом анализе данного явления, и, скажем, могут существенно поколебать прежние детерминистские подходы и объяснения.

Однако, во-вторых, не менее важным и содержательным является следующий шаг – переход от анализа данных к модели. Именно модель резко увеличит возможности исторического анализа системы. Написанная, например, на языке дифференциальных уравнений, она явно покажет важнейшие переменные системы (характеристики ее социальных групп) и связи между ними, определит управляющие параметры системы, ответственные за переход к хаосу. Исследуя модель при иных управляющих параметрах, мы сможем в явном виде увидеть другие пути развития, найти в каких точках осуществляется выбор путей, наконец, если эта модель имеет значение и для сегодняшнего дня, оценить минимальные управляющие воздействия, необходимые, чтобы вывести систему из хаоса. Таким образом, помимо объяснительной и аналитической, историческая модель, которую мы строим, может иметь, хотя и ограниченную, но прогностическую функцию.

Между тем ясно, что однозначного способа построить модель по историческим данным не существует. Бессмысленно было бы заниматься простой подгонкой под данные, ведь модель лишь тогда будет адекватной, когда правильно отразит структурные свойства системы. К счастью, математическая теория хаоса сделала некоторые успехи и в этом направлении, и ряд методов “реконструкции” модели мы также сейчас рассмотрим.

Математически строгое определение детерминированного хаоса содержит понятия спектра числового ряда. Построение спектра по имеющимся динамическим данным – это некоторая формальная математическая процедура (см. подробнее Приложение 3), позволяющая увидеть периодичность данных. На той частоте, где числовой ряд более всего обнаруживает периодичность, в его спектре будет пик. Таким образом, можно определить не только глобальную периодичность, но и любую периодическую компоненту ряда (если данные, например, являются суммой двух рядов с разными периодами). На рис. 23 показаны несколько типовых спектров такого рода. Все они состоят из отдельных пиков различной высоты, между которыми спектральная мощность обращается в нуль. Таким образом, спектр периодического или квазипериодического ряда всегда дискретен, а гармоники частот, на которых возникают пики, определяются сочетаниями основных частот периодичности процесса.

Напротив, спектр апериодического процесса, независимо от присутствие пиков, обязан содержать непрерывную полосу, в которой значения спектральной мощности существенно отличны от нуля. (см. рис. 24) Наличие непрерывной полосы в спектре – это и есть математический признак хаоса, его необходимое, но не достаточное условие. Дело в том, что детерминированный хаос следует различать от т.н. “белого шума”, сигнала, сгенерированного абсолютно случайной функцией. Различие между ними лучше всего показывает другая математическая характеристика, называемая автокорреляционной функцией. Эта функция измеряет меру связи значений числового ряда с собственным прошлым. Смысл значения автокорреляционной функции для времени T в измерении величины корреляции между рядом X(t) и тем же самым рядом, сдвинутым на время T, т.е. X(t+T). (более строгое математическое определение см. в приложении 3).

Поскольку “белый шум” представляет собой функцию с абсолютно случайными значениями, то даже между соседними из них по времени не должно быть связи. Это значит, что автокорреляционная функция “белого шума” обращается в нуль при любых T?0. В то же время числовые значения ряда, порожденного системой с детерминированным хаосом, (например, координаты точки на странном аттракторе), коррелируют между собой при малых временах T и утрачивают корреляцию при больших временах (вспомним обсуждение этих свойств, когда мы исследовали чувствительность хаоса к начальным условиям). Таким образом, автокорреляционная функция хаотического сигнала имеет конечную область значений времени T, при которой она не равна нулю, а уже вне этой области практически обращается в нуль (см. рис. 25)

Автокорреляционная функция и спектральная мощность оказываются тесно связаны, поэтому те же отличия хаоса от “белого шума” мы можем перенести и на спектры сигналов. Спектр “белого шума” содержит гармоники бесконечно больших частот, и представляет собой непрерывную полосу, простирающуюся по частоте от нуля до бесконечности (см. рис. 26, в частности спектр простейшего теплового шума просто есть постоянная функция). Именно поэтому шум и был назван “белым”, по аналогии с белым светом, содержащим смешение сигналов всех цветов. В противоположность ему спектр хаотического сигнала имеет непрерывную полосу ограниченной длины, не доходящую до бесконечности (см. рис. 24), именно благодаря этому его и можно описать конечным числом детерминированных законов (дифференциальных уравнений).

Таковы характерные признаки детерминированного хаоса в рядах данных с точки зрения математических преобразований. Насколько удобно их применение в исторических исследованиях? К сожалению, в подавляющем большинстве случаев на этот вопрос приходится отвечать отрицательно. Дело в том, что спектральные методы анализа в принципе применимы для работы с длинными рядами, а для того, чтобы судить, есть ли у спектра непрерывная полоса и исследовать его поведение в пределе бесконечных частот необходимо по крайней мере несколько тысяч точек. В исторических данных такие длинные ряды почти не встречаются, здесь счет, как правило, идет на сотни, а иногда и на десятки точек. И это легко объяснить – динамика исторических данных может следовать годам, месяцам или дням, но даже в самом благоприятном случае – ежедневной статистике – чтобы набрать несколько тысяч точек необходимы измерения одного и того же показателя в течение по крайней мере десятилетия. Тем не менее, нам удалось обнаружить некоторые такие показатели, и обработку их динамики на предмет поиска хаоса мы представим читателю в следующих главах.

Как нам кажется, гораздо более широкое применение для исторических данных может найти другой, полукачественный метод поиска хаоса. Он был предложен еще в 1974 г. первооткрывателями хаоса Д.Рюелем и Ф.Такенсом для реконструкции странного аттрактора по наблюдаемому решению хаотической системы.

Идея метода настолько проста, что может быть реализована даже с помощью нашей подручной программы Microsoft Excel (хотя для настоящих поисков хаоса, конечно, требуется особое программное обеспечение).

Откроем новый лист Excel и построим в его соседних столбцах два ряда – один, порожденный логистическим отображением в режиме детерминированного хаоса (k=3,95), а другой – случайной функцией. Для построения первого столбца, как мы уже делали раньше, в ячейку A1 вводим формулу

=$С$1*A1*(1–A1)

В ячейку C1 помещаем коэффициент 3,95. Затем эту формулу мы размножаем на первые 60 клеток столбца A.

Чтобы построить столбец B, состоящий из случайных чисел в диапазоне от 0 до 1, поступим так: наберем в первой ячейке этого столбца функцию, выдающую случайные значения

=СЛЗНАЧ() (в английской версии программы =RANDOM())

а затем “размножим” эту функцию на весь столбец.

Оба числовых ряда мы изобразили на графике, для чего выделили диапазон “A1:B60” и следовали далее указаниям “Мастера диаграмм”. Заметим, что поскольку функция СЛЗНАЧ, действительно, запрограммирована на генерирование случайных значений и изменяется при каждом пересчете листа, ее значения в разные моменты времени будут различаться, и график второго столбца (выделенный красным) на вашем компьютере, скорее всего, имеет другой вид.



Рис. 27. Сравнение случайного и «хаотического» динамических рядов.


Важно, что чисто внешне графики случайного ряда и “хаотической” последовательности похожи – и тот, и другой описывают апериодический процесс, и на первый взгляд различить их сложно. Однако, теперь мы займемся построением, наглядно показывающем различие этих рядов, и одновременно иллюстрирующем сущность метода Рюеля–Такенса. Для этого, во-первых, скопируем первый ряд в столбец D (для чего наберем в клетке D1 формулу “=A1” и размножим ее на 60 клеток этого столбца), а затем, во-вторых, в столбце E поместим значения первого ряда со сдвигом на одно число вниз (в клетке E2 набираем формулу “=A1” и размножаем ее до клетки E60). Теперь то же самое проделаем со вторым рядом, используя столбцы F и G (набираем в F1 формулу “=B1” и размножаем до F60; набираем в G2 формулу “=B1” и размножаем до G60). Наконец, построим XY–точечные диаграммы рядов (знакомые нам по построению фазовых траекторий в системе щук и ершей). Первая диаграмма будет относиться к первому ряду и строится на столбцах D и E в диапазоне данных “D2:E60”, а вторая – ко второму ряду, с диапазоном “F2:G60”.

Обе диаграммы приведены на рис. 28. Согласно построению каждой из них в качестве значений о одной оси выбирались числа данного ряда, а по другой – те же числа, сдвинутые на один номер (т.е. на единичный промежуток по времени). Координаты каждой точки, таким образом, – это пары (Xi, Xi+1) для каждого ряда.





Рис. 28. Реконструкция фазового портрета: случайный ряд (сверху), детерминированный хаос (снизу).
Теперь мы можем сравнить, насколько отличаются по своим свойствам оба наших ряда. В том из них, который построен по принципу “белого шума” диаграмма показывает полностью случайное распределение точек, так что линии, их соединяющие, закрашивают почти весь квадрат диаграммы. Однако, на картинке, соответствующей детерминированному хаосу, четко видна некоторая структура, по которой движутся точки. Эта структура очень похожа на странный аттрактор, свойства которого мы описывали выше в одном из разделов. Она одновременно и хаотична, и обладает некоторой закономерностью. Замечательно, что даже для такого небольшого числа точек (в нашем случае – 60), эту картину нельзя спутать с беспорядочным “белым шумом”, ни тем более с периодическим сигналом, для которого (как раз в силу его периодичности) на такой же диаграмме присутствовало бы только несколько точек соединенных линиями.

Изложим теперь общую схему метода Рюеля–Такенса, проиллюстрированную данным примером. Пусть известна зависимость от времени X(t) для некоторой переменной в системе, где необходимо убедиться в присутствии детерминированного хаоса и увидеть черты странного аттрактора. Главная проблема состоит в том, что мы не знаем, сколько всего переменных в системе, а значит не можем определить размерность фазового пространства. Однако, даже если мы найдем эту размерность, то фазовую траекторию мы все равно не сможем построить, не зная зависимости от времени других переменных.

На помощь приходит аналогичные диаграммы в пространстве со временным сдвигом по осям, какие мы только это рисовали для логистического отображения. Процедура начинается с построения двумерной диаграммы, на которой откладываются пары значений (X(t), X(t+T)), где T – выбранный заранее, фиксированный временной сдвиг. Если двумерная картина не приводит к обнаружению структуры, напоминающей странный аттрактор, то следующей строится трехмерная диаграмма с тремя осями, в которых откладываются точки с координатами (X(t), X(t+T)). После нее, если результат поиска не достинут – диаграмма с четырьмя осями для точек (X(t), X(t+T), X(t+2T), X(t+3T)) и так далее.

Как только в диаграмме ряда обнаруживается некоторая структура, процедура останавливается. При этом размерность построенной диаграммы и дает с размерностью фазового пространства системы, а значит, и число недостающих переменных. Теорема, которую доказали авторы метода, состоит в том, что реконструированный таким образом странный аттрактор обладает теми же структурными свойствами, что и истинный аттрактор в координатах (X(t), Y(t), Z(t), …). Для реальных систем размерность фазового пространства обычно невелика, и если на первых нескольких шагах аттрактор не будет обнаружен, то можно с уверенностью говорить, что мы имеем дело со случайными, “шумовыми” данными, без присутствия детерминированного хаоса. Строго говоря, “белый шум” является, как бы, хаосом бесконечно большой размерности, поскольку для любой конечной размерности фазовой диаграммы в нем отсутствует структура аттрактора.

Исследуя реконструированный аттрактор, можно сделать некоторые очень важные выводы, в частности, перейти к новому этапу анализа и попытаться построить модель. Для этого структуру аттрактора сравнивают с уже известными аттракторами различных моделей, из чего можно попытаться извлечь форму связей, характер нелинейности. Особенно большую помощь в этом оказывает т.н. сечение и отображение Пуанкаре, а также некоторые другие показатели, как размерность аттрактора и экспонента Ляпунова (см. приложение).

В заключении этого параграфа, мы еще раз вспомним слова Шекспира: “В этом безумии есть своя система”. Как мы убедились, суть всех методов поиска хаоса – в попытке открыть некоторую внутреннюю структуру, систему в данных с внешне случайным, но на самом деле детерминированным хаосом. Именно эта заложенная детерминированность позволяет затем строить модель, рассуждать о законах управляющих поведением системы, ее возможных путях и точках выбора. Именно такая внутренняя цельность делает хаос объектом науки и предметом исторического познания.



1 По сведениям National Centre of Health Statistics, U.S. Depart. of Health and Human Services. – данные приводятся в издании «The 1995 Grolier Multimedia Encyclopedia»: Grolier Incorporated, 1995. См. также Капица С.П. Сколько людей жило, живет, будет жить на Земле? М., 1999.

2 Вот строгое математическое доказательство того, как дискретное решение (2) переходит в непрерывное решение (4). Предположим, что мы уменьшаем масштаб времени для дискретного решения в n раз, например переходим от промехутка t = 1 год к t’ = 1 месяц (n=12). Воспользуемся “методом размерностей”. Коэффициент q измерялся ранее в единицах кол-во людей/год=кол-во людей/(12 месяцев)=1/12 кол-во людей/месяц, поэтому его новое значение после изменения масштаба q’ =q/12 или в общем виде q’=q/n. Поэтому уравнение (1) принимает вид: X’i=(1+q’) Xi, а его решение




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница