Lubishvk doc Конспект книги



страница7/28
Дата30.07.2018
Размер5.42 Mb.
ТипКонспект
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   28
3. Линии в математике

3.1. Математические достижения древних греков составляют величайшее украшение античной культуры. Рассмотрение целесообразно вести, разбирая последовательно следующие вопросы:



  1. связь эллинской культуры с предшествовавшими;

  2. спедифичность эллинской культуры;

  3. положительный вклад в науку обеих школ: идеалистической и материалистической;

  4. методический вклад тех же школ;

  5. возможность заимствования или плагиата идеалистами достижений материалистической школы;

  6. связь с философией органического, а не личного характеру;

  7. личный вклад по сравнению с достижениями школ;

  8. связь с практикой;

  9. связь с религией;

  10. связь с политикой.

Главными предшественниками эллинской математики были Египет и Вавилон, а также Финикия. Культуры проникали в Элладу через Персию, которой были подчинены малоазиатские колонии греков.

Математикой занимались виднейшие натурфилософские школы: 1) ионийская (VII-VI вв. до н.э.); 2) пифагорейская (VI-V вв. до н.э.); 3) афинская второй половины V в. до н.э.). Прямой преемницей афинской школы была 4) александрийская школа, где математика достигла высшего развития.

Все эти школы были связаны между собой: Пифагор по рождению (о. Самос) был ионийцем, близким соседом центра ионийской школы, Милета; переехав в Южную Италию, он создал там свою школу, теснейшим образом связанную с афинской, а эта последняя дала александрийскую школу.

Демокрит и Платон, были хорошо знакомы с вавилонской и. египетской культурами как по своему воспитанию, так и во время своих путешествий.

Из перечисленных школ только первая считается представительницей примитивного материализма, остальные три - ясно выраженного идеалистического характера.

\072\


Об особой школе или направлении Демокрита в математике упоминается лишь вскользь. Рассматривая историю античной математики, мы получаем впечатление, что за период её наилучшего развития не идеализм отступил перед материализмом (как многие думают), а наоборот, материализм - перед идеализмом.

3.2. Перейдем к специфичности эллинской математики. Этот вопрос не вызывает спора: появление теорий и общих методов, систематизации знаний - вот что характерно для Эллады. Достигается высокая логическая строгость суждений, рационализация знания. Теоретический уровень эллинской науки не имел преемников. Мировая империя римлян в ходе завоевательных войн разрушила все научные центры и не создала условий для их восстановления и развития.

\073\

В начале нашей эры ученые Александрийского музея были лишены государственной поддержки. Архимед, погиб, защищая свой родной город Сиракузы от римских варваров.



Легенда завоевателе Омаре, как будто уничтожившем Александрийскую библиотеку (если там то, чего нет в Коране, то эти книги вредны, если то, что есть в Коране, то они излишни) давно опровергнута, так как Омару достались жалкие остатки прежней библиотеки.

Также неверно думать, что основной удар Александрийскому Музею нанесли фанатические христиане. Основной удар был нанесен Римом, где "науке уделялось мало внимания, и она совершенно отсутствовала у западноевропейских королевских варваров" (Бернал, 1956). Наследие Греции вернулось на Bocток, откуда оно и пришло, а потом снова вернулось на Запад.

Под словом "теория" понимается часто не только противоположность ползучего эмпиризма, но и противоположность "практике", технике. И здесь древняя греческая наука характерна пренебрежением практикой.

Проф. Богомолов (1928): «В противоположность своим египетским учителям, Фалес и Пифагор были заинтересованы в приложениях своих открытий. Принося, по преданию, богам гекатомбу* в благодарность за открытие своей знаменитой теоремы, Пифагор был полон энтузиазма к чистому знанию и не спрашивал, чему это может послужить на практике.

Такая постановка вопроса повела к удивительным последствиям: в течение нескольких столетий греки неизмеримо опередили своих учителей - египтян, занимавшихся геометрией в продолжение тысячелетий. Впоследствии греческие ученые применили свои теоретические достижения к практическим нуждам и сразу достигли замечательных результатов; достаточно упомянуть об их успехах в геодезии и астрономии, а также об открытиях Архимеда».

И здесь мы опять видим несоответствие фактической истории, науки с тем положением, которое защищают материалисты: наука родилась под влиянием потребностей и развивается по мере возникновения все новых потребностей.

\074\

Мы же видим скорее отрицательную связь между развитием техники и развитием теоретической науки. Древняя Греция не дала ни одного крупного государства с деспотическим централизованным управлением, которое могло бы сосредоточить средства на выполнении сооружений, требовавших огромной затраты труда. Эллинские математики работали "впрок", и их работы, не имевшие прикладного значения, были использованы значительно позже западно-европейской культурой.



3.3. Вклад в математику. Достижения ионийской (милетской) школы невелики и трудно установимы. Прокл утверждает, что Фалес доказал несколько геометрических теорем: о равенстве вертикальных углов, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о том, что диаметр делит круг пополам (Богомолов, 1928).

Эти результаты оторваны от практических приложений, не имеют прямой связи с "землемерием" и высказаны в совершенно общем виде. Прогресс связан с пифагорейской школой. Здесь вполне определился характер математики, как чистой науки, которой интересуются независимо от ее приложений, поэтому многие считают Пифагора родоначальником чистой математики (Бляшке, 1957).

Пифагор поднял знамя сплошной математизации знаний. Пифагор из Самоса, около 540 г. Число - основное начало: "Число есть сущность всех вещей, организация Вселенной в ее определениях представляет собою вообще гармоническую систему чисел и их отношений".

Этим впервые высказывается мысль о закономерности Вселенной. Пифагору приписывается сведение музыкальной гармонии к математическим отношениям, теорема, носящая его имя, открытие иррациональных чисел.

{V: Нет никаких иррациональных чисел! Все доказательтсва опираются на незаконную чисто интуитивную, а не строго формальную комбинацию двух абстрактов: геометрического – прямой линии, и арифметического – числа. Мы умеем как-то «изготовлять» числа, но нет формальной процедуры перенесения и водворения их на геометрической прямой. Просто полагать, что «мы это умеем» – типичная зеноновщина!}

\075\


Сейчас многие оспаривают принадлежность этих открытий Пифагору, и, сообразно моде, доказывают, что Пифагор вообще не существовал. Этого вопроса ещё придется коснуться. Для нас это не так важно, существенно то, что школа, носившая имя Пифагора, сделала великие открытия в области математики.

Никто не сомневается в реальности существования правителя Тарента, пифагорейца Архита, друга Платона. Архиту приписывают решение задачи удвоения куба методом пространственных (объемных) геометрических мест.

Он же развил теорию иррациональных чисел. Благодаря связям Архита с Евдоксом и Платоном, математика была перенесена в Афины в Академию Платона.

Пифагорейцам принадлежит открытие правильных многогранников, теория которых была окончательно развита в школе Платона, отчего они и называются до сих пор Платоновыми телами.

В Платоновской Академии была проделана огромная работа по развитию геометрии, закончившаяся "Началами" Евклида. Величие Евклида ясно уже из того, что он, как и многие другие выдающиеся мыслители прошлого, некоторыми считается даже мифической фигурой (Бляшке, 1967); банальные деятели такой чести не удостаиваются.

{V: Но слово «эвклидион» буквально переводится с древне-греческого как «славный на деле (сборник)»! Так это и вправду славный сборник…}

Прокла утверждает, что «Начала» основываются на совместной работе круга геометров из Академии Платона, проделанной за период между 370 и 350 гг. Прокл: "Составляя свои "элементы", Евклид вобрал многие теоремы Евдокса, завершил то, что начал Теэтет Афинский, и дал строгие доказательства тому, что нашли его предшественники".

В "Началах" впервые появляется "аксиоматический метод", окончательное завершение получивший только в 20-м веке. Основная деятельность Евклида npoтeкaeт уже в Александрии, и мы знаем, что составленная им геометрия была сделана так хорошо, что ее использовали в качестве учебника вплоть до 18-го. века.

Евдокс дал общую теорию пропорций, он же предложил метод исчерпывания (аксиомы Евдокса, иначе аксиомы Архимеда) и применил его к вычислению объемов пирамиды и других тел.

Теэтет был видным деятелем Платоновской Академии. Ему, смертельно раненому в сражении при Коринфе, посвящен один из важных диалогов Платона, начинающийся с описания обстоятельств его смерти. Теэтету принадлежит строгое доказательство существования пяти правильных многогранников, Платоновых тел.

\076\

В Платоновской Академии родилось и учение о конических сечениях. Начало положил друг Платона Менехм; Эратосфен называет три основных конических сечения "триадой Менехма". Потом работал Аристей (пять книг об "Объемных местах"), , затем Архимед, и завершил работу в этом направлении ученый Александрийской школы Аполлоний (Лурье, 1945).



В Платоновской Академии разрабатывалась и теория чисел, получившая затем развитие в Александрии. В сочинениях Платова есть упоминание о так называемом "совершенном числе" (числе, которое равно сумме своих сомножителей).

3.4. Главнейшими фигурами александрийской школы являются Евклид, Архимед, Эратосфен, Аполлоний и Диофант. Некоторые из них работали большей частью не в Александрии (Архимед - в Сиракузах, Аполлоний - в Пергаме), но все они получили образование в Александрии.

\077\

Архимед был не только математиком, но проложил дорогу теоретической механике и физике, вслед за системой правильных многогранников он построил систему полуправильных многогранников, так называемых Архимедовых тел.



Он определил площадь и объемы многих тел и показал, что в ряде случаев (сегмент параболы, некоторые тела) они выражаются только рациональными числами; 3) сделал очень много в теории конических сечений (некоторые утверждали, что содержание "конических сечений" Аполлония принадлежит в основном Архимеду).

Архимед сделал шаг в построении десятичной системы чисел, однако не сделал решительного шага по установлению позиционной системы счисления. Философских взглядов Архимед в своих сочинениях нигде не высказывал, относясь, очевидно, к числу тех математиков, которых философия не интересует.

Современник и друг Архимеда, Эратосфен (одно из очень важных сохранившихся сочинений Архимеда имеет вид письма к Эратосфену) не скрывает своего уважения к Платону. Главное программное сочинение Эратосфена называется "Платоник", и сам он получил прозвище "второй Платон" или "Новый Платон".

Он знаменит своим "Эратосфеновым решетом" (способ составления таблицы простых чисел), работой по коническим сечениям и нахождению одной, двух и более средних пропорциональных, при помощи которых решались знаменитые задачи об удвоении куба и трисекции угла.

Несмотря на дружбу с Архимедом, по ряду вопросов у них были расхождения, что характерно для всех тех случаев, где культивируется действительно свободная наука. Эратосфен был не только математиком. Он был чрезвычайно разносторонним ученым и сделал крупный вклад в астрономию.

\078\


Аполлоний знаменит своими «Коническими сечениями». Это сочинение, завершившее работу эллинских математиков по этому вопросу, усиленно изучалось математиками после нового расцвета науки. Достаточно сказать, что из восьми книг этого сочинения до нас дошли первые семь. Предполагается, что содержание восьмой книги было восстановлено знаменитым астрономом Галлеем (1656-1742), исходя из содержания первых семи книг, и сведений, сообщенных комментаторам и Аполлония.

Последним крупным математиком Александрийской школы был Диофант, работавший в III веке н.э., когда Александрия уже была под пятой Рима. Ему принадлежит книга о многоугольных числах.

{V: Диофант – новое представление идеи числа. (Шпенглер – сверить???)}

Работы Диофанта в теории чисел были отправной точкой для великих ученых: Ферма (так называемое "великое предложение Ферма" сформулировано им на полях сочинения Диофанта), Эйлера, Гаусса и др. Диофант сделал важный шаг в переходе от риторической алгебры к символической, вводя сокращения выражений ("синкопическая" алгебра).

Упомянем Никомеда (2-й век до н.э.), построившего конхоиду для решения задачи трисекции угла, и Герона (1-2 в. н.э.), давшего практические приемы вычисления.

Для завершения пифагорейской линии следует упомянуть еще Никомаха. Его "Введением в арифметику" пользовались как учебником арифметики во все Средние века и даже некоторое время после Возрождения.

Феодор (Теодор) из Кирены (Северная Африка, нынешняя Ливия) установил иррациональность квадратного корня из ряда чисел. Платон, во время своего путешествия после казни Сократа, занимался у Феодора математикой. Эратосфен был тоже родом из Кирены.

3.5. Что же дала линия Демокрита в математике? Демокриту принадлежит ряд математических сочинений;- "О. касании круга и шара", "О геометрии", "Числа", "Об иррациональных линиях и телах", но эти сочинения не сохранились. Поэтому трудно судить, что именно сделано.

\079\

Ему приписывают определение объема пирамиды и конуса и, может быть, объема шара. Роль Демокрита в этих исследованиях засвидетельствована Архимедом. филопон сообщает, что Демокрит доказывал, что из всех многогранников одинакового объема наименьшую поверхность имеет шар.



Непосредственных учеников в области математики у Демокрита не было, а в дальнейшем "линия Демокрита" в лице Эпикура и Лукреция оторвалась от математики; видимо, на атомистических позициях, близких Демокриту, стоял крупный математик Гиппократ Хиосский, середина V в. до н.э. (не смешивать с основателем медицины, Гиппократом с о. Кос).

Он достиг первого успеха в решении задачи об удвоении куба; Гиппократ, стоя на атомистических позициях (а атомистическая математика отрицала существование несоизмеримых величин), пытался доказать соизмеримость любых величин.

На этом пути он достиг известных успехов, открыв известные гиппократовы луночки, вполне квадрируемые. В античности Архимедом была дана точная квадратура параболы. Гиппократ, как и все атомистические математики не могли принять открытия иррациональности.

\080\


Софист Гиппий из Элиды, о которым Платон рассказывает в трех своих диалогах, был один из энциклопедических умов древней Греции. К какой "линии" его отнести, к платоновской или демокритовской, сказать трудно. Гиппий применил для решения задачи трисекции угла трансцендентную кривую - квадратрису.

Вот обзор. Как видно, достижения "линии Демокрита" не идут ни в какое сравнение с основным направлением в эллинской математике, стоявшим целиком на "линии Пифагора-Платона". Перейдем теперь к вопросам методики.

3.6. Огромное значение имело обнаружение несоизмеримости величин. Апории Зенона Элейского:


  1. дихотомия: невозможно осуществить движение;

  2. Ахиллес не догонит черепаху;

  3. 3) полет стрелы невозможен.

показывают, к чему приводят попытки получать непрерывные величины из бесконечного множества бесконечно малых частиц (нельзя пользоваться бесконечностью, опираясь на наивные атомистические соображения).

{V: Что же А.А. не замечает, что иррациональные числа – просто ещё одна «апория Зенона» и не более того!}

Одним из ранних методов предельного перехода явился метод исчерпывания. Изобретение его приписывается ученику Платона, Евдоксу, наиболее широкое развитие он получил у Архимеда.

\081\


3.7. Метод исчерпывания был чисто геометрическим методом. Но только в двадцатом веке окончательно выяснилось, что для отыскания решений Архимед пользовался иными, менее строгими, но более легкими методами.

Это произошло после находки в 1906 году сочинения Архимеда "Послание к Эратосфену". Архимед много работал по механике, и у него механические аналогии проникли в математические методы. Для вычисления объема шара он пользуется механической интерпретацией, основанной на законе рычага, на этом же основан и другой метод получения квадратуры параболы, который был потом переведен на язык метода исчерпывания.

\082\

Следующей разновидностью инфинитезнмальных методов является метод интегральных сумм, применявшийся в сочинениях Архимеда: "О шаре и цилиндре", "О спиралях", "О коноидах и сфероидах". Исследуемое тело или поверхность разбивается на части, и каждая часть аппроксимируется описанными и вписанными телами или кривыми.



Аппроксимируемые сверху и снизу тела и поверхности выбираются так, чтобы разность объемов или поверхностей могла быть сделана сколь угодно малой. Вычисление суммы ряда дает искомый результат. Этот прием Архимед применял, например, к вычислению объема эллипсоида вращения или площади первого витка спирали Архимеда.

Метод чрезвычайно схож с методом определенного интегрирования, но он применялся индивидуально для каждой конкретной задачи, и общетеоретические основы не были оформлены. Наконец, у того же Архимеда мы находим методы, которые ретроспективно могут быть охарактеризованы как дифференциальные, например, метод нахождения касательной к спирали.

В инфинитезимальных методах получили первое выражение элементы новых математических средств, приведших к созданию анализа бесконечно малых. Лейбниц по этому поводу писал: "Изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков

Можно подумать, что Архимед сделал так много на пути обоснования анализа бесконечно малых, что для завершения этой отрасли математики остались только доделки. Это совершенно неверно.

Задача удовлетворительного построения анализа бесконечно малых настолько трудна, что для завершения ее потребовались ряд столетий и напряженная работа ряда выдающихся математиков. Выберем из нее только то, что интересно даже для нематематикой.

Кеплер тщательно изучал творения Архимеда, но вместе с тем старался разгадать замысел Архимеда, приведший его к столь разительным результатам, и догадался, что этот метод состоял в разложении фигуры или тела на множество бесконечно малых частей.

Пренебрегая абсолютной строгостью, Кеплер этим путем вычислил объем 92 тел вращения. Ослабление строгости метода вызвало резкие возражения, и ученик основоположника символической алгебры, Виета, А.Андерсон выпустил даже специальное сочинение "В защиту Архимеда", где обвинял Кеплера в оскорблении памяти Архимеда.

\083\


Но эта критика не остановила ученых, и дальнейший шаг был сделан Бонавентурой Кавальери, который с 1629 года по рекомендации Галилея занял кафедру математики в Болонье (будучи настоятелем католического монастыря ордена иеронимитов). Совокупность всех неделимых по существу вводит понятие определенного интеграла.

У метода появилось много приверженцев, в частности, известный Торичелли. Но работа все-таки была незавершена, и только после работ Паскаля, Роберваля, Ферма, Декарта, Валлиса наступило время, когда Ньютон и Лейбниц дали первый синтез анализа бесконечно малых.

И до них было решено огромное количество задач, но методы интегрирования развивались независимо от дифференциальных методов.

3.8. Но значит, Ньютон и Лейбниц завершили синтез анализа? Сами Ньютон и Лейбниц так не думали. Как и все великие мыслители, они понимали ясно крупные несовершенства своих построений. Большинство результатов своей теории флюксий Ньютон получил в течение 60-70 годов XVII века.

В 1676-1677 годах Лейбниц завязал переписку с Ньютоном, где оба сообщали о своих результатах и хорошо понимали друг друга. Переписка прекратилась, так как Ньютон перестал отвечать на письма. Как будто забота о приоритете должна была побудить обоих ученых к скорейшей публикации своих результатов (в дальнейшем этот спор разгорелся и составляет печальную страницу в истории науки).

Однако, Лейбниц первый мемуар всего на 10 страницах опубликовал только в 1684 году, а Ньютон еще позже. Мало этого, "Математические начала натуральной философии", появившиеся в 1688-1687 гг. написанными без применения методов теории флюксий, хотя многие из приведенных книге результатов первоначально были получены средствами этой теории.

\084\

Ньютон считал употребление бесконечно малых чисто эвристическим приемом, лесами, которые должны быть убраны по окончании постройки.



3.9. Строгое обоснование анализа бесконечно малых потребовало еще длительной работы. Многие крупные ученые не принимали нового метода, например, Гюйгенс. С возражениями выступил знаменитый философ Д.Беркли, выпустив памфлет "Аналист". Как часто бывает, умные и образованные противники способствуют развитию нового учения.

Ф.Кеджери сравнивает "Аналист" с бомбой, попавшей в математический стан, и расценивает его как выдающееся произведение. Вместе с тем, одна из идей Беркли послужила одним из принципов обоснования исчисления бесконечно малых в XVIII в.

Но как? Он вводит идею компенсирующих погрешностей. Это объяснение приняли многие, например, Лагранж и Карно. "Анализ есть ни что иное, как исчисление компенсирующих погрешностей".

Другие математики для защиты от критики Беркли выпускали сочинения с целью более строгого обоснования метода. Таким был, например, фундаментальный "Трактат о флюксиях" Маклорена.

\085\

Но все эти работы не дали полного обоснования анализа. Коши и иные ученые создали здание анализа, в котором новые логические трещины появились лишь много десятилетий, чуть ли не век спустя (Вейерштрасс). Длительный процесс создания исчисления бесконечно малых ведет от Евдокса, Архимеда к Ньютону и Лейбницу. Вся эта линия связана с платоновско-пифагорейским направлением, без всякого влияния линии Демокрита.



Лурье: «Архимед упоминает Демокрита и признает его заслугу в деле вычисления объемов тел, но к этому результату Архимед пришел самостоятельно и ознакомился с сочинениями Демокрита уже по возвращении в Сиракузы из Александрии.

Обнаружив в Сиракузах математические труды Демокрита, Архимед с жадностью набросился на них. Он оказался здесь у истоков "атомистического" интегрирования, которое ему с трудом и но частям приходилось реставрировать из отдельных намеков и приемов в трудах по механике, написанных его предшественниками".

Коснемся вопроса о приоритете Демокрита. Не известно является ли определение объемов пирамиды и шара оригинальным достижением Демокрита. Возможно, что оба объема были известны уже египтянам. Несомненно, что и Платон, и Демокрит были знакомы с математикой египтян, Архимед же, видимо, историей математики не интересовался.

Александрийская школа уже так далеко ушла от египетской науки, что большинство ученых, вероятно, интересовалось только наукой своих ближайших предшественников, т.е., в основном, Платоновской Академии и Аристотелевского Лицея.

Доводы Лурье, что Архимед заимствовал свою методику у Демокрита, крайне неубедительны. Для полноты картины разберу их. В книге об Архимеде Лурье упоминает о двух задачах по определению объема тел: 1)образованного двумя цилиндрами с взаимно дерпендикулярными осями и 2) части цилиндра, отсеченной плоскостью, проходящей через ребро верхнего основания описанной призмы и через центр нижнего основания.

\086\


Обе задачи представляют стереометрическую параллель гиппократовым луночкам и квадратуре параболы. То, что вторая из задач решена путём неделимых, бе всякого применения механики (закона рычага), доказывает, что мы тут имеем дело в приёмом, заимствованным у Демокрита.

Но ведь в чем точно состоял метод Демокрита, мы не знаем. Aрхимед же мощный ум, и разнообразие его методов настолько велико, что мы имеем полное право допустить здесь самостоятельное творчество Архимеда.

3.10. Архимед многое заимствовал у Демшушта, чисто терминологически. Современная терминология конических сечений (эллипс, парабола, гипербола) ведет начало от Аполлония, которого Архимед не упоминает: видимо, отношения между ними были не из приятельских.

Могла играть роль здесь и различная политическая ориентация: Аполлоний, хотя и получил образование в Александрии и как ученый относится к Александрийской школе, работал в конкурирующей с Музеем Пергамской школе, ориентировавшейся на Рим. Ахимед же был ярым противником Рима.

В замечательном сочинении Архимеда "О коноидах и сфероидах", где он был пионером, идет речь о телах, полученных от вращения сегментов конических сечений вокруг оси. То, что мы называем теперь параболоидом вращения Архимед называл "прямоугольным коноидом", гиперболоид вращения — "тупоугольным коноидом". Эллипсоид же вращения он называл "сфероидом", причем различал два вида их - "удлиненный" и "сплющенный" сфероиды (вытянутый и сжатый эллипсоиды вращения).

\087\


В ранний период своей деятельности не знал Демокрита, следовательно, нет никаких оснований думать, что он эти^термины усвоил от него.

Очевидно, в ходу был некоторый запас обезличенных математических сведений раннего происхождения. Уже древние египтяне умели находить с хорошим приближением площадь эллипса, рассматривая ее как "тень" (параллельную проекцию) круга, и получали площадь эллипса как площадь других теней.

Достижеие расцвета атомистической математики, что эллипс - косое сечение цилиндра, есть простой пересказ того, что знали уже египтяне. По сравненинию с теми методами, которыми пользовались в школе Платона и в Александрийской они настолько проще, что нет ничего удивительного, что Архимед сам до них додумался.

Может быть, конечно, "Архимед восстановил в правах ненаучный но удобный атомистический метод интегрирования, но только как метод нахождения решений, правильность которых для каждого отдельного случая должна была затем доказываться строго геометрическим способом" (Лурье, 1956).

Аксиомы атомистической математики (имевшие, очевидно, додемокритовское происхождение) уже во времена Платона были прочно опровергнуты, хотя среди греков, мало знакомых с математикой, они могли еще иметь хождение. Платон: "Что касается отношения линий и площадей, то разве мы, греки, не думаем, что их возможно измерить одни другими?.. Но это никак невозможно…».

Чтобы покончить с терминологией тел вращения, можно сказать, что в пользу термина "сфероид" говорит то, что ведь эллипс можно вращать около двух действительных осей, отчего и получается их два сорта. Парабола же имеет одну ось. У гиперболы же кроме действительной имеется и мнимая ось, отчего гиперболоидов два – однополостной и двухполостной, но, так как Архимед вращал только каждую из ветвей гиперболы, он вращения около мнимой оси не рассматривал, отчего получался только один вид гиперболоида.

\088\

3.11. Тепекрь разберём второй пункт параграфа 3.9: именно, что Архимед тщательно изучал труды Демокрита. Архимед не читал сочинений атомистов. Вот это место: Как сообщает Архимед в своем "Числе песчинок (Псаммит)", Аристарх говорил, что "окружность, по которой Земля движется вокруг Солнца, так относится к расстоянию до неподвижных звезд, как центр шара к его поверхности.



Архимед, который не читал сочинений атомистов и не знал их математики, недоумевает и видит в этом выражении сплошную нелепость: "Ясно, что этого быть не может: так как центр шара никакой величины не имеет, то следует полагать, что никакого отношения между ним и поверхностью шара быть не может".

С точки зрения геометрии Евдокса и Евклида, это действительно нелепо, но не с точки зрения математики атомистов, по которой центр имел не "никакую", а предельно малую величину; он был "амерой". Из Фемистия, комментатора Аристотеля, известно, что атомисты утверждали это именно о центре круга: "Нельзя разделить круг на два равные друг другу полукруга, но центр всегда окажется при разрезании присоединенным либо к одной, либо к другой половине, и сделает эту половину на одну амеру большей.

Ясно, что Архимед в момент написания "Псаммита" не был хорошо знаком с сочинениями Демокрита, но совершенно неясно, чтобы Аристарх придерживался математики Демокрита. Аристарх, Коперник древнего мира, был обвинен, за то, что поставил Солнце в центр Вселенной, в безбожии и должен был покинуть Афины.

Высокая же квалификация его как математика не допускает мысли, чтобы он считал невозможным разделить круг на два равных полукруга. Кроме того, совершенно нельзя было говорить о размерах "амер", так как это было чисто умозрительное понятие.

Поэтому, это выражение Аристарха было или его личной опиской, или ошибкой переписчика, и никаких выводов о его близости Демокриту не позволяет сделать.

\089\


Но, может быть, "Псаммит" написан до того, как Архимед познакомился с сочинениями Демокрита. Письмо Эратосфену, где Архимед ссылается на Демокрита, относится к целому периоду геометрических работ Архимеда.

Более поздние работы Архимеда посвящены: 1) проблемам счета, 2) математическим играм и 3) гидротатистике, не считая, конечно, его трудов по изобретению военных машин.

"Если в предыдущую эпоху жизни Архимед посвящал свои труды своим коллегам по Александрийскому Музею - Конону Эратосфену, Гераклиду, Досифею, то теперь он посвящает свои труды сиракузским монархам Гиерону и Гелону» (Лурье, 1945).

Как известно, и Гиерон, и Гелон были родственниками и друзьями Архимеда; Гиерон не получил власть по наследству, но, будучи талантливым полководцем в войсках Пирра, захватил власть после возвращения Пирра в Грецию. «Псаммит», несомненно, относится к позднему периоду творчества Архимеда и Лурье его относит к поздним работам) и по характеру работы, и по тому, что она посвящена соправителю Гиерона, царю Гелону.

Значит, что он написал его уже после ознакомления с приоритетом Демокрита в определении объема конуса; ясно также, что это не побудило его к внимательному ознакомлению с атомистической математикой, так как последнюю он считал пройденным этапом и даже не понимал (при его уме!) выражения, могущие быть истолкованными только с атомистической точки зрения.

3.12. Лурье: «Открытие иррациональных величин было неприемлемо для атомистической математики. "Доводы, выставленные математиками идеалистического лагеря, казались неопровержимыми, и математика атомистов быстро вышла из моды и была предана забвению".

Д овольно странно звучат слова Лурье "доводы казались неопровержимыми": доводы идеалистов и оказались неопровержимыми. И сейчас к существованию иррациональных чисел, которое, насколько мне известно, не оспаривается ни одним математиком, прибавились еще трансцендентные, комплексные числа и т.д.

Правда, сейчас "атомистическая математика" существует в форме "исчисления конечных разностей", но никому не приходит в голову считать ее единственно возможной.

\090\

На той же странице Лурье пишет: "Новая математика выросла на фоне яростной, ожесточенной борьбы с материализмом. Авторы математических книг черпают теперь свою аргументацию словно из практики уголовного судопроизводства, и как преступник стремится, что обвинительная картина преступления абсурдна, так и у античного математика способ аргументации - приведение к абсурду. Влияние адвокатской практики также дало важные результаты».



Давая такую оценку новой математики, Лурье указывает, что она имела два недостатка: 1) новый способ доказательства хорош для доказательства результата, уже известного или угаданного, но не годится для нахождения новых; 2) этот метод скорее огорошивает читателя, чем развивает его ум.

\091\


А откуда это взято? В научных сочинениях по математике и сейчас никто не пишет весь ход рассуждений, много отводится "догадке". Известно например, что при дифференцировании функций существуют правила, а в интегрировании много зависит от "искусства интегрирования", умения заменить переменные и т.д.

В современной высшей математике много такого, что "огорошивает" даже опытного читателя, и чтение многих авторов есть нелегкий труд. Когда встречаешь слова "нетрудно видеть", то это и есть самое трудное место, для разбора которого часто приходится потратить гораздо больше времени, чем там, где такой оговорки нет.

Дело объясняется просто: для математика крупного калибра многое совершенно интуитивно "ясно", и он не нуждается в доказательстве. Недаром Адамар сказал: "Гениальные математики предлагают теорему, талантливые ее доказывают".

Вся подготовительная работа математика это — леса, которые, естественно убирают после возведения постройки. А если бы обо всем этом писать, то объем работ возрос бы во много раз без нужды, так как опытные математики разбираются и без лесов.

Все это касается, конечно, чисто научных сочинений. В литературе, в частности педагогической, конечно, должны быть подробно освещены все методы работы. И Лурье нас информирует, что и такого рода работы остались в творчестве Архимеда.

В спокойной обстановке Сиракуз, где, несмотря на близость Архимеда ко двору, не было придворной обстановки, существовал обычай предложения для доказательства новых математических истин: результаты потом обсуждали.

\092\

При таком обсуждении обнаруживали и ошибки. Не был безошибочным и Архимед. В одном из выводов он сам потом обнаружил ошибку.



Он публично заявил о своих ошибках и прибавил замечание: "Пусть это будет устрашающим примером того, как люди, утверждающие, будто они умеют доказать все то, что они предлагают решить другим, но не прилагающие собственных решений этих вопросов, в конце концов принуждены будут убедиться в том, что они брались за невозможное".

Письмо Эратосфену имело цель популяризировать недостаточно строгий метод. Но если бы Архимед пользовался методом Демокрита, то он не мог бы его скрыть, и Эратосфен о нем бы знал.

Не пришлось бы ему писать письмо с разъяснениями. Есть все основания для утверждения, что эвристический метод Архимеда не заимствован у Демокрита, а является чем-то несравненно более совершенным.

3.13. Ссылка на то, что оригинальные сочинения Демокрита не сохранились, неубедительна. Всё здание античной математики настолько проникнуто антидемокритовским духом, что ни о каком заимствовании и речи быть не может.

Можно утверждать, что они полностью переработали математические основы Демокрита в идеалистическом духе. Пифагорейцы удачно повели нападение на наименее защищенное место в теории Демокрита - на его учение о мельчайших неделимых математических элементах.

Приняв делимость до бесконечности и заменив амеры (математические атомы) Демокрита непротяженными точками - монадами, они, с философской стороны ослабили аргументацию Демокрита, но, с точки зрения развития математики, это было шагом вперед, так как подготовило учение Евдокса.

С точки зрения идеалистической философии, достигалось то, что материя составлялась из нематериальных элементов и, таким образом, оказывалась видимостью.

\093\


На вопрос же, как из нематериальных точек получаются материальные тела, пифагорейцы дали остроумный ответ: «линия не составляется из точек, но при движении точка переходит в новую сущность - в линию; при движении прямой линии возникает плоскость; при движении плоскости - тело и т.д. Точка не является элементом линии, а является границей линии».

Ясно, что пифагорейско-платоновская школа не могла заимствовать от Демокрита самые ценные свои достижения, не совместимые с идеологией Демокрита. Работы пифагорейцев не были реакцией на работы Демокрита, так как и Демокрит, и Евдокс - различная реакция на критическую работу элеатов.

Пифагорейское понимание материи близко с представлением современной физики. Сущность демокритовского математического томизма заключалась в признании математических амер (т.е. не имеющих частей).

Лурье: "Такое математическое тело труднее помыслить, а представить конкретно и вовсе невозможно: оно, очевидно, не должно иметь правой и левой стороны, верха и низа, тем не менее оно должно обладать протяжением. Очевидно, такое тело не делимо и математически, так как из него нельзя мысленно выделить какую-либо часть; таких частей у него не существует".

Это нечто совершенно сверхъестественное, похожее на бред сумасшедшего. Но ведь выводом из демокритовского математического атомизма было отрицание иррациональных чисел.

\094\

В ответ на утверждения, основанные на существовании иррациональных величин, атомисты заявляли, что таких величин не может существовать, так как "неделимое является общей мерой всех величин" (Лурье,1947). Точно также атомисты возражали против теорем, что всякую прямую можно разделить на две равные части.



С точки зрения атомистов, все геометрические теоремы дают, в сущности, не точный результат, а приближенный, с погрешностью в одно неделимое. Доказательствам существования иррациональных чисел атомисты упорно сопротивлялись.

Я думаю, что говорить об основном значении демокритовскоЙ линии в математике совершенно невозможно.

3.14. Перейдем к философии математики этого периода. Неверно утверждение, что работа пифагорейцев была реакцией на атомизм Демокрита. Зенон Элейский примерно на сорок лет старше Демокрита и уже до Зенона был древнейший математический атомизм, где первоначалом были материальные, но не протяженные точки.

Такие представления были и в древней Индии. Демокрит мог заимствовал свой атомизм и у финикянина Моха. Отличие этого атомизма от демокритовского то, что элементы его были непротяженными, но из них при сложении получались-де протяженные линии, плоскости и т.д.

Против этого и выступали элеаты. Нq на какой они "линии" стояли? На материалистической или идеалистической?

\095\


Главными представителями элейской школы являются: Ксенофан (родом из Колофона, откуда был изгнан), Парменид и Зенон, жившие в Элее, и Мелисс с острова Самос. Хотя Ксенофан говорил о боге, но его "бог" - абстрактно понимаемый материальный субстрат Космоса.

Все они были успешными политическими деятелями: Парменид отечество привел в порядок отличнейшими законами, Зенон восстал против тирана, был подвергнут пыткам и казнен, Мелисс в качестве самосского стратега в 442 г. до н.э., руководил борьбой с афинским флотом и успешно боролся о афинскими командирами, знаменитым трагиком Софоклом и не менее знаменитым Периклом.

Не все считают элеатов представителями материализма. Парменид был знаком хорошо с учением Гераклита, но прежде пропитался западногреческими учениями. Ионийскую философию он применил главным образом для того, чтобы углубить и поднять на уровень современной ему науки эти учения.

Если, как утверждал Ксенофан, божество едино, если оно разлито по всей Вселенной, то и Вселенная едина. Её необходимо считать всюду одинаково плотной.

Отдельных предметов не существует, и как раз наука последнего дня доказывает правильность религиозного положения, что воспринимаемый нами мир есть только "домысел", что совершенный мир чужд и противоположен этому миру. Мать скептицизма не наука, а религия.

Зенон возвратился от двух элементов Парменида к четырем элементам мистерий; Мелисс доказывал, что истинный мир бестелесен. Идеал элейской школы - безмятежная неподвижность. Конечно, это подкрепляется "анкетными данными", вплоть до того, что Мелисс уроженец Самоса - родины "основателя реакционной италийской философии Пифагора".

\096\

Правда, биографии Парменида, Зенона и Мелисса как будто опровергают, что они стремились к "безмятежности". Так куда же отнести элеатов: к "прогрессивной", материалистической, или "реакционной", идеалистической линии?



Сопоставление мнений показывает, что многих философов можно "причесать" и под материалистов, и под идеалистов, но в данном случае речь идет о противопоставлении, совсем в другой плоскости, рационализма и эмпиризма.

{V: Неверное это противопоставление, так как истинная полярная пара это «эмпиризм – форсированный экспериментизм»! Вот это пара, так пара!}

3.16. С точки зрения математики, наиболее интересным из элеатов является Зенон, поставивший свои знаменитые апории. Апории были основаны на критике древних законов математики:


  1. сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых, протяженных величин обязательно должна быть бесконечно большой;

  2. сумма любого, хотя бы и бесконечно большого, числа непротяженных величин всегда равна нулю и никогда не может стать равной некоторой, заранее данной, протяженной величине.

Применяя эти "самоочевидные" истины, Зенон и пришел к своим апориям, которые и явились опровержениями аксиом, приведением их к абсурду.

Какова же роль Зенона? Современные математики высоко оценивают роль Зенона. Георг Кантор, превращает Зенона в мыслителя сверхсовременного масштаба, поставившего задачи, не разрешенные доныне.

Зенон оказал большую услугу математике, показав, что она должна лучше обосновывать свои исходные положения. Но реформа математики имела место только через 20-30 лет после выступления Зенона.

\097\


В ближайший момент возможно было одно из двух: вовсе отказаться от отвлеченных геометрических построений или просто игнорировать Зенона. По первому пути пошел Протагор, по второму - Эмпедокл и Анаксагор".

Апории оказали мощное влияние на четыре направления философской мысли. Роль мощного фермента мысли Зенон несомненно сыграл. Разберем вкратце эти четыре направления:

а) что касается Эмпедокла и Анаксагора, то у них нет математических заслуг.

б) немногим лучше позиция Протагора: полное отрицание теоретической геометрии. Геометрия низведена на уровень прикладной геодезии; полный отказ от обобщений. Вопросы Протагор предлагал решать большинством голосов - полное банкротство теоретической науки.

3.16.

Третье направление - направление Демокрита. Доводы Зенона могут быть опровергнуты только путем допущения существования неделимых величин.



Большинство пошло по четвертому, идеалистическому пути, начиная с Евдокса.

Демокрит цеплялся за устаревшие аксиомы, в линии же Платона сделали правильный, дуалистический вывод: нельзя положения, доказанные для чисел, переносить, без критической проверки на непрерывные величины. Этот путь - генеральная линия развития математики, а не демокритовский тупик.

В математике, но не в физике. "Геометрия Демокрита - это часть физики; всякий геометрический образ имеет длину, ширину и глубину (хотя бы чрезвычайно малую, как у точки, линии, плоскости), и геометрия учит о пространственных взаимоотношениях физических тел" (Лурье).

\098\


Идеалистический уклон большинства математиков не является ни следствием приверженности устарелым воззрениям, ни обязан вообще каким-либо вненаучным влияниям.

Занятие математикой не опровергает идеализм, а способствует развитию идеализма даже у тех ученых, которые первоначально были близки к материализму. Один из великолепнейших примеров - великий Лейбниц. Во всех различных по содержанию математических занятиях он исходил из одной цели. Цель эта философская: создание универсального метода научного познания, по терминологии Лейбница - всеобщей характеристики - "Матезис универсали".

3.17.

Платоновская линия в математике не исчерпала себя исчислением бесконечно малых. Как указывал Вейль (1934), в истории человечества были предприняты три попытки представить непрерывное. "Согласно первой и самой радикальной из них, континуум состоит из определенного исчислимого количества дискретных элементов.



\099\

Для случая материи этот путь, на который еще в древности вступил Демокрит, пройден до конца современной физикой. Для случая пространства концепция атомизма была развита Платоном.

Атомистическая теория пространства была возобновлена в философии ислама Мутакадлимуном, а на Западе - в учении о минимуме Джордано Бруно". "Второй попыткой является введение бесконечно малых". "Третью попытку "спасти" непрерывное в смысле Платона мы встречаем в лице современного теоретико-множественного обоснования анализа".

Платоновский идеализм жив и в современной математике. Абстрактные математические понятия и, прежде всего, бесконечные множества (как множество всех чисел, множество всех функций и т.п.) понимаются, как самостоятельные сущности.

Это и есть платонизм в математике, ибо Платон как раз и приписывал самостоятельное существование идеям — Кантор выдвинул принцип, что "сущность математики в ее свободе". Принцип этот удобен, так как не стесняет математического творчества и заранее оправдывает любые абстрактные построения.

А. Д. Александров находит аналогичные воззрения даже в статье "Математика" в первом издании БСЭ, написанной А. Н. Колмогоровым: «Практика из критерия истины превращается в потребителя, пользующегося милостыней теории».

\100\

Замечу, что история европейской техники как будто бы подтверждает именно эту точку зрения Колмогорова. Другой наш выдающийся математик, Н.Н. Лузин, тоже, конечно, относится к идеалистам.



А.Д. Александров не склонен считать теорию множеств ошибочной: она "привела к успехам математики, но эти успехи неразрывно связаны с задачами, идущими, в конечном счете, от естествознания и техники, а не сводятся к "свободному полету математической мысли".

При всем уважении к А. Д. Александрову, последнему утверждению невозможно поверить. Он постоянно упрекает идеализм, что он ведет к "поповщине", но, ведя к "поповщине", он и науку ведёт к поразительным успехам.

Утверждение, что всякий успех математики связан с естествознанием и техникой, - это тоже "поповщина", только материалистическая: но эта "поповщина" отличается от идеалистической тем, что с такими успехами как теория множеств она не связана.

3.18.


Почему связь особой продуктивности математики с идеализмом мы можем считать не случайной, а закономерной? А. Д. Александров: "Большинство математиков продолжало и продолжает придерживаться по существу канторовской "свободы математики". Она менее всего стесняет математическое творчество. Но возникли течения, стремившиеся ограничить эту свободу, чтобы устранить порождаемые ею противоречия".

\101\


Заметим, что фанатический католик Г. Кантор в науке проповедует максимальную свободу творчества. У нас часто наоборот: те, кто претендует на монополию свободомыслия, стремятся установить "единственно возможное" решение научных вопросов.

В чем сущность неограниченной свободы математического творчества? В допущении вводить понятия, которым ничего не соответствует в реальной действительности. Это прямое нарушение определения математики, данного Ф.Энгельсом, по которому предметом математики являются количественные отношения и пространственные формы действительного мира.

И мы часто слышим, что на каждом этапе развития теории ее определения и формулы должны иметь какое-то реальное содержание. Правда, формулу Энгельса можно примирить с допущением полной свободы, если "действительность" понимать в платоновском смысле, т.е. как реально существующий мир идей, но вряд ли Ф. Энгельс согласился бы с таким толкованием его определения.

Установка Демокрита и соответствовала определению Энгельса. Единственно реальное в природе - атомы, следовательно, и в математике им соответствуют реальные амеры. Но, конечно, определение Ф.Энгельса шире демокритовского понимания, так как включает и количественные отношения. В процессе развития математики постепенно "материализовались" и те понятия, которые первоначально казались совершенно нереальными.

"Для чего нуль, что он обозначает? Ведь ему ничто же в природе не соответствует? Но мы знаем, что введение нуля было необходимо для осуществления огромного прогресса в арифметике - позиционной системы счисления. И в теории множеств есть "пустое множество?" Так ведь это противоречие в самом понятии: можно ли говорить о "множестве", если в нем нет ни одного элемента.

Отрицательные корни уравнения Кардано называл "фиктивными", и даже Декарт называл их "ложными", хотя отрицательные величины уже понимались иногда в форме "долга".

\102\

Квадратные корни отрицательных величин назывались "мнимыми". Кардано их называл "софистическими". Однако уже в 1572г. итальянский математик Бомбеллк показал, что в так называемом неприводимом случае вещественный корень получается как сумма двух комплексных чисел.



Явное нарушение правила, по которому каждый шаг не должен отрываться от реальной действительности. Математики этим не смущались, а потом Гаусс показал, что мнимые корни и комплексные числа теряют "софистичность", если их рассматривать как направленные величины на плоскости.

Дальнейший шаг - кватернионы (величины, содержащие три "мнимых" компонента: при умножении чисел знак зависит от порядка множителей) - также получил аналогичное разъяснение, когда в векторном анализе направление рассматривалось уже в трех измерениях.

3.19.

Мы получаем противоположение материализма и объективного идеализма в понимании соотношения истины и реальности. И идеалисты, и материалисты часто употребляют в теории "общие идеи", но под этим можно понимать идеи:



  1. являющиеся действительно отражением материального мира;

  2. предвосхищение особенностей материального мира, как то атомистическая гипотеза, взгляды Фарадея на электричество и проч., комплексные числа; здесь часто обнаруживалось непонимание - и материалисты занимали консервативную позицию;

  3. предвосхищение нематериальных особенностей вполне реального мира идей; просто удобные средства упорядочения наших восприятий, не претендующие на реальный смысл: чисто махистский подход.

Махизм допускает максимальную свободу в выборе теоретических орудий и принципиально не связан ни с какой метафизикой, хотя видные махисты, например Дюгем, придерживаются определенной метафизики.

\103\


Но не все махистские "конструкты" могут претендовать на объективное существование, - только точные истины; если мы заведомо пользуемся приближенными понятиями, то настаивать на их объективном существовании мы не имеем права.

Вторая категория общих идей, могла бы разрабатываться и материалистами. Материалисты чинили такой разработке препятствия, так как общие идеи противоречили сложившемуся представлению о материальном мире, которое в определенное время господствовало.

В недавнее время мы имели этому пример, когда предвиденный Дираком "антиэлектрон" казался совершенным абсурдом. Сам Дирак считал, что, если теория приводит к такому выводу, значит она неверна, но через год этот антиэлектрон (позитрон) был открыт экспериментально, а затем и другие античастицы. Но если в настоящее время теоретическая физика и математика завоевали себе полную свободу исследования, то не всегда так было.

Любопытно указание на отношение к геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский называл свою геометрию "воображаемой". Впоследствии оказалось, что геометрия Лобачевского двух измерений вполне приложима ко вполне реальной поверхности, псевдосфере. Возможно, Лобачевский был материалистом.

Приписываемое ему мнение, что нет сколь угодно абстрактной ветви математики, которая не получила бы в свое время приложения к реальному миру, не однозначно. Но как его геометрия, так и аналогичные взгляды Гаусса в свое время не получили признания. Гаусс даже и не опубликовал своего мнения по этому вопросу.

\104\


3.20.

Вернемся к формулировке Кантора: "Все истинное имеет объективное существование". Истинность же понимается в смысле отсутствия внутренних противоречий. Истина в этом смысле есть критерий существования. Материалистическое понимание утверждает обратное: существование есть критерий истинности.

В старом учебнике исторического материализма Н. И. Бухарина с торжеством опровергался догмат Троицы, на том основании, что он противоречит таблице умножения. Как может быть 3x1=1? Но теория множеств того же Г. Кантора показала, что таблица справедлива только для конечных чисел. Для бесконечных чисел она неприложима. Возьмем три бесконечных множества:

1.4.7.10.13.16.19 ...

2.5.8.11.14.17.20 ...

3.6.9.12.15.18.21 ...

Числа не повторяются, так что все три множества полностью отличаются один от другого. Все три - одинаковой мощности, так как из одного путем прибавки или убавки единицы или двойки можно получить другое. Имеется биоднозначное соответствие.

Но с другой стороны имеется биоднозначное соответствие между каждым из множеств и натуральным рядом чисел: 1,2,3,4,5... Например, из третьего ряда можно получить натуральный ряд делением всех цифр на три, а из натурального ряда - третий ряд путем умножения на три. Натуральный ряд получается также сложением всех трех рядов. Таким образом, от сложения трех одинаковых по мощности множеств мы получили новое множество одинаковой мощности с каждым из слагаемых, так что 1+1+1 = 1.

{V: Пример этот, конечно, весьма наивен!}

Еще более удивительный случай приведен в статье А. Д. Александрова: "Далекое чисто логическое развитие представлений о непрерывности как о множестве отдельных точек ведет к результатам, которым не удается приписать физического смысла. Так, доказано, например, что существует разбиение "математического" шара на конечное число таких частей, из которых можно сложить два таких же шара (ровно таких же размеров).

\105\

Эти части, как говорят математики, "неизмеримы", т.е. им нельзя приписать никакого определенного объема, в это неизбежно, так как иначе получалось бы противоречие: объем шара равнялся бы сумме объемов двух таких же шаров, т.е. единица равнялась бы двум. Но вследствие "неизмеримости" частей тут никакого формального противоречия нет.



Однако теорема заведомо не имеет никакого физического смысла. Стало быть, она может иметь лишь какой-то более абстрактный смысл, но какой - неизвестно". Может быть, на идеалистическом древе познания созревают такие плоды, даже мечтать о которых материалистам не дозволено под угрозой изгнания из рая.

Идеализм большей частью, является не тормозом науки, а знаменем её развития, напротив, требование материализма, чтобы каждое понятие имело физический смысл, часто является таким тормозом. Положение о вреде от платонической свободы мышления Александров не доказывает. На этом пути материалистов ждет, однако, разочарование.

3.21.

Как указывает А. Д. Александров, философским конкурентом Г. Кантора является Давид Гильберт, основоположник формализма в математике: "Задача, которую поставил Гильберт, в том, чтобы устранить противоречия, порожденные "свободой математики", и сохранить в математике все ценное путем сведения математики к формальным исчислениям, ибо о формуле в ее точном выводе спорить нечего: они не могут быть истинными или неистинными; они просто есть, ибо они написаны на бумаге. Существуют формулы, а вопрос о том, что они означают, не принадлежит, по убеждению формалистов, к математике, а относится к "философии" или, по Гильберту, к "метаматематике".



\106\

Статью "Ленинская диалектика и математика" Александров заканчивает словами: "Четыре страницы Ленинской заметки "К вопросу о диалектике" - мощный стимул к творчеству".

Александров считает, что формальное обоснование математики невозможно и что это находит также математическое подтверждение, как доказал австрийский математик Гёдель, даже учение о целых числах не может быть исчерпано никаким формальным исчислением.

Аксиоматизация физики повторяет кантианские утверждения об априорности законов физики. Извращение науки независимо от добрых намерений кого бы то ни было, ведет в болото, где среди ядовитых цветов идеализма ползают философские динозавры - эллингтоны, сматсы и расселы, где рядом с уточненным извращением науки гнездятся "атомная" философия, борьба против демократии и прочие мерзости империалистической идеологии". Как видим, формализм в самом зачатке получил полное и окончательное опровержение.

Статья А. Д. Александрова появилась в 1951 году, в период культа личности Сталина. Но если "судить по делам, а не по словам", то получим совершенно иную картину.

В 1947 году был издан перевод книги Гильберта и Аккерманв "Основы теоретической логики". В предисловии марксистский математик С. А. Яновская указывает, что историю теоретической логики надо начинать с "универсальной характеристики" Лейбница. Развивалась она в 19-м веке, но в основном она является из дисциплин науки XX века, когда она стала частью математики.

\107\

Яновская пишет, что развитие логики с помощью построенного самим же Гильбертом аппарата, обнаружило неосуществимость его надежд для оправдания формалистической и идеалистической точки зрения на математику.



3.22.

Но прошло двенадцать лет, и в 1969 году появилась книжка П. С. Новикова "Элементы математической логики". О философии в книге нет ни слова. Во введении автор возвращается к антиномиям Зенона: "Идеи Гильберта - начало нового этапа а развитии аксиоматического метода. Однако выяснилось, что в буквальной своей постановке эта программа невыполнима. Даже для решения вопросов о непротиворечивости основных математических дисциплин финитизма Гильберта недостаточно.

Принципы всей математики не могут полностью быть выражены никакой формальной системой. Вопрос о непротиворечивости формальной системы не может быть решен средствами, которые формализуются в той же системе — Но выход за рамки финитизма не уничтожает основной идеи метода, состоящего в формализации тех математических систем, которые подлежат обоснованию.

\108\


Если для решения средств финитизма недостаточно, то для постановки этих неразрешимых им вопросов этих средств вполне достаточно".

Заканчивает свое введение Новиков следующими словами: "Аппарат математической логики нашел применение в вычислительной математике и в технике в связи с конструкцией сложных автоматических устройств".

Имя Гильберта фигурирует в тексте статьи "Метатеория" (БСЭ, 2-е изд., 51-й доп. том. В списке литературы фигурирует 11 имен, ни одного советского. Никакого указания о "растленной, гнусной буржуазной" идеологии.

Гильберт не осуществил полностью свою программу, хотя критическую работу произвел Гёдель: на "ложном, классовом" дереве идеализации созрел снова великолепный плод.

Почему же в списке литературы по "метатеории" нет ни одного советского имени (как и в статьях "семантика" и "синтаксис", в том же томе БСЭ)? После выступления "философского юнги" (как он сам себя называет), А. А. Жданова, эти направления были запрещены, как проявления "растленной буржуазной идеологии", и потому на этом фронте наша наука на несколько лет отстала. Но кадры математиков у нас превосходные, и после 1963 года у нас довольно быстро выправили отставание.

3.23.


Что касается "философского динозавра" Б. Рассела, то сейчас он уже перестал быть "философом-динозавром", так как стал выступать как активный борец за мир.

\109\


Подождем, может быть, скоро Рассела причислят к материалистам: Рассел не скрывает своего воинствующего атеизма.

Кроме того, он резкий противник Платона, но если пользоваться формулой: «бытие определяет сознание», то ясно, что Демокрит с его атомизацией геометрии сводит геометрию к физике, бытие определяет математическое сознание, попытки же математизации физики сводят физику к математике, значит, сознание определяет бытие; Не так-то легко провести границу между материализмом и идеализмом.

3.24.

А. Д. Александров касается еще "интуиционизма", который представляет другую попытку ограничения свободы. Он допускает а математике лишь "интуитивно ясное". По Брауэру, существует столько математик, сколько есть математиков.



По мнению Александрова, интуиционизм не принял почти никто из математиков. Непонятно, как можно совместить "ограничение свободы" и такое анархическое утверждение, что сколько математиков, столько и математик.

{V: Интуиционизм основан на интуиционистской логике, имеющей всего одну «несущественно иную» аксиому по сравнению с классической формальной логикой. И та, и другая логики угрожали формализовать основания математики и «вообще всех наук», но ручки коротки.. О чём парлё?!}

\110\

Более ясное представление можно получить из книжки известного математика Г.ВеЙля "О философии математики"; Вейль тоже относится к интуиционистам. Книжке предпослано предисловие С. Яновской и второе предисловие от переводчика А. Юшкевича. Из этих предисловий мы узнаем, что "наиболее интересным явлением в области современной философии математики безусловно следует признать интуиционизм". Яновская пытается, как это и полагается марксисту, связать кризис математики с эпохой империализма и утверждает, что "между наукой, в муках рождающей диалектический материализм, и философией класса, в устах представителей которого все чаще звучит теперь лозунг "назад к варварству!**, интуиционисты выбрали философию. Они принесли основные органические части живого тела современной математики в жертву своей реакционной установке, в жертву стоящим вне науки метафизическим догматам. Это не исключает правильности отдельных положений интуиционизма, особенно в критической его части, направленной против формально-логических методов в математике".



Но на той же странице оказывается: "пожалуй, привлекать империализм для объяснения возникновения интуиционизма нет оснований. Бели еще в начале текущего столетия большинство математиков, в том числе и столь крупных как Ф.Клейн, были убеждены в том, что работами Кантора, Дедекянда и Вейерштрассв проблема обоснования анализа решена окончательно и бесповоротно, что проблемы иррационального числа, например, больше не существует. Бели такое убеждение распространяется еще и в настоящее время среди подрастающего поколения наших молодых советских математиков - не только студенчества, но и аспирантуры - то работы ВеЙля, во всяком случае, показывают, что вопрос этот еще спорный, что над проблемами числа и континуума еще много и много прядется поработать. Больше того, если такому крупному математику, каким является Вейль, приходится констатировать наличие тупика, в который это обоснование заходит, если он вынужден заговорить поэтому о кризисе основ математики, го это является еще одним прекрасным доказательством невозможности вообще обосновать математику на путях идеализма".

А.Юшкевич также указывает, что кризис основ математики был вызван в значительной мере (не лучше ли сказать - только ими) ростом самих математических теорий, выдвинувших ряд новых и поставивших ряд старых методологических проблем. Идеалистический характер интуиционизма стоит вне сомнений: "Эгот идеализм в философии

\111\

математики полностью согласуется с гуссернством Вейля и с субъективным идеализмом и волюнтаризмом Брауэра, декларированным последним в его докладе в Вене, в котором он, в частности, рассматривает мир как творение нашей воли и утверждает индетерминированность его". Там же из высказываний Брауэра: "Среди математических рассмотрений, навязанных всем людям совокупной волей всего человечества, надо прежде всего назвать предпосылку гипотетического и "объективного пространственно-временного мира". Само собой разумеется, что все существование какой-нибудь каузальной последовательности заключается в том, что она является коррелятом некоторой, вызывающей математические акции, установки человеческой воли; не может быть и речи о каузальной связи мира независимо от человека". Приведя еще несколько высказываний Брауэра, столь же парадоксальных, Юшкевич пишет: **И эта насквозь идеалистическая фантастика представляет собой философскую установку одного из крупнейших математиков современности!-. Из настоящей работы читатель увидит все же, что интуиционизм ставил ряд важнейших вопросов в своей критике формально-логического направления а математике и теории континуума. В этом нет, пожалуй, ничего удивительного. "Когда один идеалист ругает другого, то на этом выигрывает материализм" (Ленин). И значение работ Вейля именно в этой их критической стороне**.



3.25. И эта беглая характеристика интуиционизма позволяет сделать один вывод: во главе стоят крупнейшие математики, которым их идеалистическая философия не помешала проделать важную работу в математике. Вместе с тем, эта три философские школы враждуют друг с другом, или, по крайней мере, развиваются независимо одна от другой. Значит, в одном идеалистическом "лагере" имеется по крайней мере три, так сказать, "подлагеря". При такой междоусобной брани идеалистов, естественно, надо было ожидать, как это и высказал Ленин, что выиграют материалисты. Разовьется мощная философская школа, которая вытеснит идеалистов. Но мы этого не видим: наши материалисты, которым предоставлена полная свобода критики идеалистов и построения материалистической системы математики, ограничиваются более или менее (чаще более, чем менее) грубой бранью и писанием "обезвреживающих" предисловий, а за последние годы и это исчезло, при этом, как правило, исчезает и всякая философская окраска. Получается впечатление, что потерялась всякая связь философии и математики. И до известной степени это верно.

\112\


Всякая наука не развивается монотонно, но, по красивому сравнению академика Несмеянова, бывает работа "в одном этаже", и "переход из одного этажа в другой". Для работы в пределах одного этажа философского обоснования не требуется, но, чтобы проделать переход в новый этаж, требуется отрыв от привычных представлений, пересмотр укоренившихся понятий, полный отрыв от требований обязательного "отображения" внешнего мира. Идеалистическая философия для этого несравненно пригоднее, чем материалистическая, так как она принимает призрачность нашего мира явлений, не зависимо от характера идеалистической философии. Объективный идеализм постулирует существование иного, неприэрачного мира, а субъективный утверждает (в первом приближении), что никакого мира, кроме призрачного, вообще не существует. Понятно, почему творчество идеалистов несравненно разнообразнее и свободнее, чем творчество материалистов. Пробившись в новый этаж, пионер науки создает новую систему плодотворных аксиом, и с этой системой можно уже работать без всякой философии. Поэтому, несмотря на усиленную пропаганду диалектического материализма, это направление среди математиков (ограничимся пока ими) не пользуется распространением даже у нас.

Имеется известное количество несомненных идеалистов, но их уста сомкнуты по независящим обстоятельствам. Большинство равнодушно к философии, а среди действительно квалифицированных математиков (а их у нас вполне достаточно) нашелся только один А.Д.Александров, который выступил с критикой идеализма, да и то, как видно, вовсе неудачно. При желании его бы даже можно обвинить в скрытой пропаганде идеализма и даже религии. Показано разнообразие идеалистических школ, возглавляемых крупнейшими математиками, и даже не упомянуто о существовании в математике материалистических школ, возглавляемых не менее крупными математиками. Нельзя же на одних цитатах из Ленина построить математику- И ссылка на гнев классового общества, запрещающий на Западе выработать материалистическую математику, не может считаться убедительной. Ведь в физике, например, имеются на Западе крупные ученые* материалисты, например, Бернал, а уж про биологов и говорить нечего:

большинство современных биологов - неодарвинисты, безусловно

т. стоящие на линии Демокрита; то, что их у нас называют идеалистами,

имеет совершенно особое объяснение, о котором я писал достаточно.

А кроме того, почему наша блестящая фаланга математиков, удивляющая весь мир своими успехами, не выработала до сих пор материалистической философии математики? Почему так затянулись

\113\

роды, долженствующие дать человечеству диалектический материализм? Со времени высказывания Ленина прошло более полувека. Надеюсь значительно позже добраться до этого вопроса, а пока нужно со всей уверенностью сказать, что единственное более или менее развернутое выступление против великого математического идеализма А.Д.Александрова есть просто порождение сталинского безвременья. Оно и появилось в 1951 году, в пору полного подавления всякой свободной мысли.



3.26. В разобранных выше выступлениях наших марксистских математиков против математического идеализма обращает на себя внимание один пункт: игнорирование диалектики. Юшкевич в критике интуиционизма считает, что голое отрицание интунционистами закона исключенного третьего носит совершенно не диалектический характер. Это высказывание неясно. Утверждает ли Юшкевич, что всякое отрицание закона исключенного третьего противоречит диалектике или только "голое** отрицание, и чем голое отрицание отличается от не голого». Но хорошо известно, что диалектическая логика и характеризуется именно тем, что отрицает закон исключенного третьего. Но диалектику наши марксисты подзабывают в в другом смысле. Вейль н многие другие математики высказываются иногда о кризисе основ математики (в других быстро развивающихся науках мы часто слышим подобные высказывания).

Слово "кризис" Наши марксисты всегда понимают как нечто отрицательное, свидетельствующее о слабости позиции. Для марксистов это понятно: ваш общественный строй гордится тем, что он ие переживает кризисов перепроизводства (правда, не столь редки кризисы недопроизводства, но об этом предпочитают умалчивать), которые характерны для капиталистического мира. Да, конечно, в экономической жизни страны кризисы - вещь нежелательная, и надо стремиться построить такой строй, в котором экономических кризисов не наблюдалось бы. Но являются ли идеологические кризисы показателем нездорового состояния данной отрасли знания? По-моему, нет. Это только иное название тому, что Гегель называл накоплением противоречий, антитезисом. Это - закономерный этап развития идейной системы, приступ к "переходу в новый этаж", выражаясь словами Несмеянова. Создается какое-то крупное идейное построение. Оно служит плодотворным руководством к действию и обогащает науку, но с течением времени выясняется, что это не "окончательная истина в последней инстанция" (такие истины, как известно, диалектическим мышлением совершенно отрицаются), а только

\114\

114

более-менее удовлетворительное приближение. Можно, и это будет, так сказать, реформистский путь в науке, постараться исправить положение, введя дополнительные гипотезы, новые члеаы в уже известные формулы и т.д., и очень часто такие поправки вносят существенное улучшение в дело.

Но, наконец, наиболее прозорливые умы догадываются, что поправками к существующей теории ограничиться нельзя, надо перестраивать теорию сверху донизу. Это революционный, диалектический путь в науке, и, как свидетельствует история науки, в новом идейном построении часто используются многие идеи, казалось бы, окончательно отвергнутые на предыдущем этапе развития. Общеизвестно сравнение диалектического развития с достижением не по кругу, а по спирали: при обороте до спирали мы не возвращаемся к пройденным этапам, но приближаемся к этим этапам. С точки зрения диалектики, нельзя говорить ни об "окончательно утвержденных положениях", ни об "окончательно опровергнутых положениях", и примеров этого из истории науки можно привести достаточно. Поэтому для беглой оценки того, развивается ли наука или не развивается, как раз отсутствие кризисов является подозрительным, и если такое "благополучное" состояние длится довольно долго, можно почти без ошибки сказать, что наука пришла в состояние догматического застоя. Так случилось с великой перипатетической школой, и именно поэтому перипатетики, неумеренные поклонники великого Аристотеля, были наиболее ожесточенными противниками новых веяний во время Возрождения. Сейчас же, в самых замечательных науках, математике и физике, мы все время наблюдаем "святое недовольство". Уж у них-то, казалось бы, могла закружиться голова от неслыханных успехов, но, оказывается, не кружится. Они все время говорят о кризисах, а их науки развиваются с бешеной скоростью, потому что там нет ни догматики, ни культа личности.

Материализм со своим требованием, чтобы математика ограничивалась отображением реального мира, не продуктивен уже потому, что даже сейчас наши звания о реальном мире далеко не исчерпаны (да вряд ли когда могут быть исчерпаны). Материализм ограничивает свободу мышления и не доверяет строгости разума, если разум приходит в противоречие с привычными нам представлениями о реальном мире. У него нет ни свободы, ни строгости. Подлинный же идеализм связан с максимальной свободой и строгостью мышления.

3.27. А теперь вернемся снова к элеатам, прежде всего к Зенону. Как же разрешить вопрос о том, материалисты они или идеалисты? Роль

\115\


Зенона высоко оценивают как раз представители современного математического идеализма. Думаю, что элеаты лишний раз опровергают ходящую у нас теорию "двух лагерей" и "двух линий". Мне думается, что главная заслуга Зенояа в его рационализме, а противоположение рационализма - эмпиризм - лежит, так сказать, в другой плоскости, как и его противоположность - материализм-идеализм. Так толкует и А.Д.Александров:, "Примером одностороннего, преувеличенного развития тех сторон познания, которые особенно сильно проявляются в математике, могут служить рационализм и кантианство. Представление рационализма о том, что только разум, в противоположность чувственному опыту, является источником знания, несомненно имело своим отправным пунктом внутреннюю убедительность математических выводов, которые осуществляются чисто умозрительно и представляются совершенно бесспорными, даже более бесспорными, чем заключения, основанные на опыте". Здесь рационализм противопоставляется эмпиризму, но, конечно, нельзя говорить, что рационализм обязательно ведет к идеализму, а эмпиризм к материализму. Однако известная корреляция есть.

Крайний рационализм почти обязательно идеалистичен, крайний эмпиризм - материалистичен, но, например, материализм ученых 19-го века впитал в себя значительную дозу рационализма. Не надо забывать кроме того, что понятие рационализма неоднозначно: 1) врожденность ума: рационализм против эмпиризма и крайний, так называемый, ползучий эмпиризм гораздо вреднее для прогресса науки, чем крайний рационализм; 2) антагонист догматизма; в этом смысле слово рационализм употребляет французский журнал "Мысль", имеющий подзаголовок: "Орган современного рационализма". Правда, обычно рационализм этой категории подразумевают узко, в смысле борьбы с фидеизмом и религиозными догматами. Настоящий рационалист не признает никаких догматов: ни религиозных, ни антирелигиозных. Поэтому наилучшим наименованием рационализма в этом смысле был бы старый тургеневский термин "нигилизм". Можно сказать, что современная математика и физика достигли подлинного нигилистического высокого уровня; 3) антагонист эмоционализма. Рационалистом часто называют человека, который или вообще недооценивает эмоциональную сферу, или считает, что все чувства должны быть под контролем разума; 4) рационализм и иррационализм. Это противоположение само может быть разбито на ряд видов. Первое противоположение рационализма иррационализму совершенно аналогично противоположению рациональных и иррациональных чисел.

\116\

lie


Иррациональные числа вовсе не "неразумные", что они буквально обозначают, они противоречат только привычному разуму и требуют введения новых вполне разумных понятий. Другой смысл иррационализма - апелляция к наличию подсознательных мыслительных способностей человека, интуиции. Здесь мы имеем противоположение рационализма и интуитивизма. Третий вид иррационализма - апелляция к сверхчеловеческим сущностям и возможность постижения истины от общения с этими сверхчеловеческими сущностями. Это называется мистицизмом в истинном смысле этого слова: познание через сверхестественное озарение. И, наконец, четвертым видом иррационализма является полное отрицание возможности познания самых существенных особенностей природы, призвание банкротства разума.

Всего мы получаем, таким образом, семь различных пониманий термина "рационализм". Если прибавить, как всегда, что существует рационализм критический, или скептический, и рационализм творческий, то мы получаем еще большее разнообразие понимания

термина "рационализм"...................(здесь в рукописи

отсутствует одна страница)................к такой нелепости,

что Ахиллес не догонит черепаху, то возможно, что и доказательство существования иррациональных чисел основано на таком же мыслительном фокусе. Будем искать квадратуру. Нашли уже ряд: гиппократовы луночки, сегмент параболы и др., постепенно доберемся до всего.

3.28. Рационалисты-платоники приняли всерьез рассуждения Зенона. Они верили в силу человеческого разума, они не были низологами (не доверяющими разуму) и сделали вывод о существовании двух принципиально разных величин, и, хотя при измерении величин мы всегда можем найти общую меру, они подчинились тому решению, что несоизмеримые величины действительно существуют.

Критический рационализм Зенона породил творческий рационализм Евдокса, Евклида, Архимеда и проч. Но в дальнейшем развитии чрезмерная осторожность древних эллинов была оставлена, и в математику внедрилась значительная доза эмпиризма: раз удается, значит годится. Эта практика получила одобрение в известном афоризме Д'Аламбера: "Идите вперед, и уверенность придет" (Вейль,1934). Но рационалистская сущность математики продолжала свое развитие, и кризисы в современной математике порождаются все время рационалистическим ревизионизмом.

\117\


Но в науках, посвященных реальному миру, эмпиризм прочно внедрился, я там на рационализм поглядывают с опаской.

Демокритовская линия в 19-м веке получила завершение в дарвинизме, в учении об естественном отборе, как ведущем факторе эволюции. Сам Дарвин не скрывал своей верности принципу индукции Ф.Бэкона. Он даже старался не делать преждевременных выводов, старался собирать побольше фактов. Он не был догматиком и ясно сознавал многие трудности своей гипотезы, но думал (подобно геометрам демокритовской линии), что когда-нибудь все образуется. За прошедшие шестьдесят лет выдвинуто огромное количество фактов и рационалистических соображений, не укладывающихся в прокрустово ложе дарвинизма. Дарвинисты возражают двояко: накопляют новые факты в пользу существования естественного отбора (путая этот вопрос с вопросом о его ведущей ролн) и аргументируют от "боженьки", совсем так, как математик А.Д.Александров. Мы должны верить в дарвинизм, так как иначе придется поверить в бога.

3.29. Мне думается, после вышеизложенного можно считать достаточно прочно установленным, что объективно-идеалистическая пифагорейско-платоновская линия была ведущей линией в развитии математики, и этого значения не потеряла и сейчас, хотя, конечно, математика в значительной степени освободилась от всякой философии; позитивизм разного сорта, играющий огромную роль в современной науке, прямо утверждает, что время для онтологии (метафизики - в старом понимании этого слова) миновало. Эвристическую ценность такого утверждения нельзя отрицать, но лишь в определенных условиях, в некритические периоды развития науки.

Но тогда выдвигается другое утверждение. Плодотворные линии в развитии науки только по недоразумению связаны с именами Платона и Пифагора. Возникли школы в науке, а потом часть своих открытий они приписали основателям школ, которые, как Пифагор, может быть, никогда не существовали. Разберем эти возражения и начнем с Пифагора.

Лурье (1947) справедливо указывает на родство пифагорейцев и орфических учений: этого сходства и генетической связи их, насколько мне известно, никто не отрицает. Только орфические учения, по Лурье, имели широкий круг адептов среди крестьянства, и главным божеством там был крестьянский бог Дионис, а пифагорейские ученики имели замкнутый, аристократический характер, и главным божеством этих союзов был аристократический бог Аполлон (оказывается, классовое расслоение было и на Олимпе).

\118\


118

Лурье присоединяется к мнению Бернета, что орфизм с его мистериями не мог быть для философов источником каких бы то ни было определенных научных теорий, и считает, что немногим лучше обстоит дело и с ранним пяфагоризмом. На той же странице: "Правда, нам сообщают, что основатели пифагорейской школы много сделали в математике. Но, не говоря уже о том, что сообщения об открытиях пифагорейцев в области математики вообще сильно преувеличены, действительно крупные открытия в математике, как показали Фохт и Франк, были сделаны поздними пифагорейцами и только приписаны главе школы, который вообще никаких крупных трудов после себя не оставил; возможно, что в области математики он удовольствовался ознакомлением греков с египетской наукой". Так как ученики Пифагора давали строгий обет молчания, то сведения, просочившиеся в литературу, очень отрывочны и не дают основания для того, чтобы утверждать о математических открытиях.

Но почему же Пифагор пользуется такой громкой славой до сего времени? Лурье дает ответ: "Чем же объяснить, что историки философии с упорством, достойным лучшей участи, пытаются восстановить сложное звание математической науки Пифагора? Один из талантливых историков античной философии, Вернет, невольно раскрывает нам эти побудительные мотивы. К концу V века математические вопросы привлекают к себе всеобщий интерес в Греции, их изучают не с прикладной целью, а ради их самих; тот новый интерес, очевидно, не мог быть создав в какой-либо школе; возникновение его могло быть только делом рук какого-либо великого человека, и Пифагор - единственный человек, которому мы можем приписать эту заслугу",

Нас эта аргументация никак не может убедить. Почему интерес к какому-либо учению не может возбудить в обществе целая научная школа, а только отдельный человек? Почему этим великим человеком не мог быть кто-то другой, например, Анаксагор, Демокрит (речь идет о конце V в.). Поэтому вся эта теория имеет для нас лишь тот интерес, что она с предельной ясностью раскрывает нам те, скрытые, обычно внутренние принципы, которые побудили приписывать Пифагору незаслуженно большую роль в истории математики. "Орфико-пифагорейцы не оказали влияния на положительную науку, поэтому они нас здесь интересует, прежде всего, как родоначальники и вдохновители идеалистически-мистической псевдонауки, впоследствии возглавлявшейся Платоном и его последователями. Эта псевдонаука

\119\

вела ожесточенную борьбу с материализмом, впоследствии - с атомистическим материализмом". Такова формулировка, разберем ее.



3.30. Лурье ссылается на Бернета и, соглашаясь с мнением английского историка, что орфизм не мог стать источником для определенных научных теорий, не соглашается с ним, что преемник и реформатор орфизма Пифагор мог стать таким источником. Лурье кажется неубедительным, почему возникновение действительно оригинального направления чистой, а не прикладной науки, характеризующей именно античную Элладу, не могло быть приписано целой школе, а не какой-либо личности, А мы знаем ли случай в истории, где повое, оригинальное идеологическое построение в религии, политике, науке, философии, искусстве сразу возникло в целом коллективе (вроде пресловутого Персимфанса), а не возникло сначала в одной голове?

Оставим в стороне пока такие древние учения как иудаизм, буддизм, христианство, магометанство, так как требующие "документальных подтверждений" гелертеры сомневаются в существовании Моисея, Будды, Магомета. Но возьмем такие учения, как лютеранство, кальвинизм, кантианство, гегельянство, дарвинизм, марксизм, ленинизм и т.д. Все крупное и действительно оригинальное связывается обязательно с одной личностью, которая оказывается создателем более или менее обширной школы. "Онус пробанди", обязательно доказать возможность возникновения крупного оригинального направления сразу в виде коллектива, лежит, по моему, на Лурье.

Пифагоризм, в смысле выдвижения самостоятельной теоретической науки и в смысле ее математизации, является единственным явлением в истории культуры вообще. Он возник один раз в истории, так как все последующее развитие чистой науки преемственно связано с эллинским источником. Тут, конечно, Вернет прав: такую школу мог создать только действительно великий гений, и, если бы о Пифагоре нам не было никаких исторических свидетельств, его надо было бы просто постулировать.

Совсем уж никуда не годится уступка Лурье: уж если должен быть великий человек, так почему не Анаксагор или Демокрит, так как речь идет о конце V в. Вот уж тут приходится просто рот разинуть от удивления, как мог такую вещь сказать образованный Лурье? Ведь он сам же говорит несколькими строками позже, что пифагорейская псевдонаука вела ожесточенную борьбу с материализмом, впоследствии с атомистическим материализмом. Так как же мог лидер материализма основать школу, которая систематически боролась с

\120\

120


материализмом? А в сфере математики: как мог ученый, принципиально отрицавший иррациональные числа и несоизмеримые величины, возглавить школу, одной из важнейших заслуг которой было именно введение в математику иррациональных чисел? А что касается хронологии, так ведь в конце пятого века пифагорейская школа уже развилась, поэтому даже чисто хронологически ни Демокрит (предположителен год рождения 480 до н.э.), ни Анаксагор (родившийся в 500 г. до н.э.) не годились. Годы же жизни Пифагора (предположительно 571-497 до н.э.), как родоначальника нового направления в науке, удовлетворительно подходят.

3.31. Несомненно, и это, кажется, никто не оспаривает, что иногда достижения пифагорейской школы были приписаны его учениками, даже после его смерти, своему учителю. Умаляет ли это роль Пифагора или увеличивает? По-моему, увеличивает. Какие бывают отношения между учителями в учениками, хотя бы на практике последних веков: 1) наихудшие: учитель использует достижения своих учеников и приписывает их себе; естественно, при таких отношениях ученики относятся к учителю не особенно почтительно, в особенности после его смерти; 2) учитель и ученики строго корректны; и достижения обеих сторон публикуются с указанием истинного автора; 3) учитель вкладывает много мыслей и труда в работу учеников, но, желая помочь ученику, отступает в момент публикации на задний план, и работа, которая в сущности была коллективной, выходит как индивидуальная работа автора. И в нашей русской действительности мы знаем ряд такого благородного отношения учителя к своим ученикам. Взять хотя бы И.П.Павлова: иные годы он не печатал ни одной работы за своим именем, ао в эти же годы выходил ряд диссертаций, выполненных в его лаборатории. Имя И.П.Павлова фигурировало только в списке лиц, которым автор выражал свою благодарность, по все понимали, что немало мыслей Павлова вошло в ту работу. Можно назвать и ряд других имен, в том числе и из ныне живущих.

Есть и другая сторона - степень догматичности учителя. Одни ученые требуют, чтобы ученики работали только в указанном им направлении: в случае расхождения дело может доходить до разрыва. Другие, напротив, допускают широкую свободу, и их ученики отличаются необыкновенным разнообразием и сфер деятельности, и даже мировоззрений. К таким относился например, выдающийся немецкий бяолог Иоганнес Мюллер. Догматизм особенно свойственен, конечно, официальным религиям, но также и антирелигиозным

\121\


учениям: учение модифицируется, канонизируется, но никакого дальнейшего развития или ревизия не допускается.

Бели мы досмотрим теперь на пифагорейско-платоновскую линию, то тут мы найдем нечто совершенно исключительное. "Линия" не догматизируется, но, напротив, развивается. Ученики сохраняют глубочайшее уважение к учителю и после его смерти. Это уважение сохраняется столетиями и доходит до высшей степени, когда ученики лучшие свои достижения приписывают учителю. В этом отличие пифагорейского направления, как и платоновского, от иных форм религии, так как, несомненно, что эта линия никогда связи с религией не порывала, но с религией свободной, а не догматической. Поэтому вполне возможно, и даже вероятно, что Пифагору принадлежит только часть того, что ему приписывают, но все то, что приписывают Пифагору, проникнуто пифагорейским духом, и потому эти утверждения не "ложь", но только "неполная истина".

Под "внутренними причинами", которые заставляют приписывать Пифагору незаслуженно большую роль, Лурье, очевидно, подразумевает всякие классовые и прочие вненаучные влияния. Я не склонен находить у Лурье подобные причины его странных противоречий, полагаю, здесь, как это свойственно многим старым русским (и не только русским) интеллигентам, играет роль фанатическая антирелигиозность.

3.32. Теперь разберем аналогичный вопрос о личной роли Платона. Лурье пишет: "Таким образом, хотя Платон и был хорошо знаком с наукой своего времени, главным образом, с математикой пифагорейцев, он никак не может считаться самостоятельным деятелем в области этих наук. Несомненно, Платон знакомился с ними прежде всего с целью опровергнуть ненавистную ему материалистическую философию

Демокрита".

Лурье решительно оспаривает, что вдохновителем идеалистического направления в эллинской философия является учитель Платона, Сократ. Он считает, что Платон получил от Сократа только интерес к вопросам нравственности и рациональному обоснованию морали, а также использовал форму устной пропаганды Сократа в своих диалогах. Но во всем остальном между Платоном и Сократом чрезвычайно мало общего: Платон - один из замечательных художников слова с таким даром фантазии, который редко можно встретить у какого-либо другого философа. У Сократа и эстетическое чувство, и фантазия были, по-видимому, атрофированы. И эстетически обоснованная стройная богословская система Платона и его учеников о переселении душ не только совершенно чужда Сократу, но и несовместима с его учением.

\122\

122


Не имея необходимых познаний в области точных наук, но обладая зато неудержимой фантазией, Платон сделал смелую попытку подвести под эту науку идеалистическую базу: при этом ко всей кропотливой работе натурфилософов он относился высокомерно-презрительно; Сократ относился с большим уважением к работе естествоиспытателей, но сам не хотел вмешиваться в их дело, считая его не имеющим значения для нравственного усовершенствования. Лурье связывает различное отношение к точным наукам с общей реакцией в IV в., когда требовалось спешно и неумелыми руками переводить всю науку на идеалистические рельсы. В этом отношении предшественниками и учителями Платова были элейцы и "так называемые" пифагорейцы, а ыикак не Сократ. Почти вся философия точных наук у Платона заимствована отсюда. "Этот факт важен потону, что до последнего времени существовала сильная тенденция видеть в Платове крупного деятеля в области точных наук, особенно математики. При более тщательном изучении вопроса оказалось, что собственные нововведения Платона были чисто метафизического и даже мистического свойства".

Таким образом» Лурье усиливает роль Платона в обосновании идеалистической философии и старается умалить его роль в развитии наук. Заметим тут же, что на двух страницах мы наблюдаем явное противоречие. То говорится, что Платон не имел необходимых познаний в области точных наук, а то - что он был хорошо знаком с наукой своего времени, главным образом, с математикой пифагорейцев.

3.33. Хорошо известно, что ученые потратили немало труда, чтобы отделить учение Сократа от учения Платона, так как кроме немногих сочинений, где Сократ вовсе отсутстсвует, все учение свое Платон излагает от имени Сократа. Но и Сократ в диалогах Платона нередко говорит не от своего вмени. Заключительное свое мнение в "Пире" Сократ высказывает от имени Диотимы, в другом месте - от имени Аснасии. Поэтому странной кажется попытка Лурье выставить как аятогонистов Сократа и Платона в отношении работы естествоиспытателей. Сократ - с уважением, Платон - презрительно. Но о мнении Сократа мы знаем от того же Платона по одному месту в великолепной "Апологии Сократа", которая, конечно, далека от того, чтобы походить на стенографическую запись речи Сократа. Предсмертная беседа Сократа в "Фялоне", где он развивает свое учение о бессмертии души, по Лурье - собственное творчество Платона; но этот же Платон, написавший в "Апологии" защитную речь Сократа, влагает в уста своего учителя мнение о работе естествоиспытателей, противоречащее его собственным взглядам. Трудно этому поверить.

\123\


Бели бы следовало считать принадлежащим Платону только то, на что он сам заявил претензию, что он изложил от своего собственного имени, то пришлось бы прийти к заключению, что ии в какой области Платон решительно ничего не сделал, так как решительно все свое учение он излагает от чужого имени, прежде всего - Сократа. И даже там, где Сократ не упоминается, на сцену выступает анонимное лицо (например, афинянин в "Законах"), но не сам Платон. Это его стиль

работы.


Отношение к наукам ясно из того, что основы преподавания Платон сводил к математике, астрономии, музыке и диалектике. Правда, не было физики и биологии, но ведь ни та, ви другая во времена Платона как науки еще ве сложились.

Само собой разумеется, что Платон не был в первую очередь математиком, он, конечно, в первую очередь был философом, несомненно, с богословским уклоном. Но, как было показано выше, идеалистический характер его философии благотворно влиял на развитие прежде всего математики, и из Платоновской Академии вышел ряд выдающихся математиков, в первую очередь такие фигуры, как Менехм, Бвдокс и Теэтет, о чем было сказано уже достаточно. Что касается разработки других наук, то для этого требовались прежде всего значительные средства. Поэтому их могли разрабатывать сильнее очень богатый Демокрит, учитель Александра Македонского Аристотель, которому его ученик присылал разнообразных животных, и а особенности - богато поддерживаемый государством Александрийский Музей.

Несомненно в Платоновской Академии шла энергичная коллективная математическая работа, в которой и сам Платон принимал видное участие, как образованный математик. Но он, как и те ученые высшего ранга, о которых я говорил выше, не заботился о закреплении приоритета, а охотно предоставлял славу открытий тем своим ученикам, с которыми он совместно разрабатывал те или иные проблемы. Он упомянул (и то, как всегда, не от своего имени) в "Тимее" учение о пяти правильных многогранниках, и поэтому совершенно правильно поступают математики, что, не вдаваясь в мелочный спор о приоритете, за которым Платон никогда не гонялся, и сейчас называют эти тела "Платоновыми телами".

3.34. А то, что Платон принимал близкое участие в математических работах своей Академии, явствует из слов самого Лурье, который, обвиняя Платона, использует свидетельство Плутарха о том, что он препятствовал своим ученикам использовать механические приемы в математике. Друг Платоне, правитель Тарента, Архит и ученики его (и

\124\

124

друзья) Бвдокс и Менехм использовали инструменты, месографы, для вычерчивания конических сечений и для решения таким образом задачи удвоения куба. Плутарх указывает, что основателями механики были Бвдокс и Архит, которые дали геометрии более простое и интересное содержание, игнорируя ради непосредственно осязаемых и технически важных применений этой науки ее отвлеченные и недоступные графическому изображению проблемы. Платон порицал их за это: "При таких решениях пропадает и гибнет благо геометрии, возвращающейся назад к чувственным вещам. При этом она не поднимает нас ввысь, не приводит нас в общение с вечными и бестелесными идеями, пребывая с которыми бог всегда есть бог". Тут же Лурье прибавляет, что, несмотря на запрещение Платона, с этим запретом не считались его ближайшие друзья и ученики. Вряд ли бы это случилось, если бы запрет был такой категорический. Тот же Платон сообщает, что и великий Архимед смотрел на работу инженера и на все, что служит удовлетворению потребностей жизни, как на неблагодарное и простонародное дело (Бернал,19бв). И, однако, мы знаем, что никто не дал в античном мире больше практических предложений от науки, чем именно Архимед.

Такое категорическое пренебрежение к механическим приемам в математике и в практике засвидетельствовано, главным образом (если не единственно), Плутархом, кстати сказать, приверженцем Платона и вполне одобряющим такую установку. Но можем ли мы безусловно доверять Плутарху? Солидный червь сомнения, чтобы не сказать больше, у нас зарождается при чтении книги Лурье "Архимед" (1946). Лурье приводит большую восторженную выдержку из Плутарха, где тот между прочим пишет, что задачи Архимеда изложены в настолько простой и наглядной форме, что читатель приходит к убеждению, что мог бы решить их сам; так ровна и коротка дорога, которую он ведет к доказательствам. Лурье совершеано справедливо указывает, что эти слова свидетельствуют, что сам Плутарх не читал и не мог понимать математических проблем Архимеда. Ведь эти работы сохранились, они отличаются исключительной строгостью, но отнюдь не простотой, краткостью и наглядностью. На это обратили внимание даже такие выдающиеся математики, как учитель Ньютона Барроу и Лейбниц.

Лурье добавляет, что Плутарх часто говорят не о том, каким был Архимед, а о том, каким должен быть идеальный ученый. Думаю, потому, что позиция Платона была приблизительно такова: он не запрещал пользоваться механическими приемами, но указывал, что не следует им придавать слишком большое значение. Это леса науки, а не сама наука. Так именно и поступал Архимед. Уже раньше было указано,

\125\

что письмо Эратосфену свидетельствует, что Архимед не скрывал и не стыдился механических методов как эвристических, и в этом смысле придавал им надлежащее значение: "Я мог бы сохранить в секрете этот золотой ключ, но не хочу этого делать, так как убежден, что оказываю этим немаловажную услугу математике; я полагаю, что многие из математиков нашего или будущего времени, ознакомившись с этим методом, будут в состоянии находить все новые и новые теоремы". Архимед также ограничил число инструментов, применяемых в математике: геометр может ссылаться только на манипуляции, выполняемые при помощи циркуля и линейки.



3.36. Был ли запрет Платона вредным или искусственным? Как будто нет. Возьмите любой учебник аналитической геометрии или другие математические учебники, вы там не найдете описания приборов для черчения кривых. Все время речь идет, согласно завету Архимеда, только о циркуле и линейке, и при том - линейке без отметок. Хорошо известно, что Гаусс доказал невозможность разделить любой угол на три равные части (трисекция угла), и часто думают, что, значит, эта задача вообще невозможна. На самом деле, невозможна она в тех случаях, где можно пользоваться только циркулем и линейкой без отметок. Достаточно нанести на линейку две отметки, и задача трисекции угла становится осуществимой. Мало того, в проективной геометрии предлагается методика - как построить по нескольким точкам коническое сечение, пользуясь только одной линейкой и совершенно не пользуясь циркуле». Конечно, среди математиков есть ученые, которые не брезгают наглядностью и графическим методом вообще; другие, напротив, совершенно избегают чертежей. К таким относился, например, знаменитый Вейерштрасс. Что это - каприз, аристократизм, желание быть непонятным широкой массе? Конечно, нет, просто Вейерштрасс учел ошибку, которая произошла вследствие чрезмерного доверия к наглядности. До Вейерштрасса математики были убеждены, что всякая непрерывная функция имеет производную. Это убеждение основывалось на том положении, считавшемся безусловно справедливым, что всякая непрерывная функция может быть изображена в виде кривой, которая в каждой точке имеет касательную. Вейерштрасс обнаружил такие функции (которые теперь называются вейерштрассовскими), которые, будучи непрерывными, производных не имеют. Графически их изобразить невозможно.

Но мало того, попытки ввести механику в самое обоснование математических понятий делались позже. Такую попытку сделал великий Декарт, Декарт, конечно, не был материалистом. Его

\126\

128


философия явно дуалистическая, но эвристически он придавал большое значение механизму, так как и с точки зрения мировоззрения чрезвычайно расширил область машинообразного. Как известно, он считал машинами всех животных, делал исключение для одного человека ввиду наличия у него мышления. Декарт (Рыбников,I960) делит все кривые на два класса: 1) то, что сейчас называют алгебраическими кривыми (по Декарту - допустимые), которые могут быть построены ери помощи плоских шарнирных механизмов, в которых каждое движение первых звеньев полностью определяет движение остальных; 2) то, что сейчас называют трансцендентными (по Декарту - недопустимые), и свойства которых могут быть открыты лишь случайно, благодаря специфическим приемам, не носящим систематического характера. В основу классификации кривых он клал число звеньев шарнирного механизма и разделял кривые по родам (жанрам). Полезен был такой подход Декарта или вреден? Рыбников указывает, что эта классификация не удержалась, и вообще был устранен тот недостаток, что "область этой науки (аналитическая геометрия) была еще чрезмерно сужена априорными требованиями, проистекающими -скорее из философских источников, чем из потребностей метода, ограничена только алгебраическими кривыми. Неудачной оказалась классификация алгебраических кривых по жанрам (родам), е не по степеням уравнений, их выражающих". Отказ от механического подхода расширил область аналитической геометрии и вообще математики, и эта классификация Декарта сейчас имеет только историческое значение. Шарнирные механизмы изучаются в своем месте, где они приносят, конечно, большую пользу. Платон пророчески предвидел, что злоупотребление механикой в геометрии пользу принесет небольшую, а вред может причинить немалый. Этим недостатком не страдала аналитическая геометрия, и современник Декарта, тоже выдающийся математик, Ферма, последовательнее Декарта внедрял координатный ..метод. Будущая геометрия использовала работы обоих великих французов.

3.36. Так же можно ответить на вопрос, как относился Платон к практике. В дальнейшем нам придется вернуться к этому, когда речь зайдет о вкладе в технику, сейчас ограничимся немногим. Платон не гнушался приложением науки, но он понял историческую миссию Эллады - создание чистой, теоретической науки, и к себе приглашал только таких учеников, которые стремились строить здание чистой науки и философии. Этому завету следовали и его последователи. Бляшке (1957) приводит следующую легенду об Евклиде: "Некий юноша

\127\

спросил Евклида, какую пользу приносит геометрия. Тогда Евклид велел рабу сунуть монету в руки юноше, желающему извлечь из геометрии практическую выгоду. Эта легенда говорит о существовавшей будто бы у греческих геометров антипатии к прикладным наукам; а это, однако, не помешало Евклиду написать сочинение по оптике. Сократ, кажется, даже защищал мнение о том, что в математике надо оказывать предпочтение всему тому, что имеет практическое приложение". Позицию Евклида понимают все настоящие ученые: они стремятся привлечь таких учеников, которых влечет к науке тяга к чистому знанию, сопряженная с готовностью перенести лишения и страдания. Студентов же, которые на первом курсе спрашивают: а сколько мы будем получать жалования?, справедливо оценивают невысоко, И вовсе не нужно быть идеалистом, чтобы так думать. Марксист Бернал с сочувствием цитирует слова Дж.Дж.Томсона: "Исследования в прикладной науке приводят к реформам, исследования в чистой науке приводят к революции".



Поборником идеи превосходства теоретической науки перед прикладной был К.А.Тимирязев. В начале подлинного шедевра его творчества, лекции "Луи Пастер", мы читаем следующие слова: "Теория и практика, чистая наука и прикладная наука. Как часто, чуть ли не на каждом шагу, приходится слышать это сопоставление, причем, если указывающий на него полагает, что его устами гласит житейская или государственная мудрость, то почти непременно высказывается за превосходство практического знания перед теоретическим, за преимущество прикладной науки перед чистой. А если это будет моралист, то он еще почтет своим долгом сделать внушение теоретику, эгоистически изучающему предметы, не имеющему прямого, непосредственного отношения к общему благу.,. Если когда-нибудь слова: "благодарное человечество своему благодетелю" и не звучали риторической фразой, то это, конечно, на могиле Луи Пастера. А между тем, вся деятельность этого человека, словом и делом, была одним сплошным неподтверждением этого ходячего мнения о преимуществе практического знания перед теоретическим". Прочтите великолепные страницы лекции и вы увидите в них иллюстрацию основной мысли этой замечательной биографии: "Не существует ни одной категории наук, которой можно было бы дать название прикладных наук. Существуют науки и применения наук, связанные между собой, как плод и породившее дерево". В конце биографии Пастера Тимирязев пишет: "Практической, в высшем смысле слова, оказалась не вековая практика медицины, а теория химии. Сорок лет теории дали

\128\


128

человечеству то, чего не могли ему дать сорок веков практики" (подчеркнуто курсивом у Тимирязева).

Эту статью Тимирязева сейчас неохотно цитируют его лицемерные почитателя. Выл взят курс на практицизм, но гонение на чистую науку привело в 1948 году к торжеству не прикладной, а грязной науки.

Но, может быть, Платон не допускал никаких практических применений науки? И это неверно. В М4 популярного журнала "Знание-сила" за 1961 год помещена анонимная заметка "Будильник" под аншлагом: "Когда это сделано впервые". Оказывается, перед зданием Академии Платона в Афинах была установлена статуя о флейтой, и каждое утро, благодаря использованию принципа водяных часов, в одно и то же время из флейты лились сильные звуки, призывавшие учеников Платона на занятия. "В Академии Платона начались занятия, -говорили прохожие, заслышав эти звуки". Вряд ли этот будильник был бы установлен, если бы Платон преследовал или даже не сочувствовал занятиям прикладной механикой.

3.37. Теперь о связи с религией. Связь пифагорейцев и платонизма с религией совершенно бесспорна, и это является основной причиной той ненависти, которую питают к платонизму фанатические антирелигиозники. Опять и этот вопрос во всей полноте нам придется разобрать значительно позже, пока коснусь главным образом того страшного слове "мистический", которое действует на наших безбожников как в свое время слово "жупел" на замоскворецких купчих.

И налет мистического сопутствует математике очень долгое время; пожалуй, он не исчез и сейчас. С.А.Богомолов s очень интересной книге "Эволюция геометрической мысли" (1928) обронил такую фразу: "Прежде всего заметим, что все мистическое в вопросе о четырехмерном пространстве и, надо сознаться, самое интересное в нем - уже выходит за пределы математики". Эта фраза в свое время вызывала негодование одного из наших блюстителей идеологического порядка. И я благодарен означенному блюстителю, так как его заметка побудила меня проштудировать эту популярную и очень интересную книгу. Богомолов говорит, что Паскаль свой шестиугольник (фигурирующий в его известной теореме) называет "мистическим шестиугольником". Клейн (1935) указывает, что мнимые числа долго сохраняли несколько мистический характер. Это пугало материалистов и восхищало идеалистов, например, Лейбница (1702): "Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание (амфибиум) бытия с небытием".

\129\

Известно, что Яков Бернулли, найдя, что эволютой логарифмической спирали оказывается тоже логарифмическая спираль, усмотрел в этом символ воскресения из мертвых я завещал изобразить логарифмическую спираль на своей могиле (подобно тому, как Архимед завещал поставить на своей могиле изображение шара, вписанного в цилиндр). Вполне понятно, что можно поверить известной легенде, что Пифагор, будучи в восторге от открытия своей теоремы, принес в жертву богам сто быков (гекатомбу).



Интуиционизм, конечно, всегда подвергался нападкам, как "мистическое" направление, и не без основания. Вейль указывает, что об аналитическом методе Галилей высказывает распространенное в то время убеждение, усматривающее в постепенном, идущем шаг за шагом доказательстве отличие человеческого незнания от божественного. "Тогда как Он познает посредством одного лишь узрения, мы переходим от одного умозаключения к другому путем постепенных рассуждений... Напротив, божественный разум в одном лишь узрении сущности окружности познает мгновенно и безо всяких рассуждений все бесконечное множество его свойств (однако интенсивно, с точки зрения объективной достоверности каждой приобретенной истины, человеческий разум не уступает божественному)". Вот подлинно прометеев дух: не отрицание божественного и мистического в природе, а решимость достичь божественного совершенства в мышлении. Вспомним и нашего Ломоносова: "Неже (даже) перед самим Господом Богом в холуях ходить не намерен".

Вспомним а обращение гениального Г.Кантора к господу богу (Александров, 1961) и закончим тем, что сам К.Маркс совсем не относился с суеверным страхом к "мистическому". Как известно, К.Маркс назвал таинственным, "мистическим" тот тип развития анализа бесконечно малых, когда он "существует, а затем разъясняется" (Рыбников).

Страшно подумать, что случилось бы с наукой и всей нашей цивилизацией, если бы над ней тяготела власть современных блюстителей идеологического порядка.

3.38. Что касается связи с политикой, то здесь коснемся лишь одного пункта, одной весьма оригинальной "догадки" С.Я.Лурье. Большинство исследователей Платона считает, что Платон ценил математику и, в частности, геометрию ради ее самой, и что не было связи между его стремлением к геометрии и его политическими взглядами, которые многие считали реакционными, антидемократическими. В своей статье "Платон и Аристотель о точных науках" (1936) Лурье считает, что Платон потому предпочитал геометрию арифметике, что он рассматривал геометрическую

\130\

130


пропорцию, соответствующей аристократическому "равенству по достоинству", тогда как арифметическая пропорция соответствует "равенству по числу", что защищали демократы. При этом ссылается на Плутарха, согласно которому Ликург изгнал нз Лакедемона арифметическую пропорцию, как демократическую и свойственную черни, ввел же геометрическую, как подобающую мудрой олигархии и законной царской власти. Лурье приводит и слова самого Платона: "Геометрическое равенство имеет большую силу и среди богов, и среди людей, а ты проповедуешь, чтобы люди захватывали то, что им ве принадлежит. Ты пренебрегаешь геометрией", комментируя: "Итак, знаменитое выражение Платона: "Ты пренебрегаешь геометрией", на которое часто ссылаются, вовсе не приглашает всех мыслящих людей заниматься геометрией, а означает скорее всего: ты чужд "геометрической", т.е. умеренно-аристократической точки зрения на государственное устройство". И далее: "Другими словами: выражение "бог всегда геометризирует" означает только: бог - враг Демократического поравненияГ Наконец, и знаменитую надпись на входе в Академию "Пусть никто, чуждый геометрии, не войдет под мою крышу" Лурье толкует так: "Пусть ни один противник геометрического равенства, т.е. ни один демократ, не войдет в мой дом!"

Очевидно, С.Я.Лурье догадался о том, о чем до него никто не догадывался. Ведь изречение "пусть никто чуждый геометрии не войдет под мою крышу" избрано Коперником в качестве эпиграфа его бессмертного труда. Кеплер брал пять платоновских тел для построения своей "мистической космологии". Все это была противники демократии?

Предпочитая геометрию, Платон не гнушался и арифметики, и в его сочинениях много рассуждений о числах, как и подобает философу, близкому Пифагору. Вполне возможно, что Платон проводил аналогии между математикой и своими политическими взглядами, но вряд ли он мог думать, что рассуждением о геометрической пропорции он достигал математического доказательства превосходства аристократической формы правления. В своих политических произведениях он этой аргументацией не пользуется.

И здесь С.Я.Лурье пал жертвой своей фанатической преданности Демокриту.

3.39. Постараюсь резюмировать результат этой главы. Можно выставить следующие тезисы: 1) линия Пифагора-Платона в есть генеральная линия развития математики не только в античные времена, во и за всю историю науки вплоть до настоящего времени (Кантор, Гильберт и др.); 2) своим значением эта "линия" обязана тому, что в ней

\131\


в наибольшей полноте выразился дух эллинской культуры; 3) эллинская математика совершенно оригинальна по следующим признакам: а) свободное теоретическое творчество, б) синтетический характер, в) отсутствие догматизма, г) рационализм; 4) придание высокого значения теории не означало пренебрежения опытом, а лишь придание опыту вспомогательного значения; Б) синтетический характер связан с холистическим (от целого) пониманием античной математики в отличие от меристнческого (от частей). Отличие античной математики от аналитической см., например, книгу Извольского (1941); в) отсутствие догматизма имело следствием длинное развитие эллинской математики, сочетавшей исключительное почтение к родоначальнику чистой математики Пифагору, с полным отсутствием культа личности, мешающего развитию науки; 7) рационализм афинской и александрийской школ является правильной реакцией на чисто скептический рационализм элейской школы; 8) что касается линии Демокрита, то в математической области она почти исчерпывается одним Демокритом. Это - тупик, а не генеральная линяя математики, так как здесь мы имеем догматяаацию некоторых положений, чрезмерное уважение к практическому опыту, что выразилось в отрицании иррациональных чисел, игнорировании критической работы элейской школы; 9) Платон поэтому, несмотря на неясность его личных математических достижений, может с полным правом считаться центром эллинской математики, вершиной ее является, конечно, Архимед; 10) о каких-либо серьезных заимствованиях платониками достижений Демокрита в математической области не может быть и речи, так как основные достижения эллинской математики (аксиоматика Евклида, иррациональные числа, метод исчерпывания и проч.) глубоко чужды догматической математике Демокрита; 11) религиозный дух пифагорейско-платоновской линии не мешал, а благоприятствовал развитию математики, так как благоприятствовал холистическому мировоззрению, побуждая искать гармоничность и закономерность мира, внушал веру в силу разума, способного постичь тайны мироздания. Понятие "мистический", что заставляло многих материалистически настроенных ученых отвергать или опасаться таких понятий как отрицательные, иррациональные, мнимые числа, нисколько не пугало идеалистов; 12) попытка связать интерес к геометрии Платона с его политическими взглядами не выдерживает ни малейшей критики; 13) блестящее развитие математики могло осуществиться только на линии Платона, но никак не на линии Демокрита.


Каталог: resurs -> conspcts -> all2014
all2014 -> Лэндри Креативный город
conspcts -> Конспект до этой черты ессе homo. Как становятся сами собой. Пер. Юм. Антоновского 333 Предисловие 334 Почему я так мудр 339
conspcts -> Конспект книги дьюи Дж. Психология и педагогика мышления (How we think) М.: "Лабиринт", 1999. 192с. Продолжение оглавления
conspcts -> Конспект до этой черты Часть вторая. Соображения о природе логического глава шестая. Анализ полного акта мышления
all2014 -> Кривоносов Философия языка p


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   28


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница