Лекция №4 Метрические пространства Теорема Бэра. В функциональном анализе важную роль играет следующая



Скачать 143.15 Kb.
страница1/6
Дата11.08.2018
Размер143.15 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3   4   5   6


Лекция № 4
Метрические пространства
Теорема Бэра. В функциональном анализе важную роль играет следующая

Теорема 1 (Бэр). Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное. Пусть , где каждое из множеств нигде не плотно в . Пусть – некоторый замкнутый шар радиуса 1. Поскольку множество , будучи нигде не плотным, нигде не плотно в . Поэтому существует замкнутый шар радиуса меньше , такой, что и . Поскольку множество не плотно в , то по той же причине в шаре содержится замкнутый шар радиуса меньше , для которого и т.д. Мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров , радиусы которых стремятся к нулю, причем . В силу теоремы 4 (лекция 3) пересечение содержит некоторую точку . Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств , следовательно, , т.е. в противоречие предположению. Теорема доказана.

В частности, всякое полное метрическое пространство без изолированных точек несчетно. Действительно, в таком пространстве каждая точка нигде не плотна.




Каталог: doc -> Kurslekcii
doc -> Практикум по этнологии: учебно-практическое пособие. Часть 2 / Составители Т. А. Титова, В. Е. Козлов; науч ред. Е. В. Фролова, М. В. Вятчина. Казань, 2014. 52с
doc -> Международная организация труда
doc -> Планы семинарских занятий по философии для студентов всех специальностей Уфа 2013
doc -> Контрольная работа и методические рекомендации к ней для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Основы философии»
Kurslekcii -> Лекция №8 Линейные пространства


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница