Лекции для системы повышения квалификации работников образования «Математические методы в квалиметрии образования»



Скачать 466.55 Kb.
страница1/4
Дата01.07.2018
Размер466.55 Kb.
ТипЛекции
  1   2   3   4

Приложение 2.

2. Раздаточные научно-информационные и рекомендательно-методические материалы по проблематике


Фрагмент лекции

для системы повышения квалификации работников образования

«Математические методы в квалиметрии образования»
В квалитологии образования вопросы оценки качества знаний обучающихся на современном этапе развития образовательных систем приобретают все большее значение. Критерий обученности, на основании обзора множества работ, можно определить как показатель продуктивности решения определенных задач некоторым субъектом при тех или иных временных ограничениях. Решение задачи – это информационный процесс, связанный с достижением некоторой цели и снятием неопределенности. При этом цели могут быть самыми разными, начиная от решения задачи по определенному алгоритму, заканчивая эвристическим (нестандартным, оригинальным) способом решения ранее неизвестной проблемы. Кроме того, следует иметь в виду, что функционально полным набором задач обучения, является накопление и хранение информации, а также ее восприятие, распознавание, предсказание и принятие решения. Под качеством образования будем понимать совокупность знаний, умений и навыков обучавшегося, определяющих его соответствие требованиям, предъявляемым к специалистам данного профиля деятельности. Количественные характеристики этих свойств (знаний, умений, навыков) будем называть показателями качества обучения. Качество обучения, естественно, зависит от качества учебного процесса и качества собственно обучения.

В качестве учебного процесса будем выделять качество технологии учебного процесса (организация и планирование учебного процесса, проведение учебных занятий) и качество контроля результатов обучения. В качестве собственно обучения будем выделять качество восприятия и усвоения общих и специальных знаний и выработки соответствующих навыков.

Учебно-тематические планы и программы школы по каждому изучаемому предмету содержат перечень подлежащих изучению в каждой четверти дисциплин и отводимое на их изучение время. Пусть за время обучения должно изучаться r (j=1,2,…,r) дисциплин. По каждой дисциплине учебный план устанавливает необходимое время для изучения и деление его по разным видам занятий (урок -изучение нового материала, практические занятия, самостоятельная работа, контрольные мероприятия по проверке знаний и умений). Таким образом, можно считать, что известно - суммарное время на изучение j-ой дисциплины и объем соответствующей информации

Рассмотрим вопрос определения показателей качества обучения. Меры количества информации могут быть абсолютными и относительными. Абсолютное количество информации определяется только числом различимых информационных элементов. Обозначим через абсолютное количество информации по данной дисциплине, а через среднее количество информации, воспринятой обучаемыми. Тогда величина



, (1)

характеризует уменьшение информационной энтропии (неопределенности) и меру полученной информации (знаний) по данной учебной дисциплине.

Любая форма обучения предполагает, чтобы процесс изучения дисциплины происходил за время, не превышающее величину . Отсюда:

(2)

R и - соответствующие скорости восприятия и переработки информации.

Восприятие и переработка информации составляют значительную часть деятельности человека вообще и особенно в процессе обучения. К процессам восприятия и переработки относятся восприятие, преобразование, усвоение (запоминание), выработка каких-либо суждений и все подобные операции над ощущениями, даваемыми органами чувств, и мысленными представлениями в процессе их классификации, организации и принятия на их основе каких-либо заключений или решений. Психофизиологические особенности человека определяют естественные пределы скорости восприятия и переработки информации, которую обозначим через Очевидно, что естественным условием реальности процесса обучения является условие:



(3)

В процессе длительного обучения скорость переработки информации может возрастать, хотя скорость этого возрастания уменьшается по мере увеличения опыта. В задачах обучения (восприятия и переработки информации), как это следует из обширных экспериментальных исследований, возможно рассматривать человека как информационный канал с ограниченной пропускной способностью (скоростью восприятия и переработки информации). Спецификой задачи обучения является условие получения на выходе канала максимально возможного количества входной информации при жестком соблюдении некоторых правил и условий, характеризующих особенности человеческого мышления и связанных с ними потерь.

Рассмотрим детальнее процесс прохождения по каналу поступающей на вход информации.

Всякую информацию можно рассматривать с двух позиций: как следствие процессов в рассматриваемой системе (когда информация лишь пассивно отражает свойства систем или процессов) и как активную причину изменения свойств, структуры и состава (качественного и количественного) систем. В выражении (1) различимость элементов информации рассматривается только в отношении их числа, а между собой они никак не различаются. Если отдельные элементы информации обладают некоторым признаком, то можно ставить вопрос об определении количества информации, соответствующей этому признаку. Представляется, что если воспользоваться информационным анализом и исходить из места, занимаемого обучаемым в образовательном процессе, круга задач, которые он должен решать, и тезаурусов, которыми он должен обладать, то можно получить ряд важных соотношений, которые позволят подойти к количественной оценке качества образования.

Пропускная способность сознания человека в процессе обучения зависит от характера воспринимаемой информации и условий ее восприятия. Пропускная способность одного зрительного анализатора оценивается в зависимости от условий в = 50-70 бит/сек. Пропускная способность сознания при чтении ординарного текста оценивается величиной в =30-40 бит/сек, а при сложении двух однозначных чисел – в 12 бит/сек.

Всякая учебная информация может быть представлена в виде информации, состоящей из двух частей: 1) имеет функциональное ординарное значение. Эта часть может быть представлена либо с помощью некоторого специального текстового языка (будем называть ее стереотипной и обозначать -); 2) имеет функциональное специальное значение. Эта часть представляется либо с помощью специального абстрактного языка (специальных терминов, символов, формул, уравнений и т.п.) и в этом случае будем называть ее логически сложной и обозначать -. Если в предъявленной информации стереотипную часть обозначить через , то логически сложная будет составлять 1- часть.

Для представления учебной информации введем показатели стереотипности () и логической сложности () информации. Помимо этого определим показатель эмоциональности информации (). Количества как стереотипной, так и логически сложной информации, никак не связаны с количеством эмоциональной информации. С помощью показателя эмоциональности будем характеризовать степень эмоционального воздействия учебной информации на обучаемого. Это воздействие может вызывать определенные состояния, оно может вызвать чувство изумления, увлеченности, взволнованности или угнетенности, что влияет на эффективность учебного процесса и на процессы восприятия и переработки информации.

Для каждой учебной дисциплины существует своя скорость восприятия и переработки информации, обусловленная спецификой данной области знаний, которая не может превосходить величину . Поэтому принимая за предельную норму, введем понятие показателя стереотипности информации , определив его как отношение скорости восприятия предъявляемой специальной ординарной (стереотипной) информации к предельной скорости восприятия человеком информации в заданных условиях . Очевидно, что пределы изменения коэффициента стереотипности . Реальные значения показателя s определяются уровнем подготовки преподавательского состава и технологий проведения занятий, возможно и с учетом эмоциональных факторов (). По мере обучения и приобретаемого опыта значения показателя увеличиваются. Показателем логической сложности информации назовем отношение =. Значения показателя Значения показателя зависят от уровня знаний и навыков и по мере обучения могут уменьшаться. Определим коэффициент качества технологии учебного процесса, положив



, ( 4)

Таким образом, уровень качества проводимых занятий по j-ой дисциплине определяется объемом сообщаемой информации и характеристиками этой информации (значениями коэффициентов стереотипности, логической сложности и эмоциональности). Коэффициент качества технологии учебного процесса имеет локальный характер.

Будем полагать, что информация, приходящая на выход канала – это усвоенная информация. Задача обучения, как было отмечено выше, состоит в передаче на выход максимального количества входной информации. Но, известно, что процессы запоминания имеют свою специфику, обусловленную необходимостью подкрепления воспринятой информации. Будем считать, что в результате n кратного подкрепления (за подкрепление будем считать операции контроля знаний – число контрольных точек за период времени обучения по данной дисциплине с объемом специальной информации ) выходная информация определяется соотношением:

(5)

где m - коэффициент, значение которого будет определено ниже.

Таким образом, модель информационного канала с ограниченной пропускной способностью позволяет установить связь между входной и выходной информациями, что позволяет определить показатель качества собственно обучения по j-ой дисциплине в виде:

. (6)

Показатель качества собственно обучения – это показатель продуктивности решения задач субъектом по данной дисциплине при тех или иных ограничениях и условиях. Решение задачи – это информационный процесс, связанный с достижением цели и снятием некоторой неопределенности. Таким образом, цели обучения должны описываться на языке усваиваемой дисциплины и быть соотнесенными с перечнем задач, которые должен научиться решать обучаемый. Под специальной задачей следует понимать модель ситуации, содержащую описание конкретных объектов, условий, средств и способов деятельности обучаемого. C учетом этого структурно-логическая схема контроля должна представлять собой целостную систему ситуаций и задач, составляющих содержание дисциплины, которые на начальных стадиях обучения элементарны, а на заключительных отображаются как обобщенные комплексные задачи.

При таких предпосылках контроль учебной деятельности на каждом этапе должен осуществляться в пределах конечного множества элементов информации А, характеризующих объекты и явления, конечного множества элементов информации R, отражающих отношения между ними и дополнительного множества К, характеризующего методы преобразования информации (правила решения задач). Будем полагать, что контроль определяется двумя тезаурусами: эталонных классов, куда входят элементы из множеств A, R (обозначим все множества элементов, образующих тезаурус эталонных классов, через Х), и методов преобразования, которое образуется из элементов множества К .

Допустим, что общее количество элементов в тезаурусе эталонных классов , а в тезаурусе методов преобразования . Можно принять, что для каждого класса задач существует некоторое, назовем его оптимальным, соотношение () между и , при котором с вероятностью p обеспечивается правильное решение любой задачи данного этапа контроля. Исходя из этого, будем оперировать с некоторым эквивалентным тезаурусом задач, имеющим емкость , . Если количество задач, которое предъявляется обучаемому, равно

( – число контрольных точек данного этапа), а среднее количество правильно решенных задач на этапе контроля равно , то для определения коэффициента m из соотношения (5) получаем выражение:

, (7)

можно определить показатель качества контроля в виде:



. (8)

В соответствии с (4), (6) и (8) с учетом всех изучаемых r дисциплин можно (по совокупностям данных по всем обучаемым) получить средние оценки значений и для коэффициента качества обучения на данном этапе обучения принять оценку в виде (аналогично ИРЧП – индексу развития человеческого потенциала, используемому в ООН)



(9)

Показатель качества обучения определяет итоговое качество учебного процесса. Поскольку нет системы вне процессов, отражающих ее функционирование и развитие, и нет процесса, который не был бы процессом функционирования и развития какой–то системы, то качество технологии учебного процесса, качество обучения и качество контроля переходят в итоге в качество результата на “выходе” учебного процесса. Недостаточное качество всего учебного процесса в силу мультипликативного характера показателя (9) не может компенсироваться интенсификацией усилий студентов на этапе определения качества результатов обучения. Для обеспечения высокого качества учебного процесса необходимо поэтапное оценивание и управление процессом с соблюдением основных принципов развития и реализации качества. В промышленных проектах обеспечения качества производимой продукции в основе методов управления качеством лежат специально разрабатываемые программы обеспечения качества с поэтапной оценкой качества и прогнозированием тенденций его изменения. Одним из важнейших факторов в обеспечении качества при этом является контроль, от точности и надежности которого существенно зависит стоимость продукции. Выборочный контроль, свойственный массовому производству, увеличивает стоимость продукции на четверть. Сплошной контроль, применяемый в особо важных и ответственных производствах, приводит к увеличению стоимости продукции в два и более число раз. По-видимому, это имеет общий характер и для серьезной работы по обеспечению качества обучения необходимо ставить работу с учетом стоимостных показателей.

Для вычисления значений коэффициента качества обучения необходимы на каждом этапе обучения исходные данные по организации и проведению учебных занятий, по методам контроля обучения и по психофизиологическим особенностям обучаемых. Значения показателей качества при этом могут использоваться для выработки и принятия управляющих решений по обеспечению необходимого качества изучаемых дисциплин.

Субъективность в оценке знаний обучаемых является основной проблемой в решении ряда важнейших вопросов образования.

Перейдем к формализации постановки задачи оценки знаний обучаемых. Представим процесс обучения в следующем виде: учитель предъявляет ученику некоторые ситуации и о каждой сообщает, к какому из k классов она относится. Будем считать, что входная ситуация (изучаемый материал) описывается вектором . Координаты этого вектора могут выражать какие-то признаки (свойства) предъявляемой ситуации. Последовательность ситуаций с указанием, к какому классу они относятся, назовем обучающей последовательностью. Задача обучения состоит в том, что, используя обучающую последовательность, нужно выработать у обучаемого навыки (умение) определенного качества, позволяющие классифицировать вновь предъявляемые “незнакомые” ситуации (вообще говоря, отличные от входивших в обучающую последовательность). Здесь уже требуется уточнение понятия уровня качества обучения. Очевидно, что качество обучения можно оценивать по количеству несовпадений (неправильных классификаций вновь предъявляемых ситуаций). Однако, здесь нужно учитывать, что если существует хотя бы одна ситуация, которую обучаемый неправильно классифицирует, то процент несовпадения будет существенно завесить от той последовательности, по которой будет он определяться. Если в последовательности много раз встречается ситуация, которую обучаемый неправильно классифицирует, то процент несовпадений будет велик, в то время как при другом составе последовательности он может оказаться мал. Поэтому необходимо заранее установить каким образом должен исчисляться процент несовпадений. Можно условиться, чтобы процент несовпадений вычислялся по отношению ко всем возможным входным ситуациям. Однако такое определение качества обучения не является удовлетворительным, ибо в жизни требуется правильно распознавать как можно больший процент встречающихся, а не всех возможных ситуаций. Различие здесь заключается в том, что некоторые ситуации встречаются чаще, их желательно классифицировать правильно, другие ситуации, хотя и возможны, но встречаются сравнительно редко, ошибка (так можно назвать несовпадение) в последнем случае менее опасна.

Такое положение идеализирует гипотеза о том, что на множестве всех возможных ситуаций X задана функция распределения вероятностей P(x). Иначе говоря, считается, что в соответствие каждой возможной ситуации ставится вероятность ее появления среди элементов, подлежащих классификации. Тогда “потери” от ошибки на ситуации x могут быть оценены величиной, пропорциональной вероятности появления этой ситуации. Для каждого обучаемого можно подсчитать средние потери от всех его ошибок. Качественным обучением следует считать в этом случае то, которое обеспечивает минимальную вероятность ошибок при классификации.

Гипотеза о существовании функции распределения вероятностей P(x) вовсе не предполагает, что она нам известна. Важно лишь то, что она существует и что ситуации, появляются случайно согласно этой функции. Образно говоря, функция P(x) является характеристикой среды, в которой будет работать обучаемый. Качество обучения определяется вероятностью ошибок при работе в этой среде.

Несмотря на то, что функция P(x) нам неизвестна, качество обучения может быть оценено эмпирически. Для этого случайно и независимо отбирается некоторое количество примеров, относительно которых выясняется, к какому классу они относятся. Такое множество примеров назовем экзаменационной последовательностью (выборкой). На экзаменационной выборке определяется процент несовпадений в классификации обучаемого. Найденный процент характеризует качество обучения точно так же, как вычисленная по конечной выборке частота характеризует вероятность.

Существенным является вопрос о том, на каких примерах надо учить, то есть как подбирать элементы обучающей выборки (последовательности). Ведь от того, какие элементы содержатся в материале обучения, зависит, насколько хорошо будет в дальнейшем работать обучаемый, то есть каково качество обучения. Чтобы обеспечить высокое качество обучения, надо предвидеть свойства “среды”, в которой предстоит работать обучаемому после обучения (то есть какова функция P(x)). Однако задача такова, что вероятность P(x) неизвестна. Существует поэтому единственная возможность - выбирать примеры для обучения случайно и независимо, согласно тому же распределению, при котором будет работать обучаемый. Так поступать целесообразно еще и потому, что во многих задачах обучения приходится довольствоваться только теми примерами, которые уже существуют, то есть фактически случайной выборкой из множества возможных примеров.

Итак, в задаче обучения принято, что обучающая выборка составлена из элементов, выбранных случайно и независимо из той среды, для которой готовится обучаемый. Однако при случайном подборе элементов обучающей последовательности уже нельзя требовать, чтобы обучение было безусловно успешным, ведь не исключена вероятность того, что обучающая последовательность будет составлена из “нетипичных” случаев. Поэтому успех в обучении может быть гарантирован не наверняка, а лишь с некоторой вероятностью.

Изложенная постановка на формальном языке имеет простое выражение. В среде, которая характеризуется распределением вероятностей P(x), случайно и независимо появляется ситуация x . Ситуации составляют множество из k классов (для простоты положим k=2 ). Распределение по классам осуществляется согласно условной вероятности P(/x) , где  = 1 означает, что вектор x отнесен к первому классу, а  = 0 ко второму. Ни характеристика среды P(x), ни правило классификации нам не известны. Однако известно, что обе функции существуют, то есть существует совместное распределение вероятностей

P(,x) = P(x)P(/x).

Пусть теперь определено множество обучаемых, каждого из которых будем характеризовать функцией F(x,) - характеристической функцией, принимающей только одно из двух значений: нуль или единица (нуль означает, что x отнесен к первому классу, а единица – ко второму). Для каждой функции F(x,) может быть определено качество P() как вероятность различных классификаций ситуаций x (c помощью правила P(/x) и характеристической функции F(x,)). На формальном языке качество обучения P() функции F(x,) определяется так:

a) в случае, когда пространство X дискретно и состоит из точек

где - вероятность возникновения ситуации

b) в случае, когда в пространстве X существует плотность распределения P(x)

Среди всех функций F(x,) есть такая которая минимизирует вероятность ошибок. Эту – то наилучшую в классе функцию (или близкую к ней, то есть функцию с качеством, отличным от не более чем на малую величину и следует найти. Однако, поскольку совместное распределение вероятностей неизвестно, поиск ведется с использованием обучающей последовательности то есть случайной и независимой выборки примеров фиксированной длины l. Как уже отмечалось, нельзя найти оценку процесса обучения по конечной выборке, которая бы безусловно гарантировала успех в практической работе обучаемого. Успех можно гарантировать лишь с некоторой вероятностью 1-.

Итак, задача заключается в том, чтобы для любой функции F(x,) найти по обучающей выборке фиксированной длины l такую функцию F(x,*), о которой с достоверностью не меньшей 1- , можно было бы утверждать, что ее качество отличается от качества лучшей функции на величину, не превышающую  .

Фрагмент лекции

для системы повышения квалификации работников образования




Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница