Конспект лекций по дисциплине " Философия математики " для направления подготовки "Философия"



страница1/10
Дата27.04.2018
Размер0.6 Mb.
ТипКонспект лекций
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

Философия математики



для направления подготовки “Философия”

Введение.

Краткий очерк истории математики
Перефразируя известное высказывание И.Канта, Имре Лакатос писал "Философия науки без истории науки пуста; история науки без философии науки слепа" (И.Лакатос, "История науки и ее рациональные реконструкции"). Эта мысль стала теперь практически общепринятой истиной. Поэтому, прежде чем пойдет речь о философии математики, полезно хотя бы в самых общих чертах познакомиться с историей математики, одной из самых древних наук.

В отечественной литературе принято различать четыре основных этапа (периода) эволюции (истории) математики (см., например, статью А.Н.Коломогорова "Математика" в его книге "Математика в её историческом развитии").

Начальный перод (глубокая древность) период донаучной математики. Сюда относят математику древнего Егита, Вавилона, Китая, Индии.

Затем следует период элементарной математики. Это уже научная математика, и научность связана с возникновением понятия доказательства. Математическое доказательство возникло в Древней Греции, и человеком, с чьим именем связывают первые доказательства теорем, был Фалес Милетский (ок. 625-548 до н.э.). В некотором смысле его можно даже считать первым математиком, имя которого нам известно. Период элементарной математики продолжался до середины XVII века.

Греческая (античная) математика заслуживает отдельного рассказа, так как она в конечном счете послужила источником и основой большей части всей современной математики. Приблизительно с 600 г. до н. э. по 300 г. до н.э. длился период, называемый сейчас периодом древнегреческой математики, с 300 г. до н. э. до VI в. н.э период эллинистической математики. Среди многих известных греческих математиков отметим прежде всего Пифагора (ок. 580-500 до н.э.), Евдокса (ок. 408- ок. 355 до н.э.), Евклида (ок. 356 - ок. 300 до н.э.), Архимеда (ок. 287 - 212 до н.э.), Аполлония (ок. 262 - ок. 190 до н.э.), Диофанта (возможно, III в. н.э.). Трактат Евклида "Начала" оказал ни с чем не сравнимое воздействие не только на математические исследования и на математическое образование, но, пожалуй, и на всю человеческую культуру. Еще относительно недавно эта книга занимала в Европе второе место по количеству печатных изданий (просле Библии). Как учебник, "Начала" во многих отношениях (например, в той своей части, которая относится к геометрии) фактически не имели достойных конкурентов вплоть до конца XVIII века, и окончательно были превзойдены только в XIX или даже в XX веке. Большое влияние на развитие математики (и особенно на развитие философии математики) оказали также величайшие мыслители Греции Платон (427 -347 до н.э.) и Аристотель (384 - 322 до н.э.). Аристотель, в частности, создал логику как науку. Период эллинистической математики закончился в конце первой четверти VI в. н.э., когда император Юстиниан сделал невозможной на территории Византии (Восточной Римской империи) деятельность ученых, сохранявших античные традиции. Следует отметить, что на протяжении всей истории Рима (а в дальнейшем и Византии) не известно ни одного действительно крупного математика, который был бы не греком, а римлянином. Разумеется, потребности практики постоянно требовали определенных математических знаний у достаточно большого количества людей, но в основном всё ограничивалось использованием того, что было ранее создано античными математиками. Теоретическая математика, математика как наука не развивалась, принципиально новые идеи отсутствовали. Сами же античные греки довольно пренебрежительно относились к тому, что сейчас называется прикладной математикой (называя этот род человеческой деятельности не математикой, а "логистикой").

Таким образом, в раннем средневековье развитие математики в Европе практически прекратилось. Однако традиции античной математики не только сохранились, но и получили дальнейшее развитие в мусульманских странах. Одним из крупнейших математиков этого времени был, например, Омар Хайям (1048-1131), более известный как поэт (а также астроном, философ, богослов...). Приблизительно до XVI-XVII вв. уровень математики стран Востока (прежде всего мусульманских) был сначала намного выше, а потом в целом сопоставимым с уровнем европейской математики. Некоторые сочинения древнегреческих математиков стали известны в Европе только в обратном переводе с арабского, т.к. оригиналы были утрачены.

Возрождение математики в Европе начинается примерно с XII века. На первых порах речь идет только о простейших вычислительных навыках, необходимых, например, в торговле и финансовых операциях. Однако к XVI-му веку европейская математика достигает весьма высокого уровня, и в ряде отношений уже обгоняет древнегреческую. То принципиально новое, что внесли в математику европейские ученые XV-XVI веков, касается прежде всего развития понятия числа и (особенно) изобретения и широкого использования символьных обозначиений. Символьные обозначения почти полностью отсутствовали у греков (исключением являлся лишь Диофант, но его сочинения не пользовались, по-видимому, большой известностью), и полностью отсутствовали на Востоке. Даже алгебраические задачи (решение уравнений) решались либо в полностью словесном виде, либо с помощью геометрических трюков. Между тем нельзя представить себе современную математику, не использующую самых разнообразных символьных обозначений. В какой-то период (XVII-XIX века) доказательства математических по-сути фактов, выраженные в словесной форме, даже стали считаться чем-то недопустимым, и не относящимся к математике. Некий баланс между словесным и формульным способами выражения математических фактов и суждений был установлен лишь к концу XIX века. Так или иначе, но можно смело утверждать, что именно использование символьных обозначений привело математику к ее нынешнему состоянию, когда она считается даже чем-то вроде универсального языка всей науки. Математиком, в чьих трудах уже можно найти систему символьных (алгебраических) обозначений в близком к современному виде, был Франсуа Виет (1540-1603). Благодаря символьным обозначениям он впервые смог выразить свойства алгебраических уравнения 1-й, 2-й, 3-й и 4-й степеней и их корней в виде общих формул, а сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия.

С середины XVII века начинается отсчет периода математики переменных величин. Его истоки связаны с именами Р.Декарта (1596-1650), И.Ньютона (1643-1727), Г.-В.Лейбница (1646-1716). Метод координат Рене Декарта (независимо открытый также Пьером Ферма) не только установил тесную связь между алгеброй и геометрией, считавшимися ранее весьма различными дисциплинами, но и содержал в своей основе понятие функциональной зависимости, быстро ставшее едва ли не центральным понятием всей математики. Без этого понятия оказалось бы невозможным создание Ньютоном и Лейбницем основ математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений). Математический анализ (называемый еще "высшей математикой") быстро сделался главным разделом всего математического знания, и основным направлением исследований большинства ведущих математиков всего мира (фактически, по обстоятельствам того времени Западной Европы). В немалой степени это было связано и с тем, что с самого момента его создания была ясно видна перспектива приложений математического анализа к изучению физических (прежде всего механических) процессов, связанных с различными формами движения и изменения.

Начало периода современной математики отечественные историки математики (и прежде всего А.Н.Колмогоров) связывают с открытием Н.И.Лобачевским (1792-1856) первого примера неевклидовой геометрии (1826, опубликовано в 1829-1830). Кроме создания неевклидовых геометрий, крупнейшие математические события XIX века таковы строгое логическое обоснование математического анализа (прежде всего в работах Огюстена Луи Коши (1789 - 1857) и Карла Вейерштрасса (1815-1897)), создание символической логики (Джордж Буль (1815 - 1864), Огастес де Морган (1806- 1871), Готлоб Фреге (1848-1925)), создание теории множеств (Георг Кантор, 1845-1918). Этот был век бурного развития всех прежних направлений математики, и появления многих принципиально новых понятий и направлений.





  1. Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница