Интервальные оценки параметров распределений



Скачать 93.08 Kb.
страница1/3
Дата25.05.2018
Размер93.08 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3

CМОДЗУ, Лекция 4.

Основы проверки

статистических гипотез.

Статистическая гипотеза – это утверждение относительно характера или неизвестных параметров распределения случайных величин, которое допускает наблюдения статистической природы.

Из-за невозможности определить истинность гипотезы прямым путем, мы "проверяем" гипотезу, т.е. устанавливаем, не противоречит ли высказанная нами гипотеза имеющимся выборочным данным. Эта процедура носит название статистической проверки гипотез.

Результат сопоставления высказанной гипотезы с выборочным данными может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а поэтому гипотезу надо отклонить), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а поэтому ее можно принять в качестве одного из возможных решений).

Задачи, сводящиеся к оценке истинности нулевой гипотезы Н0 по отношению к конкурирующей гипотезе Н1 могут быть решены с помощью различного рода статистических критериев (СК).

Несмотря на разнообразие самих гипотез и применяемых статистических критериев, их можно объединить в следующую общую логическую схему.

1. Выдвижение гипотез Н0, Н1.

2. Выбор уровня значимости α – вероятности ошибочного отклонения нулевой гипотезы. Выбор величины уровня значимости α зависит от размера потерь, которые мы понесем в случае ошибочного решения. В большинстве практических задач пользуются стандартными значениями уровня значимости: α = 0.05; 0.01; 0.001. Наиболее распространенной является величина уровня значимости α = 0.05 (в среднем в пяти случаях из 100 мы будем ошибочно отклонять высказанную гипотезу).

3. Выбор критической статистики (критерия) ψk (x1, x2 ,..., xn ) – некоторой функции от результатов наблюдений. Эта критическая статистика ψk сама является случайной величиной и в предположении справедливости нулевой гипотезы Н0 подчинена некоторому хорошо изученному закону распределения с плотностью fψ (u) .

4. Определение критической области W (множества значений критической статистики, при которых гипотеза отклоняется), исходя из следующего условия: Р (ψk (x1, x2 ,..., xn ) W Н0 ) = α.

Из таблиц распределения fψ (u) находятся квантили уровня α/2 и уровня 1–α/2, соответственно равные ψα /2 и ψ1−α /2 . Они разделяют всю область возможных значений случайной величины ψk на три части:

1. область неправдоподобно малых (–∞,ψα /2 ],

2. правдоподобных (ψα /2 , ψ1−α /2),

3. неправдоподобно больших [ψ1−α /2,∞) значений в условиях справедливости нулевой гипотезы Н0. В тех случаях, когда опасными для нашего утверждения являются только односторонние отклонения, т. е. только "слишком маленькие" или только "слишком большие" значения критической статистики ψk , находят лишь одну квантиль: либо ψα /2, которая будет разделять весь диапазон значений ψk на две части: область неправдоподобно малых и область правдоподобных значений; либо ψ1−α /2 ; она будет разделять весь диапазон значений ψk на область неправдоподобно больших и область правдоподобных значений.

5. Определение на основе выборочных данных x1, x2 ,..., xn численной величины статистики ψk .

6. Выработка решения. Если ψk W, то гипотезу Н0 рекомендуется отклонить, в противном случае ее можно принять, так как имеющиеся данные не противоречат высказанной гипотезе.

Решение, принимаемое на основе статистического критерия, может оказаться ошибочным в двух случаях: ошибка первого рода, когда гипотеза Н0 справедлива, но ошибочно отклоняется (с вероятностью α), и ошибка второго рода, когда справедлива гипотеза Н1 , но ошибочно принимается гипотеза Н0 (с вероятностью β). Таким образом вероятности этих ошибок являются условными вероятностями:



α = P(ψk W/ Н0 справедлива);

β = P(ψk W/ Н1 справедлива);

Пусть f (x; θ0), f (x; θ1) – плотности распределения критической статистики соответственно при справедливости нулевой гипотезы Н0 и альтернативной гипотезы Н1, θ0, θ1 – параметры распределения при Н0 и Н1. Тогда ошибки I и II рода определяются выражениями



и

где xk – граница критической области W.

Величина 1 - β – называется мощностью соответствующего критерия.

Высказываемые в ходе решения задач гипотезы можно подразделить на следующие типы:

1. об общем виде закона распределения исследуемой случайной величины;

2. о числовых значениях характеристик исследуемого явления или процесса;

3. об однородности двух или нескольких выборок;


Каталог:


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница