Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема



страница17/22
Дата10.05.2018
Размер0.73 Mb.
ТипАвтореферат
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22
втором параграфе «Теоретическая математика как социокультурное образование» предметом анализа является место математики в современной культуре.

Упорядочение математического мира на основе понятия структуры, достигнутое в XX веке усилиями Н. Бурбаки, не избавляет от основной про­блемы, состоящей во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического: «В своей аксиоматической форме математика представля­ется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказыва­ется (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспе­риментальной действительности как будто в результате предопределения ук­ладываются в некоторые из этих форм»24. Это признание Бурбаки возвра­щает нас, по сути, ко времени построения Аристотелем «первой филосо­фии», объяснившей эффективность применения математики к описанию движения небесных тел тем, что математические формы находятся в Уме-перводвигателе, а тот, в свою очередь, управляет посредством мышления движением обнимаемого им Космоса25. И в концепции Бурбаки, и в первой философии Аристотеля факт соответствия математических форм явлениям окружающего мира попросту констатируется, поскольку основная идея «объяснения» не подлежит дальнейшей конкретизации.

Главный вывод, вытекающий из исторического рассмотрения проблемы возникновения принятого в математике способа рассуждений, состоит в том, что словесная дедукция частных утверждений науки из общих начальных положений вызвана объективно происшедшим превращением прикладного землемерного искусства в сугубо теоретическую дисциплину, сопровождав­шимся полным забвением «архитектурных» истоков. Эта традиция была за­тем перенесена из геометрии в арифметику, а спустя многие столетия и на другие классические разделы математики, включая анализ бесконечно ма­лых. Так постепенно и сформировалось то огромное здание математики, ко­торое с позиций по-новому понятого аксиоматического метода перестроил в своем многотомном труде Бурбаки.

Аксиоматический способ рассуждений оказал существенное воздейст­вие не только на современную теоретическую математику, но и на весь стиль мышления европейской цивилизации. Данное обстоятельство может быть продемонстрировано на примере формирования понятий «смысл», «символ», «метафора».

Связь между представлением о «смысле» и аксиоматической геометрией может быть установлена достаточно просто. Действительно, мы говорим, что понимаем смысл явления или кем-то сказанного тогда, когда имеющиеся у нас сведения не требуют для уяснения этого самого смысла обращения к «внешнему опыту», т.е. пополнения наличных знаний. Иными словами, смысл – это мысль, обращенная сама на себя, а не на внешний мир. Именно это и отличает дедуктивный способ построения знания, когда мы берем при формулировке основоположений науки из реальности всё, что необходимо, как раз для того, чтобы впоследствии пользоваться исключительно данным, словесно сформулированным теоретическим базисом, не прибегая к помощи чувственного мира.

Аналогичным образом аксиоматический стиль мышления содействовал выработке представлений о символе и метафоре. Важность понятия символа для современной математики отметил Г. Вейль: «Математика – это наука о бесконечности, ее цель – символическое постижение бесконечности челове­ческим, то есть конечным»26.

У Платона, как отмечал А.Ф. Лосев, «символизм… в значительной сте­пени дорефлективен»27. Рефлексивное понимание символа достигается то­гда, когда мы противопоставляем значение символа его непосредственно на­глядному выражению. Подобное противопоставление может быть осуществ­лено только тогда, когда значение символа (например, бесконечность, пости­гаемая посредством конечных математических символов) принадлежит иному – внечувственному – миру. У Платона о противопоставлении идеальных объектов реальным не может быть и речи, поскольку вторые стремятся подражать и походить на первых. Другое дело у Аристотеля, у которого иде­альные числа и фигуры бестелесны и действительно противоположны веще­ственным «копиям». Но их бестелесность, как показано в § 2.1 диссертаци­онной работы, есть следствие их бестелесности в дедуктивной греческой геометрии. Таким образом, рефлексивное понимание символа, достигнутое позднеантичной мыслью, оказалось возможным лишь благодаря аксиомати­чески построенной математике.

Аналогичным образом обстоит дело и с понятием метафоры. Аристо­тель определяет метафору как «несвойственное имя, перенесенное с рода на вид, или с вида на род, или с вида на вид, или по аналогии»28. Предпосылкой для выработки Аристотелем понятия метафоры является представление о значении имени, при этом в качестве значений имен Стагирит рассматривал только сущности. В § 2.1 показано, что обоснование существования по­доб­ных “самобытных” вещей удалось Аристотелю только благодаря дедуктив­ному построению геометрии.

Важность дедуктивной геометрии для выработки понятия метафоры становится понятней в контексте вопроса о причинах отсутствия данного понятия у Платона. В то время как у Аристотеля связь имени с названным при его помощи предметом не играет никакой роли29, у Платона, напротив, имя является подражанием вещи30. Если у Аристотеля исходным в соотноше­нии «имя – вещь» является эйдос вещи, находящийся в Уме-перводвигателе, так что значением «логоса» этого эйдоса оказывается вещь в подлежащем Космосе, то у Платона всё наоборот: первична вещь, а имя подбирается за­конодателем в стремлении как можно лучше подражать природе вещи. Но тогда значением (знаком) оказывается не предмет, а слово. И это совершенно естественно: не вещь должна указывать на слово, как это получается у Ари­стотеля, а слово должно служить знаком (значением) вещи.

Перевернуть это соотношение Аристотелю удалось, «сделав» эйдосы вещей, находящихся в извечно существующем Космосе, бестелесными. От­сюда и безразличие Стагирита к разным наименованиям их у разных наро­дов. При телесном понимании эйдосов у Платона «места» для метафоры (а метафора может стать таковой только как рефлексивное понятие) попросту не остается: имя во всей своей звуковой особенности слишком тесно привя­зано к именуемой посредством него вещи, чтобы возникала потребность в переносе «значений».

Поскольку в математике Индии и Китая не было аксиоматического ме­тода, то в этих странах не было возможности перевернуть соотношение ме­жду словом и вещью, как это сделал при помощи дедуктивной геометрии Аристотель. Поэтому философское мышление в этих цивилизациях не было в состоянии создать ни представления об идеальных объектах, ни понятий смысла, символа или метафоры.

Заключительная часть параграфа посвящена попытке ограничить уни­версальность аксиоматического метода в математике средствами самой этой науки. Речь идет о знаменитой теореме Гёделя о неполноте.

В 1958 г. Гёдель31 выделил в гильбертовской метаматематике две важ­ных составных части: конструктивную и собственно «финитистскую», в со­ответствии с которой для представляющих доказательства знаковых комби­наций существенными оказываются исключительно пространственные сход­ства и различия. Из установленной в 1931 г. теоремы Гёдель дедуцирует не­обходимость отказа в доказательствах непротиворечивости от второй ком­поненты, что предполагает обращение к смыслу закодированных специаль­ными знаками математических конструкций. Поскольку представление о смысле знаковых комбинаций могло возникнуть в европейской цивилизации только благодаря дедуктивной геометрии, то его использование для доказа­тельства непротиворечивости аксиоматических теорий сохраняло за подоб­ным обоснованием лишь относительное, но никак не абсолютное значение, на что надеялся основоположник финитистской программы. Но и этим про­блемы с реализацией программы Гильберта не ограничиваются.

В формальных теориях первого порядка, рассматриваемых в теореме Гёделя о неполноте, аксиомы подразделяются на логические и собственные, причем в чистом исчислении предикатов имеются только аксиомы первого типа, не связанные с особенностями какой-либо конкретной предметной об­ласти. Можно показать, что в логических аксиомах, содержащих операцию отрицания, подразумевается при этом внешнее отрицание логических сужде­ний, имеющее вид “A не есть B”. В собственных же аксиомах используется внутреннее отрицание “A есть не-B”, поскольку эти аксиомы «высекают» род из ничем не ограниченного универсума исчисления предикатов, в результате чего операция отрицания «незаметно» преобразуется из операции внешнего в операцию внутреннего отрицания.

Тем самым на «объектном» уровне оказываются «смешанными» два, во­обще говоря, различных вида отрицания, в то время как в метатеории, где исследуются расположенные в пространстве последовательности символов, представляющие собой доказательства различных теорем формальной тео­рии, может использоваться только «обычная» родовидовая логика, которой пользуются и физики, и химики, и биологи. Так как построение истинной, но недоказуемой формулы осуществляется Гёделем при помощи «смешения» объектного и мета- уровней, то подобное рассогласование в понимании опе­рации отрицания вполне может сказаться на конечном выводе теоремы.

Данное обстоятельство не осознается как затруднение, поскольку в тео­ретико-множественной математике после работ Г. Кантора отождествление двух видов отрицания вошло в привычку32, так что у специалистов в области метаматематики, в отличие от «ориентирующихся» исключительно на внут­реннее отрицание ученых-естествоиспытателей, подобные вопросы не воз­никают. Но развеять недоумение неспециалистов могут только профессио­налы, которые никаких проблем по указанной причине не замечают. Пара­докс в том, что конкретной ошибки в доказательстве Гёделя указать нельзя, ибо в рамках господствующих идеализаций всё выглядит достаточно гладко. Но отсутствие полной ясности в «предметной интерпретации» финитных рассуждений Гёделя оставляет вопросы, ответ на которые невозможен без специального исследования. С социокультурной точки зрения это и означает, что теоретико-множественная математика (а вместе с ней и метаматематика) весьма удалена от других научных дисциплин, где повсеместно используется инструментарий родовидовой логики Аристотеля с присущим ей внутренним пониманием операции логического отрицания.




Каталог: common -> img -> uploaded -> files -> vak -> announcements -> filosof -> 14-04-2008
filosof -> Смысловая сфера культуры: модусы кризисного развития
filosof -> Идеи индийской философской традиции в западной духовной культуре (XIX-XX вв.)
filosof -> Архетип духа: смысловая динамика символизации в процессе антропогенеза
filosof -> Социальная динамика: философско-методологические основания дискурсивного управления в условиях глобализации
filosof -> Философско-антропологические основания русской идеи просвещения
filosof -> Социальная мифология в коммуникационном пространстве современного общества
filosof -> Соотношение рационального и иррационального в общественном сознании
filosof -> Философский анализ конфликта естественнонаучных и эзотерических концепций ХХ-XXI вв
14-04-2008 -> Маринов Михаил Будимирович


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница