Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема


вторая глава «Исторические предпо­сылки формирования дедуктивной математики»



страница13/22
Дата10.05.2018
Размер0.73 Mb.
ТипАвтореферат
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   22
вторая глава «Исторические предпо­сылки формирования дедуктивной математики».

Первый параграф «Формирование идеала теоретического знания в древнегреческой математике» посвящен выяснению обстоятельств, способ­ствовавших становлению геометрии как абстрактной науки о свойствах фи­гур и тел.

Проблемы чисто теоретического характера появились в математике за­долго до возникновения аксиоматического метода. В Вавилоне уже в эпоху Хаммурапи решались многочисленные задачи наподобие нахождения сторон прямоугольника по известным периметру и площади. Такого рода проблемы, возникающие в качестве обратных к непосредственно связанным с хозяйст­венной деятельностью прямым вычислительным задачам, не имели никогда никакого практического значения и относятся поэтому к теоретической ма­тематике. Вместе с тем, вавилоняне не смогли выработать представления об абстрактных математических объектах. В то же время Платон и Аристотель едины в том, что математические объекты относятся к области умопостигае­мого и ни в коем случае не могут отождествляться с их чувственными изо­бражениями. Поэтому подразделение знаний на теоретические и практиче­ски ориентированные, послужившее основой для нахождения первой из формальных предпосылок возникновения дедуктивной науки, недостаточно для выявления исторической специфики древнегреческой геометрии.

Поскольку ранее уже была установлена особая роль учения о свойствах углов в становлении дедуктивной математики, то естественно выяснить, ка­ким образом в греческой геометрии закрепился такой его основополагающий факт, как равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Подлинное значение данного утверждения в том, оно является единствен­ным опосредующим звеном между свойствами сторон и свойствами углов в треугольнике, а следовательно, ни одна цивилизация, не зная его, не в со­стоянии приобщить к числу принадлежащих её науке сведений неочевидный факт постоянства суммы углов в каждом треугольнике независимо от вели­чин составляющих его элементов. А без этого факта нет шансов и на созда­ние дедуктивного способа построения математического знания силами «рес­публики ученых» данной цивилизации.

Первая часть параграфа посвящена анализу обстоятельств, способство­вавших открытию и фиксации в «памяти цивилизации» свойства углов рав­нобедренного треугольника. Показывается, что единственным «стимулом» для этого могло стать обеспечение симметрии при сооружении конструкций пирамидальной формы.

Хотя данный анализ опирается на сообщение Прокла о египетском про­исхождении геометрических познаний Фалеса, тем не менее, его, по суще­ству, логический характер позволяет задним числом рассматривать вывод о решающей роли архитектуры египтян в обнаружении равенства углов в рав­нобедренном треугольнике в качестве формальной предпосылки возникнове­ния дедуктивной науки: где бы и когда бы ни появилось построение теоре­тической геометрии на основе постулатов и аксиом, этому обязательно должна была предшествовать практика строительства пирамид. Тем самым отсутствие всюду кроме Древнего Египта построек, имеющих форму полной пирамиды, объясняет невозможность возникновения дедуктивной геометрии в Вавилоне, Индии и Китае.

Вместе с тем, являясь всего лишь необходимым условием возникнове­ния аксиоматического метода, факт строительства пирамид сам по себе еще не предопределяет появление идеи логической дедукции. Причины преобра­зования практических геометрических сведений египтян в науку о свойствах абстрактных фигур могут быть найдены только в конкретных обстоятельст­вах жизни эллинской цивилизации VIIV вв. до н. э.

Первая же попытка приступить к реализации данной программы натал­кивается на препятствие, разрушающее рамки истории науки, внутри кото­рых до сих пор велось исследование. Дело в том, что для Платона наиболее совершенным созданием человеческого ума является диалектика, причем именно в том отношении, которое выделяет аксиоматическую геометрию среди прочих дисциплин. Характеризуя специфику диалектического разума, Платон пишет в конце VI книги «Государства», что «бытие и все умопости­гаемое при помощи диалектики можно созерцать яснее, чем то, что рассмат­ривается с помощью только так называемых наук, которые исходят из пред­положений. Правда, и такие исследователи бывают вынуждены созерцать область умопостигаемого при помощи рассудка, а не посредством ощуще­ний, но поскольку они рассматривают ее на основании своих предположе­ний, не восходя к первоначалу, то... они и не могут постигнуть ее умом, хотя она вполне умопостигаема, если постичь ее первоначало»6.

Проводимые в диалектике рассуждения роднит с геометрическими до­казательствами стремление отказаться от помощи недостоверных чувствен­ных ощущений, в максимально возможной степени заменив их «идеями» са­мими по себе. Поскольку, согласно Аристотелю7, источником учения об идеях были проблемы поиска правильных определений «предметов нравст­венности», то именно этику допустимо, хотя бы гипотетически, рассматри­вать в качестве одной из исторических предпосылок возникновения дедук­тивной геометрии. Причем «формальный прообраз» такой исторической предпосылки никак не мог быть обнаружен на предшествующей стадии ис­следования, поскольку между этикой, «предметы» которой не относятся к чувственно воспринимаемому, и аксиоматико-дедуктивной геометрией не просматривается никакой содержательной связи8. Проблема реконструкции исторической картины возникновения аксиоматического метода сводится, с учетом сделанных замечаний, к выбору между следующими альтернативами: 1) дедуктивный метод зарождается внутри геометрии независимо от фило­софии; 2) опыт «работы» с невидимыми и неосязаемыми объектами при об­суждении этической проблематики аккумулируется внутри философии, ко­торая затем способствует «идеализации» и геометрии.

Недоступность области умопостигаемого для чувств можно интерпре­тировать с современной точки зрения по-разному: как свидетельство бесте­лесности идей справедливости и рассудительности или, напротив, как при­знание их особого совершенства в отношении «телесного состава» и место­положения. Тексты Платона и Аристотеля дают достаточно указаний для выбора правильной интерпретации причин доступности эйдосов лишь «кормчему души – уму»9.

Слова элейца из фрагмента 131de диалога «Парменид»: «Но, положим, кто-нибудь из нас будет иметь часть малого: малое будет больше этой своей части; таким образом, само малое будет больше, а то, к чему прибавится от­нятая от малого часть, станет меньше, а не больше прежнего», невозможно понять, если полагать эйдос малого бестелесным. Что касается естественного для нашего сознания отождествления идей с мыслями, то там же анализиру­ется (132bd) и после рассмотрения отбрасывается и эта попытка интерпре­тации10. Вывод напрашивается сам собой: идеи в учении Платона столь же «вещественны», сколь и уподобляющиеся им предметы. И если аристоте­левы аналоги платоновых идей «формы» определяются Стагиритом как сущность без материи11, то, следовательно, именно Аристотелю, а не Пла­тону принадлежит понимание общего как «бестелесного».

Аристотель прекрасно сознавал отличие собственного понимания форм-эйдосов от платоновских эйдосов-идей, замечая, что «нелепо утверждать, что существуют некие сущности помимо имеющихся в небе, а с другой что эти сущности тождественны чувственно воспринимаемым вещам, разве лишь что первые вечны, а вторые преходящи. Действительно, утверждают, что есть сам-по-себе-человек, сама-по-себе-лошадь, само-по-себе-здоровье, и этим ограничиваются, поступая подобно тем, кто говорит, что есть боги, но они человекоподобны. В самом деле, и эти придумывали не что иное, как вечных людей, и те признают эйдосы не чем иным, как наделенными вечно­стью чувственно воспринимаемыми вещами»12. Признающие эйдосы «не в состоянии показать, каковы такого рода непреходящие сущности помимо единичных и чувственно воспринимаемых. Так вот, они объявляют их тож­дественными по виду с преходящими (эти-то сущности мы знаем), изобре­тают самого-по-себе-человека и самое-по-себе-лошадь, присоединяя к чувственно воспринимаемым вещам слово само-по-себе»13.

Труды Аристотеля приоткрывают дверь в его творческую лабораторию, позволяя проследить ход его мысли в разрешении затруднений, из которых не могла выбраться мысль ортодоксальных последователей Платона. Так, для превращения эйдосов в бестелесные формы Аристотель строит для них «вместилище»: «форму форм» (или «эйдос эйдосов») Ум-перводвигатель. Для обоснования его существования Стагирит замечает, что «в некоторых случаях само знание есть предмет [знания]: в знании о творчестве предмет сущность, взятая без материи, и суть бытия, в знании умозрительном определение и мышление», вследствие чего раз «постигаемое мыслью и ум не отличны друг от друга у того, что не имеет материи, то они будут одно и то же»14.

В «Метафизике» Аристотель ставит творческие и умозрительные науки на одну ступень, однако по другим его работам можно проследить, что «рав­ноправия» здесь нет. На основе VII и VIII книг «Метафизики», а также трак­татов «Физика» и «О небе» в работе показывается, что представление о предмете «творческих наук» как о лишенном материи у Стагирита является производным от аналогичного представления о предмете теоретических наук (точнее в силу установленного ранее геометрии). Тем самым, ни диалек­тика Платона, ни «первая философия» Аристотеля не могли выполнить роль «катализатора» в процессе преобразовании геометрии в дедуктивную дисци­плину. Данный процесс протекал всецело в рамках «созревания» соответст­вующих формальных предпосылок, а именно возникновения теоретиче­ской науки о свойствах фигур и углов, а также формирования «критической установки» по отношению к знанию вообще.

Становление теоретической геометрии в Древней Греции VIIV вв. до н. э. могло происходить одним из двух способов. В случае, если заимство­ванные в Египте геометрические познания получали какие-либо практиче­ские приложения в новой цивилизации, теоретическая геометрия должна была развиваться наряду с практическим искусством землемерия. Но возмо­жен и другой вариант, когда по тем или иным причинам подобные примене­ния оказались невозможны и геометрия на земле Эллады стала теоретиче­ской наукой поневоле.

В.Д. Блаватский15 описывает следующие виды общественных работ в Древней Греции: вырубка лесов на склонах гор, создание в колониях Ю. Италии и Сицилии в VIIIVII вв. до н. э. садов и виноградников, осуше­ние болот, строительство, разработка каменоломен и рудников, прокладка дорог, сооружение каналов и гаваней. К этому списку можно добавить пла­нировку наделов (клеров) в греческих колониях. В Метапонте, к примеру, предположительно уже в VII вв. до н. э. применялась довольно сложная сис­тема планировки клеров, в которой наделы вместе образовывали поле в виде параллелограмма с перпендикулярными диагоналями. Всё это свидетельст­вует, казалось бы, в пользу широкого практического применения методов геометрии в античности.

Прокл в комментариях к Евклиду приписывает родоначальнику грече­ской геометрии Фалесу знание теорем о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов в равнобедренном треугольнике, равенстве вертикальных углов, а также признак равенства треугольников по стороне и двум приле­жащим углам. Но все эти предложения в задачах землемерия не играют су­щественной роли, поскольку основными при измерении земли являются фи­гуры с прямыми углами. Острые и тупые углы не могут быть предметом спе­циального интереса в практической геометрии. Источником указанных фак­тов могло быть лишь египетское искусство строительства пирамид, в кото­ром наряду с вопросами о величинах площадей и объемов важное значение придавалось также элементам возводившихся сооружений, имеющим тре­угольную форму.

Форма объекта существенна лишь тогда, когда незначительная погреш­ность на отдельной стадии процесса его построения может обернуться непо­правимыми потерями. Греческий храм, например, хотя и содержит элементы треугольной формы (обладающие зеркальной симметрией фронтоны), од­нако в них вполне допустимы незначительные отклонения от симметрии в силу плоского характера конструкции, так что контроль за равенством углов при основании фронтона не должен быть таким же строгим, как в случае пи­рамиды. То обстоятельство, что для практических потребностей греческой цивилизации, по крайней мере на протяжении VIIV вв. до н. э., вполне дос­таточно было использования свойств прямоугольных фигур, в то время как заимствованная из Египта геометрия занималась изучением «произвольных углов», и обусловило теоретический характер последней.

Последняя часть § 2.1 посвящена выяснению специфики древнегрече­ской геометрии в том виде, как она сформировалась на рубеже VIV вв. до н.э., а также выяснению её роли в формировании логики стоиков.

В дедуктивной геометрии человек впервые сталкивается с ситуацией, когда оформленная в виде речи мысль оказывается замкнутой сама на себя. И если в «творческих логосах» душа направлена в первую очередь на созда­ваемые при помощи них вещи, в то время как сопутствующие слова играют сугубо подчиненную роль, то в «теоретических логосах» слово становится решающим и единственным фактором утверждения их истинности. Хотя представления о геометрических объектах первоначально возникают в инди­видуальной душе не без помощи чувственных восприятий, в доказательст­вах их свойств опираются не на эти впечатления, а исключительно на сло­весно сформулированные предположения. Поэтому именно геометрия выну­дила стоиков подразделить представления на чувственные, которые воспри­нимаются посредством одного или нескольких органов чувств, и внечувст­венные, возникающие в человеке при помощи речи. Последние стоики стали называть специально изобретенным термином lektÕn. Существование по­добного бестелесного лектон стоики обосновывали, ссылаясь на пример с восприятием речи: «…обозначаемое тот предмет, выражаемый звуком, ко­торый мы постигаем своим рассудком, как уже заранее существующий, а варвары не воспринимают, хотя и слышат звук…»16

Если Платон, имея в виду практическое назначение языка, уподоблял имена орудиям17, то стоики своим примером зафиксировали ситуацию «незаинтересованного», созерцательного отношения к иностранному языку, благодаря чему и смогли расширить свою концепцию «бестелесных выска­зываний» с предложений, касающихся свойств геометрических объектов, на суждения общего вида. Подобным образом вместе с геометрическими пред­ложениями статус бестелесных получают и все высказывания, служащие объектом изучения стоической логики.

Во


Каталог: common -> img -> uploaded -> files -> vak -> announcements -> filosof -> 14-04-2008
filosof -> Смысловая сфера культуры: модусы кризисного развития
filosof -> Идеи индийской философской традиции в западной духовной культуре (XIX-XX вв.)
filosof -> Архетип духа: смысловая динамика символизации в процессе антропогенеза
filosof -> Социальная динамика: философско-методологические основания дискурсивного управления в условиях глобализации
filosof -> Философско-антропологические основания русской идеи просвещения
filosof -> Социальная мифология в коммуникационном пространстве современного общества
filosof -> Соотношение рационального и иррационального в общественном сознании
filosof -> Философский анализ конфликта естественнонаучных и эзотерических концепций ХХ-XXI вв
14-04-2008 -> Маринов Михаил Будимирович


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   22


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница