Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема



страница11/22
Дата10.05.2018
Размер0.73 Mb.
ТипАвтореферат
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   22
Четвертый параграф «Роль геометрии в становлении дедуктивного метода» посвящен проблеме: имеется ли для дедуктивного метода какая-либо «предпочтительная» предметная область или же он может рассматри­ваться как универсальный способ построения математического знания? Для Д. Гильберта и Н. Бурбаки, безусловно, правильным является второй вариант ответа. Однако С.А. Яновская в 1956 г. поставила и дала ответ на вопрос о причинах, по которым арифметика более чем на два тысячелетия позже гео­метрии приняла аксиоматическую форму5. Тем самым геометрия оказыва­ется более приемлемой кандидатурой на роль прародительницы аксиомати­ческого метода, нежели арифметика, что, очевидно, противоречит универса­листским притязаниям дедуктивного метода построения научного знания.

В первой части параграфа показано, что аксиоматический метод не мо­жет зародиться не только в естественнонаучных теориях, где существует «внешний» способ проверки утверждения теории, не сводящийся к удосто­верению отсутствия ошибок в его выводе, но и в арифметике. Каждое пред­ложение, выводимое из аксиом формализованной арифметики, обладает и «содержательным» доказательством, не уступающим по степени убедитель­ности формальной дедукции. Аксиоматический вывод всегда может быть преобразован в содержательное рассуждение с помощью интерпретации всех шагов вывода на «квазипредметной» модели. Последнее возможно по той причине, что сами законы счета, служащие прообразом аксиом формальной арифметики, не только обладают подобной интерпретацией, но и историче­ски могли быть осознаны только благодаря рефлексии над фактически осу­ществляемым пересчетом предметов путем перевода этой деятельности в план мысленного созерцания и представления. Так как вопрос об истинности аксиом не обсуждается в рамках дедуктивной теории, то справедливость лю­бого формально выведенного арифметического утверждения обусловлена принятием исходных основоположений, в то время как после «квазипред­метной» интерпретации этот момент условности полностью исчезает. А это означает, что переход на точку зрения аксиоматики не дает никакого выиг­рыша в отношении степени убедительности обоснования арифметических утверждений. Наличие независимой внешней проверки справедливости предложений теоретической арифметики лишает её «внутреннего стимула» к преобразованию в дедуктивную форму. Вследствие этого арифметика также ни при каких обстоятельствах не могла стать первой дедуктивной дисципли­ной.

В геометрии, напротив, наряду с утверждениями, не требующими обра­щения к логической дедукции (например, доказываемого путем перегибания равенства углов при основании равнобедренного треугольника), значитель­ное количество предложений не может быть доказано «предметным» обра­зом. Поэтому геометрия вправе претендовать на роль «прародительницы» аксиоматического метода. Но это само по себе не означает, что никакая дру­гая наука на подобную роль претендовать не может.

Для того чтобы в какой-то теоретической дисциплине могла зародиться идея логической дедукции необходимо, чтобы утверждения о свойствах её объектов не допускали иного способа проверки, кроме повторения процесса мысленного их конструирования в соответствии с заранее принятыми требо­ваниями. Такой дисциплиной могла бы, в принципе, стать и логика, пред­метная область которой вообще не ограничена никакими рамками. Во второй части параграфа, однако, показано, что осмысление практики дискуссий не может привести к возникновению идеи аксиоматического метода.

Существо дискуссии требует выхода за рамки формализованных пред­ставлений о предмете спора, поскольку с точки зрения дедуктивного метода оппонентам пришлось бы иметь дело одновременно с двумя противореча­щими друг другу системами аксиом. Последний удобен тогда, когда излага­ется и, соответственно, оспаривается только одна точка зрения.

Если содержательная сторона дискуссии служит препятствием для её эффективной аксиоматизации, то формальный её аспект вполне поддается изложению в духе логической дедукции. О чем бы ни шла полемика и кто бы в ней ни участвовал, в её «структуре» содержатся такие элементы, отказ от которых равносилен разрушению всей «конструкции спора». Если один из оппонентов согласился с тем, что из утверждения A следует утверждение B, а затем признал справедливость A, то он будет вынужден принять и утвержде­ние B, как бы это не было ему невыгодно или неприятно. Поставить под со­мнение заключительный вывод означало бы лишить в дальнейшем также и себя самого какого-либо способа принуждения противника. Аналогичным образом, нельзя не согласиться с одним из двух взаимоисключающих выска­зываний при условии, что оба они не могут быть одновременно ложными, а также с другими подобными «метаутверждениями», обязательность которых вытекает не из специфики «материи» спора, а из одной лишь его формы, «предполагающей» равные права участников дискуссии.

По мере накопления подобных универсальных правил и под напором критики вездесущих оппонентов рано или поздно придется поставить вопрос и об их обосновании. И тогда придется выделить среди этих правил про­стейшие и показать, что все остальные к ним сводятся. Но это и было бы де­дуктивным построением «теории ведения спора», или, в современной терми­нологии, логики высказываний. При таком сценарии первой дедуктивной наукой оказалась бы не геометрия, а логика. Однако на пути его реализации также возникают трудности.

Формальные правила, регулирующие поведение спорящих сторон, не зависят не только от содержания дискутируемых вопросов, но и от способа вывода заключений. Совершенно не важно, имеет ли он форму дедуктивного вывода из заранее оговоренных посылок, апеллирует ли к реальности или является всего лишь более или менее правдоподобным, рассчитанным на не­опытность оппонента рассуждением, во всех этих случаях в узловые мо­менты спора нейтральный судья-наблюдатель в состоянии вынести вердикт по поводу отдельных утверждений, ссылаясь на один только факт согласия каждого из участников спора с некоторыми из предшествующих предложе­ний. Апелляция к формальной схеме умозаключения может быть целесооб­разной лишь тогда, когда доказательство посылок вывода произошло доста­точно давно и оппонент мог уже и позабыть о нём, однако эта схема никогда не приводится в абстрактно-логическом виде, но всегда только в её содержа­тельном «обрамлении». Поэтому те правила вывода, которые создатель «тео­рии спора» мог бы извлечь из реальной практики дискуссий, расположив за­тем их в соответствии с канонами аксиоматического метода, всё равно ис­пользовались бы на деле в их неформальном, «дотеоретическом» виде, и особенности дедуктивного построения логики высказываний никак не отра­зились бы на реальном предмете теории. Для того чтобы подобная теория «работала», а только это и могло бы оправдать её существование (и после­дующую её аксиоматизацию), она должна способствовать отысканию таких новых способов умозаключений, которые в практике дискуссий прежде не встречались и появились в ней затем именно благодаря дедуктивной форме данной теории. Но это в действительности невозможно.

В дискуссии формальный момент всегда подчинен её предметному со­держанию. Если открытая дедуктивно-теоретически новая схема вывода «внедряется» в материальную ткань полемики, становясь ведущей стороной в одной из критических точек дискуссии, то это означает, что не зависящая ни от какого содержания схема в состоянии сформировать из «материи спора» адекватное себе содержательное умозаключение, способствующее достижению целей одного из участников диспута. Само собой понятно, что детерминируемая своим собственным содержанием структура дискуссион­ного процесса не допустит «вторжение» в неё со стороны «вещи», никак с этим содержанием не связанной. По этой причине если исторически дедуктивное изложение логики высказываний всё же возникает (как это имело место у стоиков), то оно должно быть привнесено в неё извне. Отсюда, в свою очередь, следует, что должна существовать особая предметная область, специфическое содержание которой, как и в геометрии, способно породить из себя идеи аксиоматики.

Специфическая роль геометрии в историческом становлении идей ак­сиоматического метода объясняется парадоксальным сочетанием двух про­тивоположных обстоятельств: хотя свойства геометрических объектов в силу их особой наглядности могут быть открыты и разъяснены независимо от ка­кой бы то ни было аксиоматики и дедукции, доказательство их истинности в большинстве случаев невозможно без опоры на предварительно сформули­рованные аксиомы и постулаты. Равенство внешнего угла треугольника сумме внутренних не смежных с ним углов не предполагает для объяснения его смысла каких-либо особых познаний в геометрии, однако для его доказа­тельства пришлось бы углубиться в основы аксиоматического метода.

В арифметике и догадка, и проверка истинности сделанного утвержде­ния вполне могут обходиться без явного формулирования дедуктивных ос­новоположений, касающихся свойств натуральных чисел, что, собственно, и делает в ней аксиоматический метод «излишней роскошью». В логике вы­сказываний сложные правила умозаключений невозможно, как и в геомет­рии, обосновать вне рамок аксиоматического метода, но уже сам способ их получения, коль скоро они не извлечены из реальной практики рассуждений, фактически является также и их доказательством. Если помимо геометрии никакая другая наука не обладает указанными ранее свойствами, это и озна­чало бы, что ставшее умозрительной дисциплиной искусство землемерия яв­ляется единственной областью знания, в лоне которой способен зародиться аксиоматический метод. Двойственный характер объектов «первой дедук­тивной науки», становящихся «идеальными» при окончательном изложении её результатов, но в процессе их обоснования не противополагаемых чувст­венной реальности и потому целиком принадлежащих ей, накладывает дос­таточно жесткие условия, чтобы отождествить их с геометрическими фигу­рами. Обоснованию этого утверждения и посвящена заключительная часть параграфа.


Каталог: common -> img -> uploaded -> files -> vak -> announcements -> filosof -> 14-04-2008
filosof -> Смысловая сфера культуры: модусы кризисного развития
filosof -> Идеи индийской философской традиции в западной духовной культуре (XIX-XX вв.)
filosof -> Архетип духа: смысловая динамика символизации в процессе антропогенеза
filosof -> Социальная динамика: философско-методологические основания дискурсивного управления в условиях глобализации
filosof -> Философско-антропологические основания русской идеи просвещения
filosof -> Социальная мифология в коммуникационном пространстве современного общества
filosof -> Соотношение рационального и иррационального в общественном сознании
filosof -> Философский анализ конфликта естественнонаучных и эзотерических концепций ХХ-XXI вв
14-04-2008 -> Маринов Михаил Будимирович


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   22


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница