Г. И. Рузавин логика и аргументация



страница29/54
Дата10.05.2018
Размер3.9 Mb.
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   54
Математическая индукция

Обычно такую индукцию считают типично дедуктивным способом умозаключения не только потому, что она приводит к достоверно истинным заключениям, а из-за ее использования в качестве специфического математического доказательства. Между тем исторически и по характеру рассуждения математическая индукция отличается от обычной дедукции тем, что она начинается с некоторого предположения, которое опирается на наблюдение некоторых частных случаев. Затем, допуская это предположение верным для некоторого случая, скажем, для числа п, доказывают, что оно верно также для последующего числа n + 1. Поскольку непосредственно было найдено, что предположение справедливо относительно натуральных чисел 1, 2, 3, то на основе доказанного предположения, т.е. перехода от п к n + 1, его переносят на все числа натурального ряда. Отсюда нетрудно понять, что математическая индукция опирается на особую структуру образования натурального ряда чисел, где каждое последующее число образуется путем прибавления единицы к предыдущему. Основываясь на этом свойстве натуральных чисел, Б. Паскаль и Я. Бернулли разработали метод доказательства с помощью математической индукции. Чтобы яснее представить суть данного метода, рассмотрим пример из элементарной математики, относящийся к установлению формулы п-го члена арифметической прогрессии. Если нам дана, скажем, прогрессия 1, 3, 5, 7, то каждый последующий член в ней образуется из предыдущего путем прибавления числа 2 – знаменателя прогрессии. Отсюда мы можем сделать допущение, что и во всякой другой арифметической прогрессии любой n-й член получается аналогичным образом. Следовательно, на индуктивной фазе рассуждения предполагается, что для прогрессии а1, а2, а3, ..., аn, an+1 ... ее п-й член ат определяется формулой



an = а1 + (n - 1) d.

Фаза доказательства должна продемонстрировать, что если формула верна для некоторого члена an, то она будет верна и для an+1. Для этого достаточно прибавить к предыдущему члену а знаменатель прогрессии а, тогда получим: an+1 = a1+d (n - 1) + d = an+nd . Если формула, как мы непосредственно убедились, верна для а1 = 1, то по доказанному она верна для а2 = 3, а3 = 5 и т.д. Таким образом, наше предположение верно для всех целых чисел, из которых состоит данная прогрессия.

Тот факт, что математическая индукция начинается с некоторого предположения (или гипотезы), сближает ее с индуктивными рассуждениями, но, так как предположение подкрепляется доказательством, основанным на переходе от an к an+1, это придает ей доказательный характер.


Следовательно, в математической индукции органически сочетаются индукция с дедукцией, предположение – с доказательством. Поэтому она находит такое широкое применение в математике. В ней догадка, открытие всегда сопровождается обоснованием и доказательством, а это требует, с одной стороны, приобретения опыта в умении догадываться, открывать новые соотношения, а с другой – овладения техникой математического доказательства.


Каталог: sites -> default -> files
files -> Валявский Андрей Как понять ребенка
files -> Народная художественная культура. Профиль Теория и история народной художественной культуры
files -> Отчет о научно-исследовательской работе за 2014 год ростов-на-Дону 2014
files -> Учебно-методический комплекс дисциплины философия для образовательной программы по направлениям юридического факультета: Курс 1
files -> Цветков Андрей Владимирович, кандидат психологических наук, доцент кафедры клинической психологии программа
files -> Программа итогового (государственного) комплексного междисциплинарного экзамена по направлению 521000 (030300. 62) «Психология»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   54


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница