Г. И. Рузавин логика и аргументация


Определение логических операций



страница15/54
Дата10.05.2018
Размер3.9 Mb.
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   54
Определение логических операций

Простейшей из логических операций является отрицание, с помощью которого из данного высказывания образуется противоречащее ему высказывание. В обычном языке операция выражается словами "неверно, что" или просто "не", в символическом – знаком отрицания, поставленным перед высказыванием. Если дано высказывание х, то его отрицание будет -x. В обычной речи отрицание чаще всего стоит перед глаголом и именной частью сказуемого. Например, отрицанием высказывания "2 есть четное число" будет высказывание "Неверно, что 2 есть четное число", которое ложно. Отрицая его, получим высказывание "Неверно, что 2 не есть четное число", которое равнозначно высказыванию "2 есть четное число". Это означает, что двойное отрицание приводит к первоначальному высказыванию. Обратите внимание, что высказывание, полученное путем отрицания первоначального, является противоречащим ему, т.е. оно отрицает нечто, но не утверждает что-то. Так, когда мы говорим, что "этот лист бумаги не белый", то не утверждаем, что он зеленый, синий или фиолетовый.

Для определения отрицания используется матрица (таблица) истинности, в которой в левой колонке даются два значения истинности ("истина" и "ложь") первоначального высказывания, а в правой колонке – его отрицания (табл.1). Истинность высказывания будет обозначаться буквой "и" или числом 1, ложь – буквой "л" и числом 0.

Если высказывание истинно, то противоречащее ему высказывание будет ложно, и, наоборот, если высказывание ложно, то противоречащее высказывание будет истинно.

Конъюнкция (логическое произведение) двух или нескольких простых высказываний образуется путем их объединения логической связкой "и". Например, если обозначить одно из простых высказываний буквой х, а другое – у, тогда их конъюнкцией будет сложное высказывание "х и у" или у", где знаком  обозначен конъюнктивный оператор (логическая связка). Простые высказывания, входящие в сложное, называются конъюнктивными членами.

Конъюнкция будет считаться истинной, если и только если все ее конъюнктивные члены будут истинными. Наличие хотя бы одного ложного члена превращает всю конъюнкцию в ложное высказывание. Исходя из этого нетрудно построить таблицу истинности для конъюнкции (табл. 2).



Дизъюнкция (логическая сумма) двух или нескольких простых высказываний образуется путем объединения их логической связкой "или". Союз "или" в языке чаще всего употребляется в исключающем смысле, когда происходит выбор между двумя альтернативами: либо одно, либо другое. Реже используется этот союз в неисключающем смысле, т.е. выражается словом "а также". В логике и математике связка "или" употребляется преимущественно в неисключающем смысле. Так, например, дизъюнкция "2 меньше 3 или 3 меньше 5" понимается в неисключающем смысле, так как не только 2, но и 3 меньше 5.

Неисключающая дизъюнкция считается ложной в том и только в том случае, когда все ее дизъюнктивные члены будут ложными. Поэтому достаточно одного истинного члена, чтобы дизъюнкция была истинной. Исключающая дизъюнкция истинна тогда, когда только один из ее членов является истинным, а другой – ложным. Она будет ложной, если оба ее члена одновременно истинны либо ложны. Оператор дизъюнкции обозначается символом  – для неисключающей дизъюнкции и символом  – для исключающей дизъюнкции.

Учитывая принятые соглашения, мы можем построить таблицы истинности (табл. 3) для неисключающей (слева) и исключающей (справа) дизъюнкции.

Операция импликации состоит в образовании сложного высказывания из двух простых высказываний посредством логической связки, обозначаемой словами "если..., то... " и приблизительно соответствующей условному предложению в естественном языке. В логике эту связку называют импликацией, и мы будем обозначать ее стрелкой.



Условное высказывание состоит из двух простых высказываний. То из них, которое вводится словом "если", называется антецедентом (предыдущим высказыванием), а также основанием, а начинающееся словом "то" – консеквентом (последующим высказыванием) или следствием условного высказывания.

В науке и повседневном мышлении условные высказывания употребляются для установления связи между высказываниями, которые могут иметь различную форму. С помощью понятий антецедента и консеквента определяются необходимые и достаточные условия. Так, антецедент есть достаточное условие (основание) для консеквента (следствия). Например, в высказывании "Если треугольник имеет равные стороны, то и все его углы будут равны" условие равенства сторон служит достаточным условием (основанием) для следствия – равенства его углов. Одновременно с этим можно сказать, что следствие является необходимым условием для основания, так как "Равенство углов треугольника есть необходимое условие для равенства его сторон".

В обычной речи часто не проводят различия между основанием и следствием, как логическим отношением, и причиной и следствием, как отношением реального мира. Убедиться в наличии причинной связи можно лишь путем конкретного исследования явлений окружающего нас мира. Если одно явление вызывает или порождает другое явление, то первое из них мы называем причиной, а второе – следствием. Так, нагревание стержня – причина – вызывает его удлинение – следствие. Эту зависимость мы устанавливаем эмпирически – путем наблюдения и измерения. Логическое отношение между основанием и следствием не нуждается в эмпирическом исследовании, так как устанавливается с помощью чисто логических рассуждений. В нашем примере равенство углов равностороннего треугольника выводится как геометрическая теорема.

Условные высказывания употребляются для выражения самых разнообразных отношений между высказываниями, но не во всех случаях при этом учитывается их содержание и смысл. В современной логике обращается внимание исключительно на связь между высказываниями по значению их истинности, потому что задача логики состоит в том, чтобы гарантировать истинность заключения из истинных посылок, а для этого необходимо перенести истинность с посылок на заключение. В связи с этим в логической импликации абстрагируются (отвлекаются) от содержания и смысла и обращают внимание только на связь высказываний по значению их истинности. В результате можно рассматривать импликации, которые выглядят бессмысленными и парадоксальными с точки зрения обычного, здравого смысла. Например, "Если 2 х 2 = 5, то Москва – большой город" считается не только допустимой, но и истинной импликацией.


Таким образом, импликация учитывает все случаи распределения значений истинности и считается ложной только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен.
Например, импликация "Если 2 х 2 = 4, то Москва – небольшой город" является ложной, так как ее антецедент – истинное высказывание, а консеквент – ложное.
Отсюда ясно, что импликация выражает важнейшее свойство правильных рассуждений. Известно, что из истинных посылок нельзя получить ложное заключение, если рассуждать правильно. Этот фундаментальный принцип лежит в основе всей дедуктивной логики и сохраняется при определении операции импликации.
Распределение значений истинности высказываний для импликации представлено табл.4, где стрелка обозначает импликацию.

Резкое расхождение между употреблением условных высказываний в естественной речи и современной логике породило немало споров и дискуссий, в которых логиков обвиняли в том, что они не учитывают смысловой связи между высказываниями, и поэтому приходят к бессмыслице. Но как уже подчеркивалось выше, логики рассматривают условное высказывание только как импликации, т.е. с точки зрения значений истинности антецедента и консеквента. Импликация является операцией формализованного языка, а не конкретным условным высказыванием, которое может пониматься по-разному в различных контекстах (причинная связь, отношение между достаточными и необходимыми условиями, связь основания и следствия и т.п.). Когда не учитывается различие между формализованным и естественным языком, между импликативным и условным высказываниями, тогда неизбежно возникают п а р а д о к с ы импликации, наиболее известные из которых связаны с отождествлением импликации с логическим следованием. Тот факт, что в импликации истинный консеквент получается из любого антецедента – истинного и ложного, стали истолковывать как утверждение, что истина с л е д у е т и з ч е г о у г о д н о. Или другими словами, что ложный антецедент имплицирует любой – истинный или ложный – консеквент, начали интерпретировать как утверждение, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Но эти утверждения не согласуются с нашими интуитивными представлениями, и поэтому выступают как парадоксы так называемой материальной импликации. В последние десятилетия были предприняты усилия по преодолению этих парадоксов и поиску таких логических понятий, которые более адекватно отразили бы смысловую связь в условных высказываниях. Весь вопрос, однако, состоит в том, как выявить такую связь в общем виде, независимо от конкретного содержания антецедента и консеквента. Во всяком случае импликации, претендующие на отображение смысла, будут заведомо более узкими, чем понятие материальной импликации.

Операция эквивалентности объединяет два высказывания, имеющие одинаковые значения истинности. Следовательно, будут эквивалентными, с одной стороны, истинные высказывания, а с другой – высказывания ложные. В противном случае высказывания считаются не эквивалентными. Исходя из этого легко построить таблицу истинности для эквивалентности, символом которой служит стрелка с противоположными концами (табл. 5).

Эквивалентность можно выразить на естественном языке словами "если и только если", и в таком виде она часто встречается в формулировке научных определений.

Кроме табличного определения логические операции (за исключением отрицания) можно определить через другие, с обязательным использованием отрицания. Действительно, применив табличный метод (табл. 6), можно убедиться, что выражения (х→у) и (¬y → ¬x) будут эквивалентными, т.е. (х→у)(¬у→¬x).

Каждая строка первой импликации и второй конверсной (обратной), полученной перестановкой отрицаний консеквента и антецедента первой, совпадают друг с другом. Следовательно указанные импликации будут эквивалентны.

С помощью таблиц истинности можно проверить, что и остальные логические операции можно определить через Другие две, причем второй операцией всегда будет отрицание. Например, дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию: у)(¬x ¬y).

Способ установления истинности сложных высказываний, образованных из простых с помощью таблицы, был предложен американским логиком Ч.С. Пирсом и оказался весьма удобным. Как мы видели, этот способ основывается на комбинации значений истинности простых высказываний и последующего определения истинности сложных высказываний, образованных с помощью операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Например, когда имеется два высказывания, то число различных комбинаций из их значений истинности будет равно 4, при трех – 8, при четырех – 16, а следовательно, при заданном числе п оно равно 2ⁿ. Отсюда нетрудно заметить, что определение истинности сложного высказывания сводится в сущности к вычислению ее на основе значений истинности простых высказываний. Это впечатление усилится, если мы обозначим истину как 1, а ложь как 0 и будем их комбинировать, чтобы образовать отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и т.д. В качестве иллюстрации вычислим значение истинности следующего выражения: (хy) (x z).



При некотором навыке процесс вычисления можно ускорить, обратив главное внимание на основную операцию, которая связывает две части формулы. В приведенном примере (табл. 7) достаточно заметить, что ложная импликация возникает при истинном антецеденте и ложном консеквенте. Отсюда легко определить возможные значения х и у в дизъюнкции у), а также значения х и z в конъюнкции z). Такой сокращенный способ вычисления истинности сложного высказывания основывается на установлении главной логической операции в рассматриваемой формуле.


Каталог: sites -> default -> files
files -> Валявский Андрей Как понять ребенка
files -> Народная художественная культура. Профиль Теория и история народной художественной культуры
files -> Отчет о научно-исследовательской работе за 2014 год ростов-на-Дону 2014
files -> Учебно-методический комплекс дисциплины философия для образовательной программы по направлениям юридического факультета: Курс 1
files -> Цветков Андрей Владимирович, кандидат психологических наук, доцент кафедры клинической психологии программа
files -> Программа итогового (государственного) комплексного междисциплинарного экзамена по направлению 521000 (030300. 62) «Психология»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   54


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница