Философские проблемы математики



страница6/16
Дата12.01.2018
Размер1.32 Mb.
ТипЗадача
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
Глава 3.
Философия математики как становящаяся научная дисциплина

В первой главе мы рассмотрели, какие проблемы обсуждаются в философии математики и вполне убедились, что по всем вопросам, которые значимы в этой области философии, идут споры. Ибо в философии математики, как и в любом разделе философии, есть точки произвольного выбора, и если мы останемся в рамках философии, то нам придется все время иметь дело с противоположными взглядами, которые невозможно свести в какую-то одну картину. Однако во второй главе были изложены представления о науке, которые помогут осознать суть математики и трудности в понимании ее развития в рамках научной картины, что означает преодоление оппозиций. Третья глава посвящена тому, как можно средствами теории социальных эстафет М.А. Розова осознать проблемы, которые вызывают споры в рамках сугубо философского исследования математики.

Будет показано: 1) как можно снять оппозицию платонизма и антиплатонизма; благодаря представлению о том, что математические объекты – это куматоиды; 2) возникновение, строение математических объектов будет осознано как конструирование, что позволит понять специфику математики, которая, действительно, не находит свои объекты в природе, а конструирует их - но конструирует отнюдь не произвольно, а в процессе решения практических задач, что очевидно для первого периода развития математики – арифметики и геометрии эпохи Евклида, хотя и менее очевидно для математики последующих эпох; 3) вопрос о том, имеют ли место научные революции в математике, можно осознать в рамках других представлений о науке, чем у Куна, и другого видения революции в науке, тогда ответ на вопрос о революциях в математике будет звучать иначе; 4) вопрос, который очень волнует многих математиков – ради чего работают математики. Математика конструирует свои объекты. Однако. Какими целями математики при этом руководствуются? Если на первых этапах практическая обусловленность математических построений была явно видна, то в таких современных областях. Как теория множеств, топологи и т.п. – связь с практикой (или с другими науками, прежде всего, с теоретической физикой) совершенно не видна. С.П. Новиков дал глубокий анализ установок математиков, которых во многих случаях не волнует, ади чего математики работают, не волнует то, что связь с физикой потеряна. А математики просто работают по образцам математической деятельности – строят аксиоматику, доказывают теоремы существования для тех случаев. В которых физика уже решила проблемы (Новиков, 2002). 5) рассмотрим также вопрос о том, действительно ли в математике все всегда определяется и доказывается, что все в математике выводится из аксиом. Важно, что отрицательный ответ на эти вопросы вовсе не уронит престиж математики, а приблизит наше видение ее сущности и механизмов развития к реальности, ибо мы опираемся при этом не только на умозрительные соображения о том, что такое строгое математическое исследование, не только на представления о том, каким бы оно должно было быть, но и на материал истории формирования многих важнейших разделов математики, где вовсе не имел место вывод из аксиом, а имели место физические аналогии, как у Архимеда, весьма неточный язык бесконечно малых и т.п. В итоге философия математика предстанет перед нами дисциплиной, где станет меньше антиномий, за счет того, что она, во-первых, использует современные средства эпистемологии – представления о нормальной науке Куна, идеи Лакатоса, Полани, концепцию социальных эстафет Розова, а во-вторых, все построения философии математики будут опираться на историю науки.


Мы рассмотрели, таким образом, целый ряд точек произвольного выбора в философии математики, когда ее проблемы не решаются тысячелетиями, поэтому вполне оправдана установка на эпистемологизацию этой области философского знания. Для осуществления такого поворота есть все условия – во-первых, есть модель науки – Куна, и усовершенствованная Розовым его модель, трактующая науку как куматоид, и рассматривающую в составе каждой науки программы получения знаний и коллекторские программы систематизации знания. Опишем, какое видение философских проблем математики дают эти средства.
3.1. Способ бытия математических объектов.
Математические объекты как куматоиды
Трудности в понимании сущности числа обусловлены тем, что при действии с числами не все дано исследователю – дана запись числа – некий знак, «закорючка». Но эта запись совершенно не «подсказывает», как действовать с числом, в противовес изучению объектов в рамках физики, химии, биологии и т.л., где действия с объектами вытекают из их материала – вещество можно нагревать, намагничивать, просвечивать рентгеном и т.п. Правила же действия с числами не обусловлены материалом знака. Знаки геометрии – чертежи, - носят несколько иной характер, это – знаки пиктограммы, сами геометрические знаки «подсказывают», какие действия можно осуществлять с ними – опускать перпендикуляры в треугольнике или трапеции, вписывать в круг другие геометрические фигуры, продолжать линии и т.д. Такие знаки как числа, интегралы – это неатрибутивные объекты, именно потому, что правила действия с ними не содержатся в записи числа, в материале знака. Правила определяются не записью знака, не его формой или материалом, а человеческой деятельностью, Культурой.

Итак, рассмотрим вопрос о способе бытия математических объектов. Основное, что нас при этом будет интересовать, - с помощью каких средств рационально рассматривать вопрос о реальности математических объектов. Будем стремиться к тому, чтобы избежать представлений о том, что математические объекты существуют в особом, интеллигибельном мире, также, как и о том, что они существуют в голове математика (Рассел 1998 С. 50-51) или что «мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи» (Цит. по Бурбаки 1963 С. 29). Многовековые споры о том, где и как существуют эти объекты, обусловил наше обращение к другим средствам изучения этой проблемы, чем это традиционно имело место – к сравнительно новой концепции знака и знания, предложенной в рамках теории социальных эстафет М.А. Розовым. Математические объекты при этом сближаются с гуманитарными, и именно такое их рассмотрение позволяет, как представляется, наметить выход из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом: «если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими объектами» (Цит по Целищев 2007, с. 47).

Мы уже отмечали, что вопрос о том, где и как существуют математические объекты, ставится давно. Еще Платон и Аристотель обсуждали вопросы о том, что такое число, что такое общее. Платон, как известно, противопоставлял понятия как единственно действительные сущности чувственному бытию. В главе 9 первой книги «Метафизики» Аристотель от имени всей платоновской школы говорит, что «ни один из способов, какими мы доказываем, что эйдосы существуют, не убедителен» (Аристотель, 1976. С. 86). Он полагает, что следует, по-видимому, считать невозможным, чтобы отдельно друг от друга «существовали сущность и то, сущность чего она есть; как могут, поэтому, идеи, если они сущности вещей, существовать отдельно от них?» (Аристотель, 1976, С. 88). «Не дается также никакого объяснения, как существует или может существовать то, что ... идет после чисел – линии, плоскости и тела, и каков их смысл».

И в наши дни воспроизводятся и воззрения Платона, и их критика. Так, В.В. Целищев пишет: «Прежде всего, весьма проблематично понятие существования в нематериальном мире, которое присуще широкому спектру философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм, как оформленное Пифагором и Платоном философское учение, мотивировался математикой» (Целищев 2007, С.41). Автор книги ставит вопрос, в какой степени математика ответственна за те неприемлемые по философским основаниям положения, которые свойственны платонизму: «В частности, платонизм в области математики утверждает существование другого, нематериального, мира, населенного математическими объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык указывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими сущностями». (Целищев, 2007. С. 42).

Ссылаясь на Бенацеррафа, В.В. Целищев формулирует следующую дилемму: «если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то, как он может познавать математические объекты?» (Целищев 2007, с.46). Он подчеркивает, что дилемма ставит перед нами выбор – либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Он совершенно справедливо признает, что обе возможности не выглядят привлекательными.

Однако зададим вопрос – почему рассматриваются только две возможности? Почему надо безоговорочно признавать, что когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты? Почему признание чисел как объектов исследования необходимо требует неестественных способностей человека в отношении сбора информации? Ведь кроме естественных наук и математики есть еще одна группа наук – гуманитарные, методы исследования которых позволяют изучать такие «объекты», как язык (вообще тексты), литературные герои, прошлое, не являющиеся «чувственными» объектами в полном смысле?

Подчеркнем, что В.В. Целищев совершенно прав, когда он приводит слова У. Харта (и присоединяется к ним), что надо приветствовать переформулировку основных положений эпистемологии математики, надо осуществить эпистемологический поворот в философии математики (Целищев 2007 С.46). Однако, рассматривая эпистемологические проблемы, он снова возвращается к позиции П. Бенацеррафа, уже приведенной нами выше, который считает, что невозможен эпистемологический доступ к математическим объектам.

Действительно, математические объекты отличаются от растений, животных, горных пород, которые ученые приносят в лабораторию и с которыми они вступают «в чувственный контакт» - взвешивают, изучают форму, цвет и т.д. Однако нельзя сказать, что математические объекты совершенно не даны человеку в его чувственном опыте – человек видит математические знаки, отличает интеграл от дифференциала, одно число от другого и т.д. Но и каждый согласится, что способы действия с математическими объектами не определяются чувственным обликом этих объектов. Для исследования проблем, поставленных В.В. Целищевым, воспользуемся его советом осуществить эпистемологический поворот и обратимся к теории социальных эстафет, которую мы рассмотрели выше, а также к его статьям «К методологии анализа феномена идеального» (Розов, 2006-3) и «Способ бытия математических объектов» (Розов, 2007) . В последней статье он приводит ряд соображений, цель которых - показать тесную связь названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук и замечает, что на наличие такой связи в принципе уже указывали и сами математики, например, Гудстейн. Именно в сближении проблем философии математики и гуманитарных наук, в использовании в философии математики средств для анализа семиотических объектов гуманитарных наук, в частности, теории социальных эстафет, мы видим эпистемологический поворот, который следует совершить, чтобы попытаться выйти из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом.



В статье «К методологии анализа феномена идеального» М.А. Розов вводит принцип персонификации, т.е. показывает, что отношение человека к вещи – это всегда отношение «человек – человек»: «Можно сформулировать общий принцип, согласно которому любое отношение человека к окружающим объектам всегда опосредовано его отношением к другому человеку. За отношением «человек – вещь» всегда скрывается отношение «человек – человек» в качестве ис­ходного и определяющего. Назовем это утверждение принципом пер­сонификации. Каждый из нас живет в окружении многих привычных вещей, которые он использует строго определенным образом. Может показаться, что способ употребления, способ действия, прежде всего, определяется свойствами самой вещи, что с ней просто нельзя обходиться иначе. Но это не так. Запустите в свою квартиру стадо обезьян, и вы убедитесь, что знакомые вам предметы гораздо более полифункциональны, чем вы думали раньше. И если вы не перевора­чиваете свой письменный стол, не раскачиваетесь на люстре и не используете книжный стеллаж в качестве шведской стенки, то это вовсе не потому, что названные предметы сами не допускают столь безобразный способ их употребления. Они допускают, но это не при­нято. Иными словами, ограничивают нас не вещи, а нормативные сис­темы, в рамках которых мы живем, т. е. другие люди. Способ дейст­вия с предметом не вытекает непосредственно из его физических, химических и прочих свойств. Эти свойства, конечно, ограничива­ют круг возможных действий, но оставляют его всегда практически бесконечным. И в этом плане нет никакой существенной разницы меж­ду письменным столом и фигурой на шахматной доске. В обоих случа­ях мы имеем дело с определенным материалом, но письменный стол и ферзь – это не материал сам по себе, а функция, которая закреп­лена за этим материалом и «записана» в нормативной системе общест­ва. Отсутствие однозначного соответствия объективных свойств вещи и способов ее использования порождают, по М.А. Розову, в конечном счете, феномен идеального. Он приводит слова Платона из «Государства» о геометрах «Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведениям ваяния и живописи: от них падает тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (Платон, 1971. С. 318- 319). Работая с чертежом и строя свои утвержде­ния, геометр не обращает внимания на неровности линий, на то, что диагональ проведена не до конца, и на многие другие небреж­ности исполнения. Этих небрежностей для него как бы не существу­ет. Иначе говоря, поведение геометра и его утверждения не могут быть выведены из особенностей того объекта, с которым он непосредственно действует, он действует как бы с чем-то других. И Платон вводит представление об особых идеальных объектах. Основная мысль статьи М.А. Розова следующая: «Идеальное – это феномен определенной точки зрения, определенной позиции, точнее, это феномен неполноты выделения исследуемой системы. Стоит нам ограничить себя анализом отношения «человек–предмет», «человек – вещь», стоит забыть принцип персонификации, и сразу оказывается, что поведение человека не выводимо из объ­ективной ситуации, а иногда прямо ей противоречит. Оперируя не­посредственно с конкретным, чувственно данным предметом, человек в то же время действует как бы с чем-то другим. Видимый предмет точно одевается невидимыми гранями, которые определяют поведе­ние человека. Это другое и есть идеальное, ибо в рамках выде­ленной системы его никак нельзя определить, кроме как через про­тивопоставление материальной вещи. Но стоит расширить систему, раздвинуть ее рамки, и станет ясно, что человеческое поведение детерминировано другими людьми, обществом в целом, что оно глу­боко социально по своей природе, и что феномен идеального – это только эхо или тени, подлинные причины которых не попали в поле нашего зрения» (Розов, 2006-3 С.82).

В более поздних работах М.А. Розов различает атрибутивные свойства объектов, т.е. такие свойства, которые вытекают из их материала, и неатрибутивные, способы действия с которыми определяются не их материалом, а чем-то другим. Семиотические объекты неатрибутивны, т.е. способы действия с ними определяются не их материалом, а традициями, эстафетами, в которые включены знаки, в том числе – математические. Рассматривая вопрос о способе бытия математических объектов, М.А. Розов обращается к аналогии чисел и шахмат, которую использует Р.Л. Гудстейн «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахмат­ным правилам, формулируются в терминах дозволенных пре­образований числовых знаков» (цит. по Розов, 2007. С. 62). Шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят се­бя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Эстафеты – это способ бытия и математических объектов – делает вывод М.А. Розов: «объекты математики такие, например, как натуральные числа,– это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос­производят себя по принципу нормативных систем. Иными сло­вами, математические объекты существуют как нормативные системы. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска­занное выше означает их независимость от индивидуального че­ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо­стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам» (Розов, 2007. С. 66-67).

Представления о математике как социальной науке развивает также Р. Коллинз в Эпилоге своей книги «Социология философий» (Коллинз, 2007), где автор выстроил сети личных связей между философами и учеными, как по вертикали (учитель-ученик), так и по горизонтали (кружки единомышленников, соперничавших между собой). Сети, которые представлены в книге, включают и математиков, ибо философы часто были и математиками и наоборот. Кроме того, из всех научных дисциплин сообщество математиков функционирует наиболее продолжительно. Коллинз пишет, что математика социальна в двух смыслах: 1) каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия; 2) предметом математики являются операции, а не вещи. Он считает, что «второй аспект еще более ярко показывает, что математика насквозь социальна» (Коллинз, 2007, С. 104-105). «Операции математики социальны, начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же согласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур, вы придете к тому же заключению» (Там же).

Коллинз специально подчеркивает, что предметом математики являются операции, а не вещи. Математика не является областью, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Он говорит, что легко полагать число вещью, ибо оно может считаться существительным в предложении. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо при произнесении последовательности «1, 2, 3 …», число изначально является деятельностью (или операцией) перечисления. Предлагая понимание математических объектов, существенно отличающееся от традиционного, Коллинз приводит объяснение того, что устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Один аргумент - объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям, начерченным на песке. Другой – числа – это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. «В обеих линиях аргументации делается одинаковая ошибка: допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий – операций математического дискурса. Универсалии и идеалы – это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дискурс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру» (Там же).

Апелляция Коллинза к миру человеческих действий при анализе вопроса о сущности математических объектов, к человеческому общению, к сетям коммуникаций созвучна и мнению Гудстейна (число – это роль, которую играет соответствующая цифра), и представлениям Розова, во-первых, в некоем глобальном смысле – что решение вопроса, где и как существуют объекты математики, нужно искать в области гуманитарного познания, а во-вторых, совпадает и конкретное видение сути математических объектов – а именно, тот и другой автор видит эту суть в коммуникациях между людьми. Коллинз называет это сетями, Розов – эстафетами.

Однако есть и различие. М.А. Розов различает непосредственные эстафеты, которые являются воспроизведением образцов, находящихся в поле восприятия человека, и опосредованные – заданные описанием транслируемого действия. Суть теории социальных эстафет состоит именно в утверждении о том, что в основе всей Культуры, прежде всего языка, простейших (основных) производственных действий лежит непосредственное воспроизведение опыта. Впоследствии наряду с непосредственными образцами, определяющими действия человека, появляются и правила, однако обычно человек, владеющий языком, может и не знать правил (а говорить при этом верно), да и все правила невозможно сформулировать. Все это перекликается с идеями неявного знания М. Полани. Существенно, что в эстафетах М.А. Розов выделяет, во-первых, транслируемое содержание, и, во-вторых, собственно эстафету – от кого кому происходит передача образца (способа действия). Коллинз описывает сети передачи опыта, но не говорит о содержании того, что идет по сетям. В этом смысле сети математиков ничем по типу не будут отличаться от сетей историков или кого-то еще. Теория же социальных эстафет позволяет поставить вопросы о появлении опосредованных эстафет, о формулировании норм (грамматических, правил в математике и т.д.), а также о том, все ли правила выявлены в каждом случае. Обычно выявлены не все правила языка, правила математических рассуждений и т.д. Иначе говоря, даже после выявления некоторых правил, еще остается существенной роль образцов рассуждений. Возникает вопрос о стационарности эстафет, который М.А. Розов решает, обращаясь к социальному контексту. Каждый предмет, который мы как-то называем, похож в том или ином отношении на остальные – по цвету, по форме, материалу или чем-то еще. Но человеку, которому указали на предмет и назвали его «пепельницей», уже известна таблица цветов, известны формы и т.д. Иначе говоря, человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных образцов. «Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы. Стационарность нормативных систем – это со­циальный, а не биологический феномен и если быть точ­ным, то можно говорить только об относительной стационар­ности» (Розов 2007, С. 66).

Воспользуемся еще одним понятием – понятием социальный куматоид. Это некоторое устройство социальной памяти, для которого характерно наличие инвариантов – программ, в рамках которых организуется деятельность большого числа людей. Программы – это инварианты, а люди все время меняются, представляя собой некий поток, некий постоянно обновляющий себя материал, программы же остаются неизменными. Программы могут представлять собой четко сформулированные и записанные инструкции или неявное знание, которое передается от человека к человеку путем воспроизведения непосредственных образцов, т.е. путем эстафет.

Любое слово, любой математический объект – это куматоиды. Представив математический объект как куматоид, можно сформулировать программу его исследования, а именно – можно поставить задачу выяснить, какая программа связана с каждым из объектов, как эта программа складывалась, сформулированы ли, например, правила действия с числами, или люди действуют по образцам, что изменяется тогда, когда появляются правила. Так, в статье моего аспиранта Ю.В. Пушкарева (Пушкарев 2004) проанализирована история формирования понятия интеграл. Возникновение метода интегрирования связывают с именем Архимеда, который предложил формулу вычисления объема шара новым методом. Пушкарев показал, как происходил переход от представлений об интегралах как средствах вычисления площадей и объемов к анализу их как полноправных объектов математики, которые интересны и важны сами по себе, а не только как средства решения задач механики (в работах Ньютона) или астрономии (у Кеплера). В статье исследована роль рефлексивных преобразований в становлении интегрального исчисления, роль программно-предметных комплексов дисциплин в возникновении математического анализа, значение ценностных установок в этом процессе. Все эти вопросы важны для изучения механизмов новаций в математике и сформулированы в рамках эстафетной модели науки. Так выполненный анализ формирования и видоизменения математического знания вполне отвечает вполне определенной эпистемологической ориентации, о необходимости которой говорит В. В. Целищев: «Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины» (Целищев 2007 С. 48). Фактически В.В. Целищев считает, что надо перейти от обсуждения сугубо философских вопросов, касающихся математики, таких, которые с неизбежностью всегда будут порождать споры в силу самой природы философии, для которой характерно наличие точек произвольного выбора (Розов 2006-2), к изучению эпистемологической специфики математики, приближающейся по характеру работы к научной дисциплине, многие утверждения которой могут быть верифицированы или фальсифицированы фактами истории науки, или, говоря словами И. Лакатоса, когда история науки выступает как пробный камень методологии науки. Эстафетная модель науки, предложенная М.А. Розовым как развитие модели науки Т. Куна предоставляет богатые возможности такой эпистемологической переориентации.

Таким образом, М.А. Розов решает этот вопрос о способе бытия математических объектов путем выявления тесной связи названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук – где и как существуют такие объекты, как слово или литературные герои. Объекты математики такие, например, как натуральные числа, – это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос­производят себя по принципу нормативных систем. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска­занное означает независимость математических объектов от индивидуального че­ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо­стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но, будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам.

Аналогичную точку зрения проводит Р. Коллинз, автор фундаментальной монографии «Социология философий», где он строит и изучает сети личных связей как вертикальные (учитель-ученик), так и горизонтальные (кружки единомышленников). Коллинз развивает социальную концепцию творчества и выступает против платонистской трактовки математики – т.е. против того, что матема­тические истины существуют в некотором особом царстве, никак не со­относящемся с человеческой деятельностью по формулированию мате­матических утверждений. Он говорит, что математика имеет социальную природу в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе (математики включены в сеть учителей) и математические объекты столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия.

Соглашаясь с отказом Коллинза от наивного реализма и платонизма и признавая социальную сконструированность знания, Н.С. Розов полагает, что необязательно сводить, подобно Коллинзу, реальность объектов естествознания к лабораторному оборудованию, а реальность математических объектов – к коммуникативным операциям. Он занимает позицию, названную им генеративным виртуализмом, что включат в себя а) чисто ментальный характер математических миров; б) потенциал бесконечного развертывания; в) жесткость, «упрямство», отсутствие произвольности в следствиях заданных конструкций.

Если принять концепцию М.А. Розова о том, что числа – это роли обозначений и существуют как эстафеты, или куматоиды, то это снимает мистику существования чисел в сознании человека, как и в особом интеллигибельном мире и нацеливает исследователя в области философии математики на изучение программ, определяющих, что такое число, что такое интеграл, группа и любой другой математический объект, как складываются и видоизменяются эти программы, например, как появляются такие интегралы, как интеграл Лебега, Стильтьеса и т.п. Самостоятельной линией изучения является (и она реализована в истории математики) анализ того, как складываются обозначения, прежде всего, как формируются обозначения числа – как возникают разные формы записи чисел. Программы, связанные с теми или иными обозначениями, далеко не всегда существуют в виде правил. Как и следует из эстафетной модели Розова, способы действия с обозначениями (числами, интегралами и т.д.) заданы с помощью письменных «инструкций», но главным образом, эти правила заданы образцами предшествующей деятельности. Скажем, есть правила дифференцирования функций (которые тоже записаны с помощью специальных обозначений), но этого нельзя сказать о вычислении интегралов, здесь основное правило – приведение подынтегрального выражения к табличному виду. И здесь в основном действуют по образцам – как раньше приводили те или иные подынтегральные выражения. Правила действия с числами заданы таблицей умножения. Отсутствие явно сформулированных правил для большинства операций поддерживает мистику, связанную с математическими объектами - полагают, что операции осуществляются «в уме», тогда как все «выложено на конвейер» - обозначения даны человеку, и здесь работают чувства – любой человек научается распознаванию чисел и других математических объектов, правила (приемы) вычисления изучаются в школах и университетах.


Вопросы

    1. Согласны ли Вы с тем, что для ответа на вопрос, где и как существуют математические объекты, можно попробовать сближать это объекты не с объектами естествознания, а с объектами гуманитарных наук?

    2. Какие представления об идеальном развивает М.А. Розов? (можно воспользоваться его статьей: Розов М.А. К методологии анализа феномена идеального // Философия. Материалы для выполнения учебных заданий по философии. Новосибирск, 2003, стр. 109-114.

    3. Стремясь познать суть математических объектов, Р. Коллинз апеллирует к миру человеческих действий, М.А. Розов – к социальным эстафетам. В чем сходство и различие их подходов?

    4. Что такое социальный куматоид? Что дает для понимания математических объектов представление их как куматоидов?

    5. Что такое эпистемологический поворот в философии математики?

3.2. Программа «конструктор» как способ задания объектов математики


В 2009 году вышла большая статья М.А. Розова «Тезисы к перестройке теории познания» (Розов 2009). Один из тезисов посвящен познанию и инженерному проектированию. М.А. Розов развивает в своих работах теорию социальных эстафет, в основе которой лежит представление о воспроизведении деятельности по уже существующим образцам. Однако он пишет в «Тезисах…», что в целом это принципиальное, но очень упрощенное представление, и что исторически на базе эстафет и накопления знания формируются принципиально новые механизмы, и, прежде всего, такое образование, как конструктор. Под конструктором Розов понимает «такую социальную программу, обычно частично вербализованную, а частично нет, которая позволяет нам проектировать деятельность по созданию объектов с заранее заданными свойствами. В рамках такой программы работает любой инженер, получивший проектное задание, сходным образом работает и ученый. Оба отталкиваются от набора функциональных характеристик некоторого объекта и пытаются создать проект его построения. Знание представляет собой не только описание уже реализованной деятельности, но и проекты деятельности, которые еще надо реализовать, если это практически возможно. Существует глубокий изоморфизм между работой инженера и исследователя» (Розов 2009 С.108). Называя конструктором «некоторое множество объектов, для которых заданы определенные способы их преобразования» (Розов 2004 С. 281), М.А. Розов в основном рассматривает, как функционирует конструктор в экспериментальных науках – физике, химии и т.п. Рассмотрим эти случаи и затем сопоставим их с функционированием конструктора в математике.

Большинство программ получения знаний (методических программ) в науке не существуют без программ конструирования. Так, эксперимент Лавуазье, доказывающий, что вода состоит из кислорода и водорода, - это некоторая методическая программа, образец, который можно воспроизводить. Розов показывает, что эта экспериментальная ситуация возникла не сама по себе, не как случайное стечение обстоятельств, она была предварительно сконструирована, был построен, а затем реализован определенный проект (Розов 2006-2 С. 342). Для понимания того, как работает конструктор в математике, нам более важны представления о теоретическом конструировании. Для такого конструирования существенно, что реализация заданных образцов или правил всегда возможна и всегда приводит к одному и тому же результату – «мы не учитываем и не оговариваем множества различных привходящих обстоятельств, которые подстерегают нас при работе с эмпирическими объектами» (Розов 2004 С. 282). На естественный вопрос – с чем же мы работаем, с чем оперируем в рамках теоретического конструктора, обычно дают ответ о действиях с идеальными или идеализированными объектами, где появляются мысленные процедуры. Однако, совершенно не ясно, как изучать такие мысленные процедуры, ментальные состояния и т.п. Новаторство М.А. Розова в эпистемологии состоит в том, что он показывает, как можно полностью обойтись без подобных представлений. Он считает, что тайна работы в теоретическом конструкторе кроется в разделении труда. Так, например, человек забивает гвоздь, работая с реальными предметами – гвоздем, молотком, доской. Он много раз забивал гвоздь и действует, воспроизводя имеющиеся у него образцы. При возникновении ситуации, когда надо объяснить другому, как забить гвоздь, человек рассказывает, как надо действовать. С какими объектами действует при этом инструктор? Розов говорит, что ничего не изменилось, кроме одного – раньше тот, кто забивал гвоздь, непосредственно воспроизводил образцы своего ремесла, а теперь он вынужден вербализовать их в форме набора команд. Он оперирует при этом образцами и командами, но работает он теперь в теоретическом конструкторе, ибо предполагает, что все его команды реализуемы и в данной конкретной ситуации, отличной от той, которую он когда-то наблюдал. Ученик же может столкнуться с тем, что гвоздь согнулся и т.д. Не случайно, поэтому, теоретические тексты очень напоминают такого рода команды. Таким образом, было «сконструировано» теоретическое исследование, где нет необходимости прибегать к «мысленным процедурам» с идеализированными объектами

Розов, таким образом, связывает теоретическое исследование не с мифическими мысленными процедурами, а с вербализацией образцов прошлой деятельности, когда один человек объясняет другому, как действовать в тех или иных случаях (первый уже владеет этими действиями).

Математика существенно отличается от эмпирических наук тем, что в ней нет эмпирической референции, математика непосредственно не имеет дело с природными, вещественными объектами. Если физик, химик, биолог может экспериментировать со своими объектами – нагревать, сжимать, измерять и т.д., то математик имеет дело с объектами, обозначенными символами – чертежами и разного рода символикой. М.А. Розов показывает, что числа – роли обозначений (Розов 2007). Но как заданы роли? Роли заданы способами действий. Здесь и начинается функционирование конструктора в математике. Число, треугольник, любой другой математический объект всегда связан с теми или иными действиями, которые можно (или нельзя) совершать с символами. Итак, одна из функций конструктора в математике – задание объекта исследования, ибо человеку важно не столько то, что есть такой объект, как число, но, прежде всего то, что можно с числом делать (складывать, умножать, делить и т.п.) и какие задачи можно решать с помощью чисел. Прежде всего, нужно представить число, записать его, хотя и до традиции записей существуют способы установления некоторых соотношений, например, не умея считать, хозяин, тем не менее, может знать, все ли стадо возвратилось домой. Система записей в разных культурах различается, и это свидетельствует, в том числе, и о том, что числа не были даны кем-то всем культурам, а возникали в каждой в своем, специфическом виде. Принципы записи чисел – это один из первых конструкторов в арифметике, который совершенствуется чуть ли не до наших дней (если учесть возникновении двоичной системы для нужд компьютеров). Историк арифметики И.Я. Депман пишет, что перед людьми, освоившими натуральный ряд чисел до некоторой достаточно далекой границы, встала необходимость создания удобных способов называния и записи чисел (Депман 1965 С. 26). Слово «освоившими» здесь не совсем точно, ибо люди не нашли числовой ряд в природе, а построили его. Депман пишет, что счисление было бы безнадежным, если бы каждому числу присваивалось особое название. «Но люди вскоре догадались, что считать надо группами, называя группы теми же именами числительными, как единицы, но с добавлением названий групп» (Там же). Люди должны были, таким образом, создать удобные способы называния и записи чисел. Одновременно с формами записи чисел возникают правила сложения и других арифметических действий. Проблемой было не только создание правил действия с числами, но и создание символики для обозначения действий. Принятые ныне знаки плюс, минус, равенство, скобки и другие возникают в Европе, начиная лишь с XY века.

Итак, математик имеет дело с символами или знаками-пиктограммами. Суть математики состоит в том, что математик строит правила действия с числами, другими символами, чертежами, т. е. работает в рамках того или иного конструктора, который он сам и создает.

Важным фактором развития математики было осознание математиками того обстоятельства, что математика нуждается в алгоритмах, или правилах (т.е. в конструкторах), а не только в нахождении тех или иных зависимостей. Я имею ввиду, например, факты из истории становления интегрального исчисления, когда Архимед, Кеплер и ряд других математиков стремились найти площади криволинейных фигур, тогда как исчисление было создано, когда осознали, что нужно искать (строить) метод нахождения площадей, максимумов и минимумов, а не только сами максимумы и минимумы. Первый шаг в этом направлении сделал сам Архимед, который понял, что он получил два результата – нашел площадь (объем) криволинейных фигур и – решил эти задачи новым методом, которым, как он провидчески предвидел, возможно, впоследствии можно будет пользоваться и для решения других задач: «Он [этот метод] может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову» (Архимед 1962 С. 299).

Однако когда Лейбниц ввел определение дифференциала, предложил для него обозначение и сообщил без доказательства правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и степени, его работа долго оставалась непонятой. Это тем более удивительно, что правила не были чем-то новым в математике, ими более или менее осознанно пользовались все те, кто занимался тогда проблемами касательных, максимумов и минимумов и т.д. (Медведев 1974 С. 112). Причина этого непонимания была в том, что сформулированные правила были «выставлены Лейбницем в качестве общего исходного пункта для всех инфинитезимальных исследований, … что связь их с символикой делает их основой исчисления, с помощью которого можно производить разнообразные инфинитезимальные исследования таким же образом, как исследования анализа конечной величины с помощью буквенного исчисления» (Цейтен 1933 С. 409). Здесь очень важно обратить внимание на следующее – новаторство Лейбница состоит не в том, что он предложил новые правила, а – в другом осознании этих правил. Правила были не столько средством нахождения определенных геометрических величин (максимумов, минимумов, касательных), сколько самостоятельным результатом, основой исчисления, с помощью которого можно было производить «разнообразные инфинитезимальные исследования», а не только те, которые привели к этим правилам. Осуществление этого рефлексивного преобразования и делает Лейбница одним из авторов дифференциального и интегрального исчисления.

Использование математики при решении задач механики, физики сделало их точными науками и привлекательным образцом для подражания. Во второй половине ХХ века много пишут о математической лингвистике, математической экономике и других подобных дисциплинах, где надеялись средствами математики решить их основные проблемы. Однако надежный способ математизации (или математического моделирования) имеет место только в том случае, когда есть некоторый инверсивный (двойственный) объект, с одной стороны, фиксирующий важные свойства реальности, а, с другой, представляющий собой задачу, которая может быть решена математически. Такова, например, задача фанерного треста о таком раскрое листа фанеры, чтобы отходы были минимальными. В 1938 году Л.В. Канторович консультировал фанерный трест по проблеме эффективного использования лущильных станков. Он понял, что дело сводится к задаче максимизации линейной формы многих переменных при наличии большого числа ограничений в форме линейных равенств и неравенств. Он модифицировал метод разрешающих множителей Лагранжа для её решения и понял, что к такого рода задачам сводится колоссальное количество проблем экономики. В 1939 г. Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой описал задачи экономики, поддающиеся открытому им математическому методу, и тем самым заложил основы линейного программирования. Формирование новой математической дисциплины в этом случае есть не что иное, как становление нового конструктора в математике, в рамках которого решается класс экстремальных задач с ограничениями. Лист фанеры, который надо раскроить оптимально, – это инверсивный объект: с одной стороны, здесь описывается содержательная практическая задача, с другой – эта ситуация способствует постановке новой математической задачи – максимизации линейной формы многих переменных при наличии большого числа ограничений.

Еще пример успешного математического моделирования – решение Эйлером (1736 г.) задачи о Кенигсбергских мостах. Получив решение, Эйлер поставил вопрос, почему такую задачу «обыденной жизни» решает математик, ибо никаких собственно математических действий он, по его словам, не совершал. Однако в наши дни решение задачи о Кенигсбергских мостах считается первым шагом в новой области математики – теории графов. Термин «граф» появился у Денеша Кенига в 1936 году. Перечисляя задачи, приведшие к формированию теории графов, обычно называют кроме задачи о мостах, задачу о четырех красках, задачу коммивояжера, открытие Кирхгофом законов течения электрического тока в разветвленных цепях и т.д. (Эйлеровы пути). Как оказалось, что эти совершенно разные практические задачи лежат в основании новой математической теории – теории графов? Рефлексия исследователей должна была осознать каждую из этих задач как одну и ту же задачу (как задачу на одном и том же объекте и что важно - новом для математики). Для этого, отвлекаясь от конкретного содержания задач, каждый случай представляли чертежом, на котором были нанесены точки и соединяющие их линии – ребра графа. Все практические задачи, названные выше – тоже инверсивные объекты: они и описывают содержательные ситуации, и позволяют представить их, эти ситуации как новый математический объект – граф и создать тем самым новый математический конструктор.

Таким образом, введение в структуру науки такой программы, как конструктор, позволяет отвечать на вопросы – как возникают объекты математики, откуда они берутся. Эти объекты не находятся в природе, как растения, животные, минералы, а конструируются тем или иным образом при осуществлении допустимых действий чертежами, алгебраической символикой и т.п. Конструирование как способ возникновения математических объектов может пролить некоторый свет на дискуссию о научных революциях в математике. Если науки о природе изучают явления и строят модели, объясняющие эти явления, то рано или поздно, как показал Кун, появляются аномальные факты, требующие отказа от одних объяснительных конструкций и замены их другими, более адекватно «отражающими» явления, т.е. происходят научные революции. В математике же не отказываются ни от каких объектов, ибо они конструируются «правильно», «без ошибок»; их конструированием руководят не стремления объяснить те или иные явления, а – руководит только возможность осуществления определенных операций – решения уравнений, геометрические построения и т.д. Иначе говоря, в математике не выполняется одно из условий, важных в модели научной революции Куна – отбрасывание неработающих моделей. В истории математики можно зафиксировать только, что какие-то объекты становятся менее употребительными, их просто не используют, но не отбрасывают. Именно потому, что объекты математики не берутся из природы, а конструируются учеными, оказалась возможна не только геометрия Евклида, но и две других – Лобачевского и Римана. Геометрия Лобачевского долго не принималась многими математиками как раз потому, что полагали, что математика ничем, по сути, не отличается от других наук, которые «отражают» природу, следовательно, наличие двух или более геометрий – это нонсенс. Приняли же неевклидову геометрию тогда, когда были найдены модели, где выполняется эта геометрия – например, псевдосфера (поверхность типа пионерского горна).

Конечно, возникают вопросы – как именно конструируются математические объекты, чем руководствуются ученые при их создании. Но это тема требует самостоятельного рассмотрения. Отметим только, что многие новые математические объекты возникают незапланированно. Таковы отрицательные и комплексные числа, появившиеся в процессе решения уравнений, неевклидова геометрия, которая была невольно построена в ходе попыток доказательства пятого постулата Евклида, группы в работах Галуа, которые возникли как средство решения задачи о том, при каких условиях разрешимы некоторые уравнения выше пятой степени в радикалах. Такие объекты далеко не сразу принимались математиками. Ибо в рамках «модели отражения» было не ясно, что именно отражают отрицательные числа, комплексные и т.д. Принятие этих объектов было обязано приданию им некоторых смыслов (отрицательное число обозначает долг и т.п.). Наряду с такими незапланированными объектами возникают и такие, где их конструктивная природа очевидна – пространства больших (и даже бесконечных) размерностей, уравнения n-ной степени и т.д.
3.3. Новации, традиции, революции в математике
Т.Кун: «Научные революции рассматривается здесь как такие некумулятивные эпизоды развития науки, во время которых старая парадигма замещается целиком или частично новой парадигмой, несовместимой со старой» (Кун 1977 С. 128). Эти слова Кун дополняет еще двумя признаками – 1) научные революции, как и политические, начинаются с роста сознания, что существующие институты перестали адекватно реагировать на проблемы, поставленные средой, которую они же отчасти создали. И в политическом и в научном развитии осознание нарушения функции, которое может привести к кризису, составляет предпосылку революции. 2) Подобно выбору между конкурирующими политическими институтами, выбор между конкурирующими парадигмами оказывается выбором между несовместимыми моделями жизни сообщества (Кун 1977 С. 130). Чтобы раскрыть, как происходят научные революции, Кун рассматривает не только влияние природы и логики, но и эффективность техники убеждения в соответствующей группе, которую образует сообщество ученых.

В разделе IX Кун показывает необходимость научных революций. Он подчеркивает, что есть только три типа явлений, которые может охватывать вновь созданная теория. Первый состоит из явлений, хорошо объяснимых уже с точки зрения существующих парадигм; такие явления редко требуют новой теории. Второй вид явлений представлен теми, природа которых указана существующими парадигмами, но их детали могут быть поняты только при дальнейшей разработке теории. Исследования ученого в таких случаях направлены на разработку существующей парадигмы, а не на создание новой. Только когда эти попытки в разработке парадигмы потерпят неудачу, ученые переходят к изучению третьего типа явлений, к осознанным аномалиям, характерной чертой которых является упорное сопротивление объяснению их существующими парадигмами (Кун 1977 С. 134). Только этот тип явлений и дает основание для возникновения новой теории. Парадигмы определяют для всех явлений, исключая аномалии, соответствующее место в теоретических построениях исследовательской области ученого. Различия между следующими друг за другом парадигмами необходимы и принципиальны. Следующие друг за другом парадигмы по-разному характеризуют элементы универсума и поведение этих элементов, их отличие касается таких вопросов, как существование внутриатомных частиц, материальность света, сохранение теплоты или энергии. Эти различия являются субстанциональными различиями между последовательными парадигмами, и они не требуют дальней иллюстрации. «Но парадигмы отличаются более, чем содержанием, они направлены не только на природу, но выражают также и особенности науки, которая создала их. Они являются источником методов, проблемных ситуаций и стандартов решения, принятых неким развитым научным сообществом в данное время. В результате восприятие новой парадигмы часто вынуждает к переопределению основ соответствующей науки. Некоторые старые проблемы могут быть переданы в ведение другой науки или объявлены совершенно «ненаучными». Другие проблемы, которые были прежде несущественными или тривиальными, могут с помощью новой парадигмы сами стать прототипами значительных научных достижений. И поскольку меняются проблемы, постольку обычно изменяется и стандарт, который отличает действительное научное решение от чисто метафизических спекуляций, игры слов или математических забав. Традиция нормальной науки, которая возникает после научной революции, не только несовместима, но часто фактически и несоизмерима с традицией, существовавшей до нее (Кун 1977 С. 141-142).

Функции парадигмы в науке разнообразны. Одна из них – парадигма выступает в качестве средства выражения и распространения научной теории. В этой функции ее роль состоит в том, чтобы сообщать ученому, какие сущности есть в природе, а какие отсутствуют, и указывать, в каких формах они проявляются. Информация такого рода позволяет составить план, детали которого освещаются зрелым научным исследованием. План для длительного развития науки так же существенен, как наблюдение и эксперимент. «Через теории, которые они воплощают, парадигмы выступают важнейшим моментом научной деятельности» (Кун 1977 С. 149).

Однако парадигмы дают не только план деятельности, но указывают и некоторые направления, существенные для реализации плана. «Осваивая парадигму, ученый овладевает сразу теорией, методами и стандартами, которые обычно самым теснейшим образом переплетаются между собой. Поэтому, когда парадигма изменяется, обычно происходят значительные изменения в критериях, определяющих правильность как выбора проблем, так и предлагаемых решений» (Там же). Итак, парадигмы существенны для науки. Рассмотрим их существенность для самой природы. Кун рассматривает революции как изменение взгляда на мир (раздел X). В период революций ученые видят новое и получают иные результаты даже в тех случаях, когда используют обычные инструменты в областях, которые они исследовали до этого. Это выглядит так, как если бы профессиональное сообщество было перенесено в один момент на другую планету, где многие объекты им незнакомы, да и знакомые объекты видны в ином свете. Конечно, в действительности нет никакого переселения в географическом смысле; вне стен лаборатории повседневная жизнь идет своим чередом.

Ученый после революции оказывается в новом мире. Кун поясняет это, обращаясь к феномену переключения зрительного гештальта в работах психологов – то, что казалось ученому уткой до революции, после революции оказывалось кроликом. В итоге мир исследования будет казаться ученому несовместимым с миром, в котором он «жил» до сих пор. Школы, исповедующие различные парадигмы, всегда действуют, таким образом, как бы наперекор друг другу (Кун 1977 С. 151).

Таким образом, накопление аномальных фактов приводит к необходимости следовать новой парадигме, т. е. к научной революции. Новая парадигма несоизмерима со старой, от которой научное сообщество отказывается.


Есть ли в математике научные революции?

Вопрос о том, имеют ли место научные революции в математике, важен как сам по себе, так и в силу того, что он заставляет уточнить представления о математике как науке и о философии математики. На западе в 1992 г. вышел сборник «Революции в математике» (Revolution in mathematics 1992). В этом сборнике была напечатана статья М. Кроу (написана в 1975 году), где автор сформулировал 10 законов «развития» математики, которые мы уже приводили.

Как видим, Кроу говорит, что новые математические понятия зачастую возникают не в результате, но вопреки настойчивым усилиям их создателей, всеми силами пытавшимися избежать введения этих новых понятий. Новые понятия часто встречаются поначалу с упорным сопротивлением и признаются математическим сообществом только по истечению значительного времени. Математические теории достигают требующейся логической строгости лишь с течением времени, иногда длительного, но никак не сразу. Математики сохраняют некоторые понятия вследствие их удобства, даже если это не отвечает требованиям логики, Математические теории имеют свою метафизику. Признание сообществом нового математического понятия зависит от научной репутации его создателя. Математики владеют обширным запасом технических средств, позволяющих им избавляться от противоречий и затруднений в своих теориях. На основе всех предыдущих "законов" Кроу формулирует десятый "закон", гласящий, что "в математике не бывает революций", т.е. в ней не случается отбрасывания принятых понятий и теорий. Развитие математики чисто кумулятивно, утверждает Кроу, не тратя, впрочем, много времени и усилий на обоснование этого "закона", ибо он представлялся ему очевидным.

Мне представляется, что со всеми законами, кроме десятого (о том, что в математике не бывает научных революций), можно согласиться и впоследствии мы это увидим. Действительно, история науки предоставляет факты, которые демонстрируют правоту первых девяти законов.

Утверждая, что в математике нет научных революций, формально Кроу прав, ибо Кун связывает наличие революции в естественных науках с наличием аномальных фактов, появлением новой парадигмы и с отбрасыванием принятых ранее понятий и теорий. Новые парадигмы в математике, конечно, есть, но их формирование не приводит к тому, что какие-то предыдущие теории отбрасываются – «формирование аналитической геометрии не приводит к отказу от теории конических сечений и т.д.». Почему появление новых математических теорий не приводит к отбрасыванию уже имеющихся? Можно сказать, что Кроу и все те математики, которые считают, что в математике нет научных революций, рассуждают тоже формально. Да, никакие теории в математике не отбрасываются. Но разве с появлением новых теорий старые не «отходят в тень» и ими уже, в общем, не пользуются – т.е. ставятся другие задачи, которые решаются другими методами и т.п. (например, задачи на вычисление площадей и объемов после возникновения дифференциального и интегрального исчисления). Кроме того, в математике нет аномальных фактов (Лакатос в работе «Доказательства и опровержения» нашел, казалось бы, массу аномальных фактов, для которых не выполнялась теорема Эйлера о соотношении вершин, граней и ребер многогранников. Однако ни один из этих фактов не опроверг эту теорему, скорее, наоборот, - целый ряд многогранников был сочтен монстрами, и не мог посягнуть на эту теорему). Это происходит потому, что математика не является естественной наукой, наукой о природе, как физика, химия или биология. Иногда выделяют класс формальных наук, куда кроме математики входит логика, некоторые другие дисциплины. Математика конструирует свои объекты. И изучает все те объекты, которые она может сконструировать, независимо от того, отражают они действительность, или – нет. Действительно, если жизнь требует решения уравнений первой степени, второй, иногда – третьей, то нормальным для математики становится в конце концов решение уравнений n-ной степени, независимо от того, нужно ли это для каких-то практических задач, или – нет. Если физика хочет познать природу и в силу этого она строит теории так, чтобы объяснить эмпирический материал, объяснить факты природы, то математика конструирует свои объекты так, как это позволяют те средства, которыми она при этом пользуется. Например, геометрия имеет дело с теми фигурами, которые ей позволяют построить циркуль и линейка. При своем возникновении математика тесно связана с реальной жизнью. Она решает те задачи, которые от нее требует жизнь – задачи на проценты, задачи, связанные со сбором налогов и т.д.

Таким образом, не во всем правы те математики, которые говорят, что в их науке нет научных революций на основании формальных признаков (нет аномальных фактов и не отбрасываются прежние теории). Кроме того, эта группа математиков не учитывает, что есть математические теории, которые не просто в силу кумулятивности добавляются к уже имеющимся теориям, но существенно перестраивают многие имеющиеся теории и в силу этого – саму деятельность математиков. Речь идет о дифференциальном и интегральном исчислении, о теории множеств, логике.

В обзоре рассматриваются и взгляды Герберта Мертенса, который высказывает несколько важных мыслей. Рассмотрим три из них. Первая связана с понятием эпистемологического разрыва, вторая – с уточнением вопроса о том, что значит, что революции происходят «в» математике. Третья – семиотическая трактовка математики приводит к тезису о том, что математика высказывается не о мире, а только о самой себе.

Первая идея - термин "научная революция" близок к используемому Г, Башляром и М.Фуко понятию эпистемологического разрыва. Такой «разрыв» может не иметь точной даты или временных рамок. Так, например, неевклидова геометрия была создана в 1830-х

гг., а признана в 1860-х., хотя противодействие ей продолжалось до начала XX в. Препятствием на пути неевклидовой геометрии было убеждение, что геометрическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности. Преодоление этого представления и может быть реконструировано как революция в истории математики. Я совершенно согласна, что появление неевклидовой (и вообще трех) геометрии – может быть осознано как революция в математике. И эта ситуация тесно связана со второй темой – что значит, что революция произошла «в» математике в этом случае. Скорее – это революция в понимании статуса математики – отражает ли она действительность (описывает ли она независимую от нее реальность) или «делает» что-то другое? Можно поставить вопрос так – подобна ли математика естественным наукам, описывающим независимую от них реальность, или – суть математики следует осознать иначе? Как именно? Рассмотрим такой ответ. Математика конструирует свои объекты. Объекты ее – это знаки, или системы знаков. Однако сказанное отнюдь не следует трактовать, что математика – это некая «игра в бисер». Конструируя знаковую реальность, математика отвечает на запросы практики – по крайней мере – и в древности, и в 17-19 веках (см. Б.И. Гессен. Социально-экономические корни механики Ньютона»). Конечно, сами семиотические системы, созданные математиками, вносят свои проблемы, о которых не подозревали создатели (обнаружение несоизмеримости стороны квадрата и ее диагонали, отрицательных чисел, комплексных и т.д.), и, тем не менее, обусловленность математических систем знаков (арифметики, геометрии, символики дифференциального и интегрального исчисления и т.д.) практическими ситуациями во многом позволяет снять вопрос о непостижимой эффективности математики, который ставит Е. Вигнер. Один из вариантов рассуждений здесь такой: математика «растет» из практических задач, потребностей, и эта связь с материальной практической деятельностью человека некоторым образом «впечатана» и в арифметику, и в дифференциальное и интегральное исчисление, и в дифференциальные уравнения. Если считать, что одни разделы математики надстраиваются над другими (например, математический анализ надстраивается над арифметикой и геометрией, над ним – теория рядов, теория категорий и т.д.), то связь с практикой пронизывает высшие разделы, которые сами могут и не быть обусловлены практическими нуждами человеческой культуры. Идея надстройки одних разделов математики и мысль о том, что практическая обусловленность низших разделов как некая эманация пронизывает и высшие, передается им - это не более, чем метафоры. И, тем не менее – это значимые метафоры, мне кажется.

Итак, математика как наука возникает в рамках иных методологических установок, чем науки о природе. Однако тот факт, что установки ее другие, обнаруживается достаточно поздно – и именно в ситуации открытия неевклидовой геометрии.

Может быть, более правильно сказать так: математика формируется в рамках двух методологических установок – 1) ответ на запросы практики (арифметика, геометрия в древности, алгебра в 15 веке, матанализ в 17-19 веках) 2) для решения практических задач творцы математики создали семиотические системы – числовой ряд, операции с числами, геометрию, циркуль и линейку и фигуры, которые можно сконструировать с их помощью. Именно практические запросы – точнее, тот факт, что арифметика и геометрия отвечали запросам практики – практике сбора налогов, практике строительства, решению астрономических задач и т.д. – прочно закрепили в сознании людей методологическую установку – математика дает истинное описание независимой от нее реальности. Возникновение же геометрии Лобачевского, тоже истинной, потрясло эту методологическую установку (что и явилось революцией) и потребовало другого осознания сущности математики (что и является революцией – или предпосылкой к революции). Другое осознание математики, которое ученые вынуждены были искать, а затем принять найденное – что математическая теория изучает «правильно» сконструированные объекты, что математические теории имеют «право на жизнь» не только тогда, когда они являются истинным описанием независимой от нее реальности, но когда эти теории сконструированы без противоречий. Оказалось, что без противоречий сконструированы три геометрии (Евклида, Лобачевского и Римана). И, несмотря на то, что истинным описанием независимой от них реальности может быть только одна из этих геометрий, как математические объекты следует признать все три, а вопрос о том, какая из этих геометрий реализована в нашем физическом пространстве, должна решать не математика, а физика (астрономия). Здесь следует учесть два обстоятельства. Первое – методологическая установка (о том, что математическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности) должна быть отброшена и заменена другой (например, достаточно, чтобы математическая теория была сконструирована без противоречий). Второе – геометрия Лобачевского была признана математиками тогда, когда построили ее интерпретации, т.е. когда нашли математические объекты, для которых справедлива эта геометрия. Так может быть в принципе слова о том, что «математическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности» справедливы, но под «независимой реальностью» не обязательно понимать физический мир, не созданный людьми и в этом смысле – независимый от человека? Ведь поверхность типа пионерского горна, на которой выполняются все теоремы неевклидовой геометрии, тоже можно трактовать как независимую реальность. Но даже если это принять, все равно революционность открытия неевклидовой геометрии не исчезает, не снимается.

Итак, еще раз,– именно ситуация с открытием (и признанием – непризнанием) неевклидовой геометрии способствует тому, чтобы вместо методологической установки, справедливой для естествознания (что теория должна быть истинным описанием реальности), появилась другая установка. На традиционном языке эта установка выглядит так – математическая теория должна быть непротиворечивой. Я бы сформулировала эту установку так – в случае неевклидовой геометрии явно проявляется то обстоятельство, что математические объекты – это семиотические объекты, конструируемые математиками, и они должны быть сконструированы «правильно», т.е. непротиворечиво.

Вероятно, все эти рассуждения уже содержат и ответ на вопрос о том, осуществляются ли революции внутри математики, или влияют и внешние факторы? «Но как должна быть описана эта революция? Какой контекст требуется для ее адекватной реконструкции? Должен ли он, например, включать историю модернизма в живописи с его экспериментами в области изображения пространства?». Вопрос – «что значит, что революция произошла «в» математике», я бы переформулировала так – происходит ли революция в самом математическом конструкторе? Или – это революция в методологических установках математиков? Ответы такие – с одной стороны, в случае с открытием неевклидовой геометрии произошла мощная методологическая революция, а именно – стихийно принимаемый тезис о том, что «математическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности» был заменен на другой – от математических теорий требуется не отражение действительности, а непротиворечивость при конструировании ее объектов (теорий). Это означает, что математика – иная наука, чем естествознание, она не находит свои объекты в природе, а конструирует их в соответствии с некоторыми принципами, в частности, с принципом непротиворечивости.

Третья идея Мертенса о том, что математика высказывается не о мире, а только о самой себе. Понятно, почему такая мысль возникла. Мы только что «отсекли» математику от задачи давать истинное описание реальности. Казалось бы, вывод о том. что математика высказывается не о мире, а о самой себе (т.е. о другом мире - мире чисел, групп, множеств, интегралов и т.д.) справедлив. Однако практическое происхождение математики (которое и породило методологическую установку о том, что математика дает истинное знание о мире) с самого начала истории этой науки «вдохнуло» в нее, в ее объекты (числа, треугольники, интегралы) «практическую полезность», которая затем передается новым разделам математики, надстраивающимся над арифметикой. Поэтому, высказываясь о самой себе, т.е. о своих объектах – числах, интегралах и т.п., математика высказывается и о мире, где числа обозначают совокупности каких-то объектов, интегралы обозначают площади или объемы и т.д. Б.И. Гессен хорошо показывает практическую обусловленность математики 17-19 века. Конечно, нельзя утверждать, что любой раздел математики имеет практическое содержание, как арифметика, геометрия и вообще классическая математика.

«Если в ней и есть истины, то - это истины о ней самой, ибо математика говорит только о своих собственных знаковых конструкциях. Различные математические теории работают с определенными типами знаковых конструкций, обозначающих правила для их «собственного» использования. Семиотический подход, как признает Мертенс, вызывает много гносеологических вопросов, но имеет то бесспорное достоинство, что позволяет избавиться от вопросов типа: "О чем математика? Что лежит внутри математики?"» (Сокулер, 1995). Рассмотрим это. Уже было показано выше, что даже и в тех случаях, когда возникает новая математическая теория, не отвечающая явно никакому практическому запросу (или запросу другой науки), все равно через опосредованную связь с исходными разделами математики, эта новая теория что-то может говорить о мире. Но примем тезис – математика говорит не о мире, а о своих знаковых конструкциях. В этом нет ничего «порочного». Просто математика – другая наука, она изучает не то, что существует в природе (атомы, химические вещества, растения и т.п.), а объекты, сконструированные ей самой. Почему мы бы хотели, чтобы все науки были однотипны? Почему группы наук не могут подчиняться разным методологическим нормативам? Математика возникла раньше наук о природе и тем более, раньше наук об обществе. Она возникла естественным путем. Наша задача – принять то, что возникло, тем более, что говоря о своих собственных знаковых конструкциях, математика говорит и о природе, что прекрасно демонстрируют арифметика и геометрия.
Рефлексивные преобразования как механизм новаций в условиях неведения

«Так есть ли противоречие между утверждениями Кроу и Мертенса, и в чем оно состоит? Думаю, что в следующем: для Мертенса, в отличие от Кроу, то, что «в математике, не существует как самостоятельная реальность, которую следует изучать в абстракции от того, что происходит в сообществе математиков (которое само является частью более широкого человеческого сообщества)».

Научные революции могут пониматься по-разному. Так, Н.И. Кузнецова и М.А. Розов выделяют четыре типа революций в науке. В учебнике (Степин, Горохов, Розов 1995) они называют то, что названо революциями, не революциями, а новациями. Представления о типах новаций тесно связаны с эстафетной моделью науки, которую строит М.А. Розов. Типы новаций он связывает с типами программ и выделает 4 типа новаций (революций): 1) появление новых парадигм, 2) формирование или заимствование новых методов (например, связанных с открытием микроскопа, телескопа, других приборов), 3) открытие новых миров (группа в математике, ген, вирус в биологии и т.д.) 4) появление новых методологических программ.

Рассмотрим, как эти новации проявляются в математике. Второй тип рассматривать не будем. Но – при формировании каждой новой теории всегда появляются и новые методы. Например, начиная с Архимеда, математики стремились найти методы вычисления площадей криволинейных фигур. В итоге это выросло в дифференциальное и интегральное исчисление, которое является не только новой математической теорией, существенно перестроившей имевшуюся тогда математику, но и дало простые методы вычисления площадей и объемов и массу других методов.

Можно ли сказать, что с новой математической теорией всегда связаны новые методы? Да, наверно. Ибо новая теория – это новый конструктор, а значит и новые задачи, и новые методы их решения. Но вряд ли надо сливать воедино два типа новаций – появление новой теории и новых методов. Хотя специфика математики, в частности, конструирование ее объектов, ведет к тому, что все три типа новаций тесно связаны и практически одновременны – новая теория, новые методы и новые объекты. Все это происходит потому, что в математике нет различия между экспериментальным исследованием и теоретическим – нет экспериментального, а объект не найден в природе, а сконструирован теорией. Новая теория – это всегда теория какого-то объекта. Это относится и к математике – теория множеств, теория групп – их объекты как-то должны быть заданы. Т.е. если в физике методы, как правило, связаны с приборами, то в математике нет двух источников новаций.

И, тем не менее, временной лаг есть. Рассмотрим открытие групп – а) Галуа сконструировал группу как средство, чтобы решить традиционную задачу – найти – после Абеля – условия, при которых уравнения выше 4 степени разрешимы в радикалах, б) Была осуществлена рефлексивная симметрия – поняли, что Галуа сделал два открытия – решил ту задачу, которую ставил, и – сконструировал новый объект – группу, в) стали изучать этот новый объект группу; на этом пути открыли новые виды групп, установили, что теория групп может быть полезна в кристаллографии и других естественных науках.

2) Дифференциальное и интегральное исчисление. В истоках его тоже лежало решение традиционной задачи – найти формулы для вычисления площадей и объемов криволинейных фигур. История растянулась на много столетий. а) Архимед нашел такие формулы для нескольких фигур и создал при этом метод – традиционными методами задача не могла быть решена (не решалась) б) Кеплер, Ферма и другие нашли формулы для большего числа фигур, «совершенствуя» при этом метод, в) была еще одна традиционная задача – построение касательной к кривой – в случаях а и б важно, что задачи поступали «извне» - из других наук (астрономия, например), г) Барроу понял, что задачи нахождения площадей и объемов (фигур и тел) и задача нахождения касательной к кривой связаны – и взаимно обратны, д) Лейбниц представил составил формулы для нахождения производных для суммы, произведения, степени и т.д. как самостоятельный продукт исследования. Однако на его результат не обратили внимания, его не поняли – т.к. он осуществил рефлексивное преобразование – и в качестве результата своей работы предложил не формулы для вычисления площадей и объемов, а исчисление (формулы уже были известны).

3) Теория множеств Кантора. Здесь истоки несколько иные. Хотя рефлексивная симметрия и здесь есть. Кантор заметил, что многие разделы математики (теория чисел, проективная геометрия и т.п.) имеют дело с бесконечными множествами – множеством особых точек, множеством вычетов и т.д. И сделал такие бесконечные множества самостоятельным объектом исследования. Чтобы «подтвердить» правомерность изучения бесконечных множеств, он сформулировал задачу (послав эту задачу Дедекинду, который ответил, что эту задачу решать не нужно) и решил ее – получил нетривиальный результат, который свидетельствовал о том, что такой объект исследования «правомерен». Здесь нет исходного конструирования нового объекта. Не Кантор конструировал бесконечное множество, да и никто этого не делал. Но Кантор показал, что изучение актуально бесконечных множеств – дает новые, интересные, нетривиальные результаты. Кронекер – выступал против изучения актуально бесконечных множеств.

Что важно во всех этих случаях? 1) решалась традиционная задача (Галуа, Архимед, но не Кантор – хотя может быть и он сюда относится, если рассмотреть дискуссию об актуальной бесконечности и потенциальной, идущую с античности). 2) в процессе ее решения конструировался новый математический объект – группа, интеграл, дифференциал. Актуально бесконечное множество не конструировалось Кантором, но было выбрано им как объект исследования – этому способствовало изучение актуально бесконечных множеств в других разделах математики – в проективной геометрии, арифметике и т.д. В случае с Галуа новый объект – группа был сконструирован, но не изучен – Галуа погиб и изучение началось, во-первых, потому, что анализ материалов Галуа инициировал один из математиков, и возможно потому, что другие математики поняли значимость группы как математического объекта и значимость теории групп как новой математической теории. В случае с дифференциальным и интегральным исчислением новый объект – исчисление, - было построено, но вызывало претензии (использование понятия бесконечно малого и т.д.). Но потом это исчисление строили по канонам математической строгости, тогда как Ньютоном и Лейбницем оно было построено по канонам прикладной науки – формулы дают возможность вычислять площади, находить касательные и этого было достаточно. 3) Осуществлялась процедура рефлексивной симметрии – новый объект становился уже не средством, а главным объектом исследования. Т.е. две математические теории выросли в ходе решения других задач – эти теории не строились, а стихийно формировались, поэтому матанализ пришлось перестраивать – не формулы, а идеологию – Коши и Вейерштрасс разработали язык эпсилон-дельта. Идею группы не пришлось перестраивать, т.к. она осталась не построенной Галуа.

Открытие группы и формирование матанализа – это открытия в условиях неведения. Рассмотрем, как анализирует открытие неевклидовой геометрии М.Ю. Веркутис (2004). М.А. Розов различал незнание и неведение следующим образом. Незнание имеет место тогда, когда человек не знает результат какого-то действия (исследования), но знает, как достичь этот результат. «Незнание – это движение ученого в рамках предметного поля, заданного прошлыми достижениями, когда переход к новому знанию можно представить как ответ на вопросы, характер которых определяется тем или иным уровнем развития данной науки. Вопросы фиксируют область незнания. Ученый может сказать: «Я не знаю того-то». То, чего не знает в данном случае ученый, - это какие-то вполне определенные объекты и их характеристики, например, может быть неизвестен химический состав какого-либо вещества или расстояние между какими-то городами. Существенно, что фиксируя вопросы, на которые неизвестны ответы, можно построить достаточно развернутую программу, нацеленную на получение и фиксацию нового знания, можно выявить некоторую перспективу развития данной науки в той ее части, которая зависит от уже накопленных знаний (Степин, Горохов, Розов 1995 С. 117). О вопросах в сфере незнания можно получить некоторое представление, если вспомнить, что говорит о типах экспериментов, которые обычно ставятся в рамках нормальной науки, Т. Кун. Он называет целые группы задач, например, определение положения звезд и звездных величин, периодов затмения двойных звезд и планет в астрономии; вычисление удельных весов и сжимаемостей материалов, длин волн и спектральных интенсивностей, электропроводностей и контактных потенциалов в физике и т.п. (Кун 1977 С. 47). Розов подчеркивает, что «незнание – это область нашего целеполагания, область планирования нашей познавательной деятельности. Строго говоря, - это явная или неявная традиция, использующая уже накопленные знания в функции образцов» (Там же).



Совершенно иначе обстоит дело с неведением. Область неведения нельзя зафиксировать вопросами, опирающимися на те или иные научные положения. Она находится за пределами существующего уровня развития науки и определяемого этим уровнем возможного горизонта научной деятельности. К этому случаю относится, например, открытие сумчатых в Австралии, которое никак не предопределялось уровнем развития биологии того времени. Оно было безотносительно к любым из положений биологической науки, к её понятийному аппарату. Но как можно ввести в математику понятие, не имеющее отношения ни к каким другим её понятиям? Чтобы иметь математическое содержание, это понятие должно быть референциально связано с миром математических объектов, с математической традицией. И тем не менее в математике, совершая неожиданные для себя открытия, ученые тоже сталкиваются с областью неведения, а не только с областью незнания. В свою очередь область неведения как-то опосредованно связана с имеющимися традициями.

Рассмотрим, как описывает открытие неевклидовой геометрии как работу в рамках неведения М.Ю. Веркутис (Веркутис 2007). Известный отечественный философ и методолог науки Б.С. Грязнов для обозначения неожиданных открытий применял греческое понятие – поризм (Грязнов 1982 С.114 - 115). Так в античной науке называли утверждение, которое получалось как непредвиденное следствие, как промежуточный результат. Грязнов приводит пример из математики, а именно – пример отрицательных и комплексных чисел, которые получаются в системе математического знания, как он пишет, чисто логическим путём, но открыты были как промежуточные результаты решения некоторого класса математических задач. О типичности для математики таких открытий, по существу, писал американский историк науки М. Кроу, когда формулировал свои десять “законов” развития математики. Его первый “закон” гласил: новые математические понятия часто возникают вопреки намерениям их творцов (6, p.162). Действительно, хотя в математике и осуществляется всё целенаправленно, в рамках конкретных программ, но не всегда именно то, на что эти программы направлены. Реализация программы вполне может натолкнуться на побочный результат, представляющий самостоятельный интерес. Классический пример этого – так впечатлившее древних греков открытие иррациональных величин. Сознательный поиск иррациональных величин был для греков психологически невозможен. Особенно это касается пифагорейской математики с её культом числа, числовых отношений. Но на иррациональности, реализуя не относящиеся напрямую к этому программы, натолкнулись именно пифагорейцы1. Отыграв назад, однако, мы, пожалуй, смогли бы сформулировать “за греков” не выходящую за рамки их науки программу поиска отрезков геометрических фигур, невыразимых рациональными отношениями. В математическом материале, с которым имели дело древние греки, имелись все предпосылки для формулировки программы такого поиска. Не было лишь соответствующей установки сознания. Но, чтобы сформулировать программу поиска сумчатых, мы не смогли бы отыграть назад ни к каким идеям биологической науки.

Основная идея статьи – в случае с открытием неевклидовой геометрии Бойяи и Лобачевским мы имеем дело со сферой неведения, а средство проникновения в эту сферу в данном случае – рефлексивная симметрия (Степин. Горохов, Розов 1995 С. 165 - 171). М.А. Розов отмечает, что невозможен целенаправленный поиск неведомых явлений; неведение открывается только побочным образом. На вопрос – что должен делать ученый для обнаружения новых видов животных или каких-то новых, неведомых явлений – М.А. Розов отвечает – продолжать делать то, что он делал и до этого, т.е. работать в рамках уже существующих программ. Именно это последнее и происходит, как мы увидим дальше, в случае открытия неевклидовой геометрии – Лобачевский (и Бойяи) сначала решал традиционную для геометрии задачу – доказательство пятого постулата Евклида. Однако затем он понял, что решил совсем другую задачу – обнаружил “новый мир” - геометрию, совсем непохожую на евклидову. Интрига здесь заключается в том, что и Лобачевский, и Бойяи включились в решение давно поставленной задачи, и шли при этом тем же самым путем, каким шли и их предшественники. Вопрос состоит в том, что же привело их к открытию нового мира? Чего не сделали их предшественники, многие из которых реально доказали ряд теорем новой геометрии, но не считаются (и справедливо) ее творцами?

Рассмотрим детально, насколько это возможно, что позволило Лобачевскому и Бойяи прийти к созданию гиперболической геометрии. Наиболее доступным для анализа является, конечно, творчество Николая Ивановича Лобачевского. Но начинать такое исследование надо с теории параллельных линий Евклида. Предыстория неевклидовой геометрии широко известна. Мы изложим её кратко, опираясь, главным образом, на работы В.Ф. Кагана (Каган 1963; Каган 1949).

Теория параллельных линий Евклида основывается, во-первых, на определении параллельных линий и, во-вторых, на особом постулате. Первой книге “Начал” предпосланы двадцать три определения, относящихся к первичным, по мнению Евклида, математическим понятиям. Евклид даёт определение точке, линии, прямой, поверхности, плоскости и т.д. Наконец он доходит до последнего двадцать третьего определения, согласно которому две прямые, расположенные в одной плоскости и никогда между собой не встречающиеся, называются параллельными. В 27 и 28 предложениях первой книги Евклид даёт доказательство некоторых достаточных условий, при которых две прямые были бы параллельны. В частности, из этих предложений вытекает, что две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, никогда не встретятся, как бы далеко мы их не продолжили. Отсюда легко видеть, что если мы из некоторой точки опустим перпендикуляр к прямой, а также проведём через неё же другую прямую, под прямым углом к этому перпендикуляру, то две эти прямые будут параллельны. Поэтому через точку, лежащую вне прямой всегда можно провести прямую параллельную данной (предложение 31). Но будет ли такая прямая единственной? Утверждение её единственности является одной из эквивалентных формулировок пятого постулата Евклида. Смысл этого постулата заключается в отрицании существования прямой линии, параллельной данной и вместе с тем, находящейся не под прямым, а под тупым или острым углом к соответствующему перпендикуляру.



В первой книге начал Евклидом устанавливается четыре аксиомы и пять постулатов. Аксиомы Евклид называет “общими достояниями ума”. Это истины, которые признаются всяким человеком, которыми неизбежно руководствуются не только в научном, но и в любом другом рассуждении (к примеру, вторая евклидова аксиома утверждает, что если к равным прибавить равные, то получатся равные). Напротив, постулаты – это положения специальной дисциплины, которые не обязательно должны восприниматься безоговорочно, но которые нужно всё равно принять, подчиняясь внешнему авторитету, чтобы уже дальнейшие рассуждения не вызывали никаких возражений (7, с.43). Так, своим первым постулатом Евклид требует признания того, что от точки к точке всегда можно провести прямую линию. Столь же просто формулируются и воспринимаются следующие три постулата Евклида. Резко контрастирует с ними лишь последний, пятый постулат. Он не так прост в восприятии, довольно тяжеловесно выражен и, самое главное, многим не казался настолько очевидным, чтобы его принятие без доказательства было оправдано. Приводим его дословную формулировку: всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие (вместе) меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекаются с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых. Евклидом строго доказываются гораздо более простые предложения. Особая роль пятого постулата заключалась не только в его относительной сложности и неочевидности, но и в том, какое место он занимал в общей системе евклидовой геометрии. Тогда как первые четыре постулата Евклид начинает применять практически с первых предложений своей геометрии, то необходимость в постулате о параллельных возникает у него довольно поздно, лишь при доказательстве 29-го предложения первой книги. Таким образом, первая книга евклидовых “Начал” распадается на две части: первые 28 её предложений не зависят от постулата о параллельных, последующие же предложения (29-48) либо доказываются непосредственно при помощи пятого постулата, либо при помощи тех положений, которые были доказаны с использованием этого постулата раньше. Более того, таким образом можно разбить на две части весь геометрический материал “Начал”. Значительная часть его совершенно не зависит от постулата о параллельных. Совокупность относящихся сюда предложений принято называть абсолютной геометрией. Но большая часть предложений геометрии на этот постулат опирается. Их совокупность принято называть собственно евклидовой геометрией. Поэтому строгое доказательство постулата о параллельных, сведение его к другим постулатам и аксиомам позволило бы резко повысить “доказательную силу” всей геометрической системы Евклида. Теория параллельных была в центре внимания греческих геометров ещё до Евклида. Рассуждения о параллельных линиях можно найти уже в “Аналитике” Аристотеля. Но так как попытки безупречного обоснования этой теории успеха не имели, Евклид, как пишет об этом В.Ф. Каган (Каган 1963, С.111 - 112), разрубил гордиев узел, связанный с пятым постулатом, и принял содержащееся в этом постулате утверждение без доказательства. Но многочисленные комментаторы евклидовых “Начал” очень рано возродили попытки доказать постулат о параллельных линиях.

Попытки доказательства пятого постулата не прекращались со времён античности вплоть до первой четверти 19-го века. Выдающиеся геометры и простые любители геометрии сломали на этом поприще немало копий. Но общий результат был плачевен. Чаще всего попытки доказать постулат страдали одним очень серьёзным недостатком: явно или неявно они опирались на допущения, эквивалентные доказываемому постулату. В подобную ошибку, к примеру, впадали в античности - неоплатоник Прокл, в средние века - азербайджанский математик Насир-Эддин, в новое время - знаменитый французский геометр Лежандр. Наибольший интерес, с точки зрения предыстории неевклидовой геометрии, представляют попытки доказательства пятого постулата, предпринятые в первой половине 18-го столетия иезуитом Саккери в Италии, а во второй половине того же столетия - философом и математиком Ламбертом в Германии.



Геометрия Лобачевского—Бойяи или гиперболическая геометрия - это теоретическая система, которая образована на основе геометрии Евклида. При этом Лобачевский, как и Бойяи, принимал всю аксиоматику Евклида за исключением пятого постулата - постулата о параллельных; он также принимал те предложения евклидовой геометрии, в доказательстве которых не было необходимости использовать этот постулат, т.е. всю абсолютную геометрию. Если мы хотим, исходя из этих условий, построить новую геометрическую систему, то первое, что необходимо - это выяснить логические следствия отказа от постулата о параллельных. Известно, что одной из эквивалентных формулировок постулата о параллельных является утверждение о том, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым (гипотеза прямого угла). После отказа от постулата остаются две возможности - сумма углов в треугольнике больше двух прямых (гипотеза тупого угла) и сумма углов в треугольнике меньше двух прямых (гипотеза острого угла). Гипотеза тупого угла была легко опровергнута уже до Лобачевского. Значит, ему было необходимо принять гипотезу острого угла. Что он и сделал. Но это логическая реконструкция первых шагов создания неевклидовой геометрии. Она предполагает вполне определённое намерение построить новую геометрическую систему. Фактически же эти шаги впервые были предприняты совсем с другой целью, не с целью составить конкуренцию Евклиду, а наоборот, с целью более строгого обоснования его геометрической системы. Начиная с Саккери и Ламберта, основным способом, которым пытались освободить геометрию от постулата о параллельных, было доказательство от противного: исходили из допущения, противоположного постулату (а именно - из гипотезы острого угла) и стремились прийти к противоречию с уже установленными предложениями, тем самым доказывая постулат. Но ни историки математики, ни специалисты по философии математики не исследовали, что именно привело Лобачевского и Бойяи к открытию нового мира. Так, известный специалист в области философии математики А.Г. Барабашев пишет: "В литературе по философским проблемам математики, затрагивающей вопрос создания неевклидовой гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского), глубоко укоренилась точка зрения о том, что эта геометрическая конструкция возникла в результате … простого удлинения доказательных рассуждений, строящихся с заменой постулата о единственности параллельных на постулат о множественности параллельных (т.е. на гипотезу острого угла - М.В.). Такие рассуждения имели своей целью доказать справедливость постулата о единственности параллельных от противного: показать, что обратное утверждение ложно, ибо приводит к противоречию. Подобные доказательства начали строить ещё комментаторы Евклида; рассуждения усложнялись, становились всё более хитроумными, и, наконец, Лобачевский, Бойяи и Гаусс поняли, что диковинная конструкция внутренне непротиворечива (Барабашев 1983 С..77 - 78). Итак, в этих словах А.Г. Барабашева зафиксировано широко распространенное объяснение появления новой геометрической системы - она возникла в результате "простого удлинения доказательных рассуждений" от противного!

Покажем, что дело не в “простом удлинении” рассуждений, а в ином их осознании – таком, которое не было осуществлено предшественниками Лобачевского – Саккери, Ламбертом и другими, доказавшими много теорем неевклидовой геометрии, но не ставшими, тем не менее, ее творцами. Для этого обратимся к некоторым представлениям гносеологической концепции М.А. Розова, в частности к его анализу механизмов научных новаций. В качестве таких механизмов им были рассмотрены рефлексивно-симметричные преобразования. Эти преобразования тесно связаны с явлением рефлексивной симметрии, которое подробно разбирается во многих его работах (см., например, Степин, Горохов, Розов 1995). При определении рефлексии М.А. Розов идет по пути задания ее функций в рамках научного знания, т.е. говорит о рефлексирующих системах. Это такие системы, которые могут оценивать собственное состояние и, на основе этого инициировать его изменение. Так, рефлектирующей системой является человек, когда своим вниманием он запускает механизмы изменения содержания собственного мышления, изменяя тем самым состояние своего сознания. Изменения состояний могут как отражаться, так и не отражаться на поведении системы. Нас будет интересовать главным образом тот случай, когда рефлексия ведёт к изменению поведения человека, изменению характера его деятельности.

У мыслящих субъектов надо строго различать действия и деятельность. Деятельность - это действия с фиксированной целью. Поэтому деятельность есть продукт рефлексии. Ведь рефлексия подразумевает оценку ситуации (в той мере, в какой эта ситуация отражается в мышлении) и, как следствие, может вызывать целенаправленное изменение поведения. При этом одни и те же действия могут означать разную деятельность. Рассмотрим пример, проанализированный М.А. Розовым. Допустим, человек подходит к окну и опускает шторы. Может быть, он хочет, чтобы яркое солнце не слепило ему глаза; может быть, его волнует то, что он виден из улицы или из окон соседнего дома; может быть, он боится, что в комнате скоро станет слишком жарко и т.п. Осознавая свои действия различным образом, он осуществляет всякий раз иную деятельность. Сами действия остаются инвариантом. Связанные же с ними виды деятельности М.А. Розов называет попарно симметричными (там же). При этом он исходит из следующих представлений. Используя понятие рефлексии в его узком значении, связанном только с целеполаганием, М.А. Розов предлагает называть рефлексивными такие преобразования одной деятельности в другую, которые инициируются различными осознаниями наших целевых установок (или, другими словами, сменой нашей рефлексивной позиции). Если в результате таких преобразований ничего не меняется, кроме самой целевой установки (рефлексивной позиции), то М.А. Розов называет их рефлексивно-симметричными. Поэтому рефлексивно-симметричными будут называться и такие два акта деятельности, которые отличаются друг от друга только осознанием результата и взаимно друг в друга преобразуются путём изменения нашей рефлексивной позиции.

Какое всё это имеет отношение к математике? Покажем, что самое прямое. Действительно, жизнь бодрствующего – это всегда направленность на что-то, как на цель или средство, на важное или не важное, на интересное или безразличное и т.д. Не являются, конечно, исключением и математики. Так же как и другим людям, им свойственна не только та или иная интенциональная направленность на различные виды деятельности, но и способность переключаться с одной деятельности на другую. Какой же должен быть характер этих “переключений”, чтобы можно было обеспечить своеобразные эстафеты от одних математических теорий к другим? Предположим, что, осуществляя некоторые действия, мы рассматриваем результат “А” как основной, а результат “Б” как побочный. Смена рефлексивной позиции может заключаться в том, что “А” и “Б” меняются местами, т.е. “Б” становится основным продуктом, ради которого осуществляются действия, а “А” переходит в разряд побочных результатов (9, с. 225). Если теперь примем, что “Б” – группа Галуа, а “А” –уравнения выше пятой степени, то смена рефлексивной позиции будет тождественна смене референции знания. Здесь мы имеем дело с рефлексивной симметрией: действительно, деятельность Галуа можно описать двумя попарно симметричными способами: как решение проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах (введение понятия “группы” в этом случае – побочный результат) и как введение им в математику понятия группы (а вопрос о разрешимости уравнений в радикалах – уходит в тень). Фактически изменение рефлексивной позиции было осуществлено не Галуа, жизнь которого оказалась очень коротка, а другими математиками 19 века. Но нам важен сам гносеологический механизм, способный привести к изменению направленности математической деятельности. А этим механизмом здесь является рефлексивно-симметричное преобразование. С помощью этих преобразований оказываются возможными переключения с одной математической деятельности на другую, позволяющие сохранять, через общие им понятия, преемственность между старыми и новыми математическими программами.

О механизмах можно говорить, поскольку переходы от одной математической теории к другой не связаны с субъективным произволом. Так как эти переходы не носят логического характера, то, видимо, оправданно говорить здесь о гносеологических механизмах развития математики. Остаётся вопрос, что запускает такие механизмы? Какие причины могут привести к столь резкой смене направленности математической деятельности?

3. В деятельности Лобачевского мы встречаем рефлексивно-симметричное преобразование в самом чистом виде. Выполняя работу по опровержению гипотезы острого угла, учёные в то же время незаметно для себя открывали новую математическую теорию. Поставленная цель (опровергнуть гипотезу острого угла) оказалась недостижимой, но полученные при попытке её достижения результаты оказались значимыми в совершенно ином контексте – Лобачевский (а также Бойяи и Гаусс) открыли принципиально новую геометрию, существование которой невозможно было предположить в рамках традиционных математических программ.

И Гаусс, и Лобачевский, и Бойяи начинали свои исследования с попыток опровержения гипотезы острого угла. Но, как мы постараемся показать, мнение о том, что для открытия новой геометрии им понадобилось лишь “удлинить доказательные рассуждения” от противного и осознать значение “диковинной конструкции” - слишком упрощенно. Многие теоремы, полученные в результате простых рассуждений от противного, вошли в состав геометрии Лобачевского-Бойяи, но они не были тем центром, вокруг которого она кристаллизировалась. Саккери и Ламберт, которые, как мы упоминали выше, впервые дали развёрнутые попытки доказательства постулата о параллельных с помощью опровержения гипотезы острого угла, не смогли осуществить рефлексивно-симметричные преобразования своей деятельности в сторону создания новой математической теории не только в силу каких-либо субъективных причин, но и по вполне объективным обстоятельствам. Новая теория вовсе не “вывелась” внутри старой, как птенец из яйца, в результате рассуждений от противного, а лишь использовала эти рассуждения, как строительный материал для построения своего здания. Саккери и Ламберт заблудились, идя по дорожке этих рассуждений. Чтобы мог сработать механизм рефлексивной симметрии, необходимо было не просто механически удлинять цепочки выводов, а натолкнуться на вполне определённые результаты, оставшиеся для них неизвестными. Рассмотрим это более подробно.

Итальянский математик иезуит Саккери издал в 1733 году замечательную работу "Евклид, очищенный от всех пятен; опыт установления самых первых начал всей геометрии". Она пользовалась определённым успехом у современников, но ко времени Лобачевского была практически забыта. Вопрос о постулате о параллельных занимал в этой книге одно из центральных мест. Саккери первым в истории математики приходит к мысли, что для доказательства постулата о параллельных достаточно опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе он посвящает обширное исследование, занимающее более 80 страниц. После ряда подготовительных рассуждений, которые Саккери проводит с безупречной строгостью, он показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Саккери пришёл к тем геометрическим образам, с которых, столетие спустя, начнёт развёртывать свою геометрическую систему Лобачевский (как известно, Лобачевский не был знаком с работами Саккери). Но поглощённый своей задачей опровержения гипотезы острого угла, Саккери, теоремой XXXI, внезапно обрывает “тонкую нить безупречных рассуждений”, делая из полученных положений вывод о противоречивости такой геометрической конструкции. Саккери допускает элементарную ошибку, связанную с некорректными утверждениями о бесконечно удалённой точке. Очевидно, чувствуя слабость этих утверждений, он пытается дать ещё одно опровержение гипотезы острого угла, но снова впадает в ошибку, на этот раз связанную с весьма характерной для 18 века неточностью применения метода бесконечно-малых (более подробный анализ ошибок Саккери можно найти в статье С.А. Яновской (Яновская 1950 С. 59 - 64). Заканчивая свои рассуждения, итальянский математик не смог скрыть своего удивления по поводу тех усилий, которые ему пришлось предпринять, прежде чем, как ему казалось, опровергнуть рассматриваемую гипотезу. Если гипотеза тупого угла опровергалась довольно просто ("при гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий"), то опровергнуть гипотезу острого угла удаётся только с помощью длинной цепи тончайших рассуждений.

Итак, Саккери выводит из сделанного допущения около 40 теорем, из которых два приводят к кажущемуся противоречию с предыдущими предложениями. Оставшиеся же теоремы, по существу, являются утверждениями геометрии Лобачевского - Бойяи. И, тем не менее, никто из исследователей работ Саккери и не пытается говорить, что итальянский математик, пусть сам того и не сознавая, открыл новую геометрическую систему. В лучшем случае речь идёт о предвосхищении начал неевклидовой геометрии. Заключается ли дело здесь лишь в том, что Саккери запутался и не продолжил цепочку выводов? Анализ исследований И.Г. Ламберта, шедшего по стопам Саккери, заставляет в этом сильно сомневаться.

Немецкий философ и математик И.Г. Ламберт в середине шестидесятых годов 18 века занимался Евклидом и заинтересовался теорией параллельных линий. Уже после его смерти, в литературном архиве Ламберта была найдена посвящённая этому вопросу статья. Она никогда им не публиковалась, т.к. те результаты, к которым немецкий философ в ней пришёл, видимо, не могли его удовлетворить (7, с. 148). Ламберт в своей работе так же очень подробно останавливается на гипотезе острого угла. При этой гипотезе сумма углов в треугольнике меньше двух прямых. Разница между двумя прямыми углами и суммой углов в треугольнике называется дефектом треугольника. Ламберт показывает, что величина дефекта треугольника пропорциональна его площади. А отсюда прямо вытекает, что существует треугольник с предельной, самой большой площадью, т.е. площадь треугольника не может быть сколь угодно велика. Более того, из этого следует, что должна существовать абсолютная единица длины, определяемая чисто геометрически, без помощи эталона. Её можно было бы определить, например, с помощью высоты предельного равнобедренного треугольника, которая больше высоты всякого другого равнобедренного треугольника. Подобия и пропорциональности фигур тогда не существовало бы вовсе. Ни одна фигура не могла бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине. Указывая ряд абсурдных утверждений, к которым приводит гипотеза острого угла, Ламберт сохраняет достаточную ясность мышления, чтобы заметить, что все они не дают логического доказательства, не вступают в противоречие ни сами с собой, ни с какими-либо предложениями абсолютной геометрии. Его поражает стройность выводов, но он не может понять её причины. Перед Ламбертом предстало богатство, с которым он не знал, что делать и поэтому был вынужден прервать свои исследования. Ламберт не впал в заблуждение по поводу полученных результатов, подобно Саккери, но не смог и продвинуться дальше. Он останавливается примерно на том же рубеже, что и Саккери. "Простое удлинение доказательных рассуждений" завело его в тот же тупик, что и итальянского математика. Им обоим чего-то не хватало для продвижения вперёд. Разумеется, они оба не сознавали действительного смысла своих действий по выводу следствий из гипотезы острого угла, не осуществляли над своей деятельностью никаких рефлексивно-симметричных преобразований (как пишет В.Ф. Каган, - "авторы были беспомощны перед полученными ими результатами"(2, с. 254)), но даже и те учёные, которые такие преобразования осуществляли, не обязательно продвигались много дальше. Речь здесь идёт в первую очередь о корреспонденте Гаусса Фердинанде Швейкарте.

Правовед по образованию, Швейкарт на досуге охотно занимался математикой. Идя по пути Саккери и Ламберта, по пути планомерного вывода всех следствий из гипотезы острого угла, Швейкарт также пришёл к исходным положениям гиперболической геометрии. Но в отличие от них, он, как это видно из его заметки, предназначенной для Гаусса, прямо признавал и существование иной, неевклидовой геометрии. По Швейкарту, существует двоякая геометрия: геометрия в узком смысле слова и звёздная (астральная). Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что сумма трёх их углов не равна двум прямым. Далее он упоминает примерно те же положения астральной геометрии, что мы находим и у Ламберта. Швейкарт осознал, что он имеет дело с новой геометрической системой, но это вовсе не помогло ему продвинуться сколько-нибудь существенно дальше Саккери и Ламберта. Швейкарт сообщил о своих исследованиях своему племяннику Тауринусу, молодому математику. Тауринус так же не смог ничего сделать для развития астральной геометрии. Свои усилия он направил на опровержение гипотезы острого угла, получив при этом некоторые новые результаты, впрочем, непринципиального характера. Поэтому Тауринус может быть поставлен в один ряд с Саккери и Ламбертом. Лишь "на берегах Волги и в глуши Венгрии в двадцатых годах XIX столетия получил новое и неожиданное решение вопрос, который более чем за 2000 лет перед этим был поставлен учёными Афин и Александрии" (Васильев 1992 С. 124). Что же позволило Лобачевскому и Бойяи пройти до конца по тому пути, по которому шли, хотели они того или не хотели, Саккери, Ламберт, Швейкарт и Тауринус?

4. Даже такой выдающийся знаток творчества Лобачевского, как В.Ф. Каган, описывает создание русским математиком неевклидовой геометрии в выражениях, не слишком отличающихся, по сути, от стандартной точки зрения, прозвучавшей в словах А.Г. Барабашева в приведённой выше цитате. Так, В.Ф. Каган пишет: "Гений Лобачевского сказался в том, что он не поддался … предубеждению; напротив, смело развивая следствия, вытекающие из отрицания пятого постулата, он создал новую геометрическую систему … Он имел решимость отказаться от связующей силы сложившихся геометрических представлений …" (Каган 1949 С. 152). Но откуда смелость и решимость при движении в никуда? Откуда воля продолжать движение? Несомненно, в самом начале работы над проблемой постулата о параллельных перед Лобачевским предстали те же разрозненные диковинные результаты, которые мы находим, например, в сочинении Ламберта. Значит, был какой-то момент, когда эти странные результаты оказались осознаны им как часть единого целого, новой теоретической системы. При этом речь не может идти о некотором случайном осознании, как это, скорее всего, было в случае Швейкарта. Лобачевский увидел реальные контуры новой геометрии, новой целостности. Возможно, здесь уместно применить представление о переключении гештальта, которое Т. Кун использовал в своей трактовке научных революций.

Психологи пользовались представлением о переключении гештальта, главным образом, в опытах, связанных с изменением зрительного восприятия. Томас Кун пришёл к выводу, что нечто, подобное этим переключениям, происходит в сознании учёных после научных революций. Их восприятие научной картины мира изменяется так, что одна целостность сменяется другой (Кун, 1977 С. 151 - 180). Сдвиг восприятия, сдвиг научного видения возникает в результате научных открытий. Но и сами эти открытия нередко требуют такого сдвига. Так, Аристотель и Галилей рассматривали одни и те же факты, но под разным углом зрения. То же самое можно сказать и о Саккери и Лобачевском. Что изменило точку зрения Лобачевского и позволило ему продолжить движение в столь необычном направлении?

На пути Лобачевского к его замечательному открытию можно выделить несколько этапов. Начало серьёзных размышлений русского математика, относящихся к основаниям геометрии, по-видимому, почти совпадает с началом его педагогической деятельности. До нас дошли записи лекций по элементарной геометрии, читанные Лобачевским студентам Казанского университета с 1815 по 1817 год (так называемые "Записки Темникова"). Каждый год при изложении своего курса, Лобачевский давал различные способы обоснования теории параллельных линий. В то время интерес к теории параллельных был особенно высок. Это было связано, главным образом, с выходящими тогда неоднократными переизданиями знаменитого учебника геометрии Лежандра. В этих переизданиях Лежандр предпринял многочисленные попытки дать доказательство пятого постулата Евклида. Но, в конце концов, они оказывались недостаточными. Неудивительно, что Лобачевский тоже попытался испробовать свои силы на этом поприще. В курсе 1815 года Лобачевский дал оригинальное, в духе Лежандра, доказательство постулата о параллельных. Но уже к следующему году он в нём разочаровался и попробовал изложить теорию параллельных с помощью переосмысления самого понятия параллельности. При этом он исходил из понятия о направлении, как основном, и пытался определить параллельные линии, как простирающиеся в одном направлении. Но и это его не удовлетворило, и в 1817 году он дал ещё одно доказательство, основанное, на этот раз, на рассмотрении бесконечных частей плоскости. Таким образом, Лобачевский постепенно разочаровался не только в своих попытках доказательства постулата о параллельных, но и, видимо, в попытках его доказательства вообще. К этому надо прибавить ещё одно немаловажное обстоятельство: Лобачевский не только занимался обоснованием теории параллельных, но он стал размышлять и об основаниях геометрии в целом.

В тех же тетрадях лекций по геометрии, в которых мы встречаем различные попытки доказательства пятого постулата Евклида, мы находим и различные попытки обоснования геометрии (Васильев 1992 С. 134 - 136). Лобачевский пытался дать себе отчёт в тех первичных понятиях, из которых исходит геометрия. Так, в одной из тетрадей геометрия определяется как наука о пространстве: "геометрическое тело есть часть полного пространства, простирающаяся во все стороны, но вместе с тем ограниченная". Поверхность есть граница тела, граница поверхности есть линия, граница линии - точка. Далее Лобачевский делает попытку определить свойства пространства. В другой тетради он уже избегает слова "пространство", но вводит вместо него понятие "протяжение". Именно протяжения, по мнению Лобачевского, составляют предмет геометрии. Соответственно, протяжение одного измерения называется в геометрии линией, а протяжение двух измерений - поверхностью. Связь же между протяжениями различных измерений устанавливается движением. Линия происходит от движения точки, поверхность - от движения линии, а тело - от движения поверхности. Наконец, в третьей тетради Лобачевский вместо понятия "протяжение" вводит, как основное, понятие "прикосновение тел". Через прикосновение двух тел Лобачевский определяет поверхность, линию, точку. И такой подход к основаниям геометрии оказался у Лобачевского окончательным. Его он проводит во всех своих зрелых работах. Этот подход наиболее соответствует тем гносеологическим установкам, которых Лобачевский придерживался в отношении геометрии. Для него геометрия - опытная наука. И он стремится рассматривать её как учёный-эмпирик. Основными понятиями геометрии не могут быть ни пространство, ни протяжение, ни поверхность, ни линия и т.п., потому что они существуют только в воображении. Ясное же понятие, по мнению Лобачевского, может быть соединено только с теми словами, которым можно указать прямые референты в реальном мире. Поэтому в предисловии к "Новым началам геометрии…" (12) он формулирует следующую точку зрения: "В природе нет ни прямых, ни кривых линий, нет плоскостей и кривых поверхностей, в ней находим одни тела, так что всё прочее создано нашим воображением, существует только в теории". Лобачевский считает, что с помощью чувств мы познаём в природе одни только тела. Это факт, от которого нельзя отвернуться, и поэтому он предлагает считать основным объектом геометрии тело, а основными отношениями между телами - их прикосновение. Все остальные понятия должны быть определены через эти основные.

Таким образом, главным злом в основаниях геометрии Лобачевский, в конце концов, стал считать "темноту", "отвлечённость" начальных геометрических абстракций и направил свои усилия на то, чтобы возвратиться от них к тем понятиям, которые "непосредственно соединены с представлениями тел в нашем уме, к которым наше воображение приучено, которые можно поверять в природе прямо, не прибегая наперёд к другим, искусственным и посторонним" (Яновская 1950).

Возвратимся теперь к постулату о параллельных. Вдумываясь всё более и более в начальные понятия геометрии, Лобачевский начал, по-видимому, отчётливо сознавать, что неудачи в доказательстве пятого постулата не случайны. Он пришёл к выводу, что в самих понятиях, с которыми имеет дело геометрия, ещё не заключается той истины, которую хотим доказать (Яновская 1950 С. 147). Поэтому Лобачевский начинает “Пангеометрию” следующими словами: “Понятия, на которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного треугольника равна двум прямым ... Недостаточность начальных понятий для доказательства приведённой теоремы принудила геометров допускать вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее произвольны и, следовательно, допущены быть не могут” (Лобачевский 1946 С. 137). Итак, постулат Евклида не обоснован ни логически, ни эмпирически! Возможно, что опыты Лобачевского по тотальному эмпирическому обоснованию геометрии были реакцией русского математика на то странное обстоятельство, что все попытки строго логического доказательства постулата о параллельных терпели неизбежный крах. Но положительного результата, в этом отношении, не дали и они. Постепенно Лобачевский понял ограниченность эмпирического метода в геометрии. Поскольку геометрические свойства пространства зависят от физических свойств тел и могут, следовательно, меняться с изменением этих физических свойств, то ничего не стоит, как стал считать русский математик, и аргументация к тому, что следствия из евклидовой теории параллельных совпадают с результатами самых точных измерений. Ведь “за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений” (12) может быть действительной совсем иная геометрия. Поэтому по-прежнему оставались две возможности – гипотеза прямого и гипотеза острого угла. Хотя, может быть, Лобачевский и более, чем кто-либо, ясно сознавал, что они обе произвольны и необоснованны. Пойти дальше Саккери и Ламберта гениальный русский математик смог лишь после одного неожиданного открытия.

Впервые новая теория параллельных была публично изложена Лобачевским 11 февраля 1826 года в докладе, прочитанном на заседании физико-математического отделения Казанского университета. Текст доклада до нас не дошёл, но известно, что все его основные идеи вошли в первое сочинение Лобачевского по геометрии, напечатанное при его жизни - “О началах геометрии” (1830). В этой работе, как Саккери и Ламберт, Лобачевский рассматривает следствия гипотезы острого угла. Но в основном лишь постольку, поскольку это необходимо ему для обоснования удивительного открытия: геометрия, возникающая при принятии гипотезы острого угла, заключает в себя собственно евклидову геометрию как частный случай! “Другое предположение и одно, которое до сих пор допускали Геометры, - пишет Лобачевский, - заключается также в этом общем (гипотезе острого угла – М.В.), с тем ограничением, что линии должно рассматривать бесконечно малыми ...” (Лобачевский 1956 С. 199). Поэтому геометрия Евклида является предельным случаем новой геометрической системы. Итак, работа в рамках обоснования евклидовой геометрии привела к результату, который прямо показывает на то, что мы вышли за рамки этой геометрии. Мы работаем уже в какой-то иной математической программе. Таким образом, существовала некоторая поворотная точка, после которой стало абсолютно ясно, что, развивая гипотезу острого, угла мы имеем дело уже не со странными разрозненными фактами, а с фрагментами иной геометрии. После этого почти с необходимостью должно было произойти, говоря языком психологии, переключение гештальта. Должен был сработать механизм рефлексивно-симметричных преобразований.

Для того, чтобы рассмотреть этот вопрос подробнее, обратимся ещё к одной работе Лобачевского. Речь идёт о небольшой работе “Геометрические исследования по теории параллельных линий” (1840). В ней в наиболее ясной и логически совершенной форме гениальным русским математиком были изложены идеи новой геометрии. По выражению В.Ф. Кагана, она является “одним из наиболее блестящих перлов математической литературы” (Каган 1949 С. 277). Именно по ней Гаусс, а вслед за ним и другие западные математики познакомились с творчеством Лобачевского.

По содержанию “Геометрические исследования ...” можно разбить на три основные части. В первой части (главы I-V) Лобачевский даёт перечень некоторых положений абсолютной геометрии, которые он будет в дальнейшем использовать. После этого он встаёт на точку зрения гипотезы острого угла и выводит из неё ряд следствий. Во второй части (главы VI-VIII) он после необходимых подготовительных предложений вводит понятия о предельной линии и предельной поверхности и доказывает теорему, что геометрия предельной поверхности формально совпадает с евклидовой планиметрией. Наконец, в третьей части (главы IX-XI) Лобачевский излагает неевклидову тригонометрию. Неевклидова тригонометрия завершает синтетическое развёртывание новой геометрической системы. “После этого, - пишет Лобачевский, - всё прочее в геометрии будет уже аналитикой” (Лобачевский 1956 С. 260). Таким образом, переход от первой части, развивающей новую геометрию до уровня Саккери и Ламберта, к третьей части, в которой выводятся ключевые формулы неевклидовой тригонометрии, предполагает вторую часть, в которой впервые появляются геометрические образы, которых не существует в евклидовой геометрии – предельные линии и поверхности. Именно с этими образами связано то “возрождение евклидовой планиметрии в недрах неевклидовой геометрии, к которому с различных точек зрения пришли все (курсив мой – М.В.) творцы неевклидовой геометрии” и которое “составляет наиболее важный момент в её развитии” (Каган 1963 с.405).

Нам сложно по изданным геометрическим работам Лобачевского в точности судить о том, как он пришёл к открытию предельных поверхностей. А каких-либо набросков его геометрической системы, могущих осветить интересующий нас вопрос, по-видимому, не сохранилось. Зато до нас дошли многочисленные рукописные тетради Бойяи (см.Васильев 1992 С. 120 - 121). Из них видно, что ещё в 1820 году он пришел к мысли рассматривать круг с бесконечно большим радиусом и поставил теорию параллельных линий в связь с вопросом, является ли этот круг (т.е. предел, к которому стремятся круги при увеличении радиуса до бесконечности) прямой или же иной линией. Видимо он считал, что какая-то из этих альтернатив ведёт к опровержению гипотезы острого угла. Должно было пройти три года, прежде чем эта гениальная мысль позволила ему начать обработку “неевклидовой геометрии” и ещё два года для того, чтобы закончить её. Как и Бойяи, Лобачевский, по всей видимости, пришёл к идее предельной линии и предельной поверхности, пытаясь отыскать те следствия гипотезы острого угла, которые могли бы её опровергнуть. Попробуем на интуитивном уровне реконструировать возможный ход рассуждений.

Возьмём некоторую совокупность параллельных прямых линий собственно евклидовой геометрии. Проведём линию, к которой все эти параллельные будут расположены под прямым углом (ортогонально). Эта линия будет называться ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Очевидно, что ортогональной траекторией пучка параллельных прямых в евклидовой плоскости является прямая линия. Это логическое следствие пятого постулата Евклида. Действительно, проведём прямую линию ортогонально одной из линий пучка параллельных, тогда, в силу пятого постулата, она будет ортогональна всем этим линиям. А так как к одной точке нельзя опустить два различных перпендикуляра, то прямая линия будет единственной ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Если П – постулат о параллельных, а А – утверждение об ортогональности прямой линии пучку параллельных прямых, то в собственно евклидовой геометрии истинна следующая формула: П > А. Но что будет ортогональной траекторией пучка параллельных прямых при принятии гипотезы острого угла (т.е. при ¬П )? В этом случае параллельные прямые неограниченно сближаются. Поэтому их можно представить, как сходящиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда пучок таких параллельных можно рассматривать как радиусы окружности с бесконечно удалённым центром. Несомненно этот образ посещал Бойяи в 1820 году. Но обратимся снова к собственно евклидовой геометрии. Рассмотрим в ней окружность и пучок прямых линий, проходящих через её центр. Эти прямые будут ортогональны окружности. Она будет для них ортогональной траекторией. Будем теперь рассматривать окружность всё большего и большего радиуса. При радиусе окружности, стремящемся к бесконечности, любая конечная её дуга будет сколь угодно близко приближаться к соответствующему отрезку прямой линии, т.е. дуги как бы “выпрямляются”, их кривизна может быть сделана меньше любой заданной величины. В этом смысле говорят, что в евклидовой плоскости с увеличением радиуса окружность неограниченно приближается к прямой линии. Такая прямая будет называться предельной линией. Поэтому предельной линией называют и ортогональную траекторию пучка параллельных прямых неевклидовой геометрии. Но будет ли она прямой линией и здесь? Положительный ответ на этот вопрос приводит к опровержению гипотезы острого угла. Действительно, в этом случае было бы справедливо, что ¬П > А. Но из А следует П. Если пучок параллельных линий в евклидовой плоскости ортогонален некоторой прямой, то любая прямая, которая не была бы ей ортогональна, в то же время не будет параллельна ни одной линии из этого пучка. Она пересечёт его, что эквивалентно пятому постулату Евклида. Тогда получается, что ¬П > А > П. И цель многовековых усилий достигнута.

Если это и был замысел Бойяи, то он потерпел крушение. Предельной линией пучка параллельных прямых в случае принятия гипотезы острого угла является не прямая линия, но некоторая кривая – орицикл, как её называет Лобачевский. Но здесь основателей неевклидовой геометрии и ждало неожиданное открытие. Если предельную линию – орицикл вращать вокруг одной из её осей, то получается своеобразная поверхность, которую Лобачевский называет предельной сферой или просто предельной поверхностью. Оказалось, что в пространстве Лобачевского предельная поверхность несёт на себе двумерную евклидову геометрию! Когда мы отказываемся от евклидовой геометрии на плоскости, она не прекращает своего существования. И хотя она не выполняется на гиперболической плоскости (плоскости пространства Лобачевского), но она переходит на другую поверхность – на предельную поверхность. Сумма углов треугольника на предельной поверхности всегда равна двум прямым. На ней будет справедливо каждое предложение евклидовой планиметрии, если под прямой разуметь предельную линию.

Итак, на некотором частном фрагменте геометрии, возникающей при принятии гипотезы острого угла, справедлив пятый постулат Евклида! Отсюда и вытекает, что новая геометрическая система является более общей, по сравнению с собственно евклидовой геометрией, и включает её в себя, как частный случай. Так впервые был осуществлён радикальный выход из евклидовой программы развития геометрии. До этого тень александрийского математика неотступно висела почти над каждым творческим усилием европейских геометров. После этого стало почти неизбежным переосмысление всего геометрического материала, полученного с помощью вывода следствий из гипотезы острого угла. Стало почти неизбежным переключение гештальта и рефлексивно-симметричные преобразования. Но замечательно и то, что открытие предельных поверхностей придало не только психологическую уверенность первооткрывателям новой геометрии, но и ключ к её дальнейшему развитию.

Вместе с восстановлением евклидовой геометрии в неевклидовом пространстве сохраняются и все средства евклидовой планиметрии и прежде всего её тригонометрия. С древности существовал известный приём для построения тригонометрии сферы. В евклидовом пространстве мы, исходя от плоскости, надлежащей проекцией её на сферу, получаем сферическую тригонометрию. Подобным образом действует в нашем случае и Лобачевский. Проектируя “предельные треугольники” на плоскость, он приходит к тригонометрии прямолинейного треугольника в гиперболической плоскости. Именно после этого “всё прочее в геометрии стало уже аналитикой”. Располагая тригонометрией гиперболической плоскости, Лобачевский получил возможность построить в своей “воображаемой геометрии” аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию, вести интегральные вычисления – довести созданную им геометрию до тех высот, до которых в течении трёх тысячелетий поднималась классическая геометрия Евклида (2, с. 276 - 277).

Если учесть, что Гаусс в его письме отцу Иоанна Бойяи Вольфангу Бойяи от 6 марта 1832 года прямо пишет о том, что он уже давно не просто пришёл к тем же результатам, что и его сын, но и тем же самым путём (Васильев 1992 С. 121), то можно со всей ответственностью утверждать, что существовала вполне однозначная, жёсткая логика открытия гиперболической геометрии, хотя это и не была логика математического вывода.


Вопросы

  1. Прочитайте законы развития математики Майкла Кроу. Приведите примеры действия законов 1 -9.

  2. На основании чего Кроу сформулировал 10ый закон? Согласны ли Вы с этим законом7

  3. Как Мертенс описывает появление неевклидовой геометрии? Что именно он считает революционным в этом случае?

  4. Как Мертенс описывает то, что происходит «в» математике? «о чем математика? Что он включает в математику, а что – нет?

  5. Являются ли позиции Мертенс и Кроу относительно революций в математике несовместимыми?

  6. Как трактует революцию в математике Д. Даубен?

  7. Как связаны революционные работы по обоснованию математического анализа Коши с преподаванием математики, с реформой системы образования?

  8. Является ли развитие математики кумулятивным процессом? Каково мнение Даубена?

  9. Как Э. Грошольц описывает математические новации Лейбница?

  10. Что К. Данморе включает в метауровень математики? Как она трактует революции в математике?

  11. Является ли создание математического анализа революцией? Приведите аргументы за и против.

  12. Э. Кении о революционных и трансформационных событиях в истории математики.

  13. Составьте единую типологию взглядов на факторы изменений математики, выявленные при обсуждении понятия научной революции в математике.

  1. Назовите особенности «нового мира», которым является неевклидова геометрия.

  2. Что такое незнание и неведение?

  3. Что Б.С. Грязнов называет поризмом?

  4. Назовите 10 «законов» развития математики (Веркутис М.Ю. Формирование нового знания в математике: рефлексивные преобразования и рациональные переходы. Новосибирск, 2004. стр. 87-88)

  5. Каким должна быть деятельность ученых для обнаружения новых, неведомых явлений?

  6. Какую традиционную для геометрии задачу решали Лобачевский и Бойяи, когда они «натолкнулись» на новый неведомый мир неевклидовой геометрии?

  7. Чего не сделали их предшественники, многие из которых реально доказали ряд теорем новой геометрии, но справедливо не считающиеся ее творцами?

  8. Как устроены «Начала» Евклида? Назовите аксиомы и постулаты Евклида. Что такое абсолютная геометрия?

  9. В чем специфика V постулата Евклида? Почему его стремились доказать еще в Древней Греции?

  10. Что такое гипотеза острого угла? Тупого?

  11. Возникла ли геометрия Лобачевского «путем простого удлинения доказательных рассуждений» от противного?

  12. Как понимает рефлексию М.А. Розов? Что такое системы с рефлексией? Рефлексивно-симметричные преобразования деятельности?

  13. Как можно объяснить открытие Галуа (введение понятия группы), используя представления о рефлексивной симметрии?

  14. Как связаны опровержение гипотезы острого угла и построение совершенно новой геометрии, существование которой невозможно было предположить в рамках традиционных математических программ?

  15. Расскажите об исследованиях Саккери, Ламберта, Швейкарта. Почему они не открыли неевклидову геометрию?

  16. Что такое переключение гештальта в модели научных революций Т. Куна?

  17. Как связаны научная и педагогическая деятельность Лобачевского?

  18. Какую роль в открытии новой геометрии Лобачевским играл его интерес к основным понятиям геометрии?

  19. Какой математический факт, установленный Лобачевским, сыграл решающую роль в осознании им того, что открыта новая геометрия?

3.4. Проявления рефлексии в математическом познании или –
утратила ли математика определенность?

Тезис об утрате определенности вынесен в заглавие книги М. Клайна – Математика и утрата определенности. М., Мир, 1984. Редактор перевода этой книги И.М. Яглом, высоко оценивая книгу Клайна, пишет, что книга ставит своей целью ответить на такие вопросы, как «Что такое математика? Каковы ее происхождение и история? В чем отличие математики от других наук? Чем занимаются математики сегодня и каков, по их мнению, ныне статус науки, которая составляет предмет их интересов и профессиональной деятельности?» (Клайн 1984 С. 5). Во Введении Клайн формулирует основной тезис: «Нам надлежит выяснить, почему, несмотря на шаткие основания и взаимоисключающие теории, математика оказалась столь непостижимо эффективной» (Клайн 1984 С. 17). Во Введении же Клайн рисует довольно безрадостную картину математики XIX - XX веков, которая и приводит его к тезису об утрате математикой определенности. Перечислим тезисы автора и на их базе сформулируем задачу статьи. Основной тезис статьи состоит в следующем – суждения Клайна – это суждения рефлексии. Но развитие не обязательно идет тем путем, на который нацеливает (прямо или косвенно) рефлексия, ибо в познании действует закон Страхова. Рефлексия может ошибаться и тезис о том, что математика утратила определенность обязан ошибочной картине математики.

Первый тезис - математика для получения своих мощных результатов использовала особый метод – метод дедуктивных выводов из небольшого числа самоочевидных принципов, называемых аксиомами. «Очевидная, безотказная и безупречная логика дедуктивного вывода позволила математикам извлечь из аксиом многочисленные неоспоримые и неопровержимые заключения». (Клайн 1984 С. 13)

Следующий тезис – «Созданные в начале XIX в. необычные геометрии и столь же необычные алгебры вынудили математиков исподволь – и крайне неохотно – осознать, что и сама математика, и математические законы в других науках не есть абсолютные истины. Например, математики с досадой обнаружили, что несколько различных геометрий одинаково хорошо согласуются с наблюдательными данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой – следовательно, все они не могли быть одновременно истинными. Отсюда напрашивается вывод, что природа построена не на чисто математической основе, а если такая первооснова и существует, то созданная человеком математика не обязательно соответствует ей. Ключ к реальности был утерян». Осознание этой потери было первым из бедствий, обрушившихся на математику». (Клайн 1984 С. 13-14).

К началу XX в. в математике обнаружились парадоксы. При их разрешении возникло четыре различных подхода к математике. Все четыре направления математики стремились не только разрешить известные противоречия, но и гарантировать, что в будущем не появятся новые противоречия, т.е. старались доказать непротиворечивость математики. Однако Курт Гедель показал, что «непротиворечивость математики невозможно доказать, не затрагивая самих логических принципов, замкнутость которых весьма сомнительна». (Клайн 1984 С. 15) стало ясно, пишет Клайн, что представление о том, что математика - свод общепринятых, незыблемых истин, что математика - величественная наука и гордость человека – не более, чем заблуждение. (это картина, нарисованная рефлексией, она и оказалась неработающей). «Нынешнее состояние математики – не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства» Рухнула картина математики, нарисованная рефлексией, а не сама математика. Задача статьи – проанализировать то противоречие, о котором пишет Клайн – математика, с одной стороны, имеет шаткие основания и взаимоисключающие теории, а, с другой – математика необычайно эффективна. Причина противоречия – утверждения о шатких основаниях и взаимоисключающих теориях – это суждения рефлексии, но системы с рефлексией далеко не всегда следуют в своем развитии тому, что им предлагает рефлексия.

Под системами с рефлексией М.А. Розов понимает «такие социальные образования, которые, осуществляя определенное поведение, способны это поведение описывать в виде последовательности целенаправленных действий и использовать полученные описания для дальнейшего воспроизведения этих действий» (Розов 2006-2 С. 180). Речевое общение людей, наука, производство, литература и т.п. – все это системы с рефлексией. Описания действий могут выступить как программы новой деятельности, однако, это происходит далеко не всегда, ибо осуществлять деятельность можно не только по программе (по описанию), но и по непосредственным образцам предшествующей деятельности. Более того, М.А. Розов, развивший идею систем с рефлексией, сформулировал «закон» Страхова – если программу не выполняет (реализует) тот, кто ее создал, то ее не выполняет никто. Имеется ввиду ситуация, когда описание деятельности и непосредственные образцы противоречат друг другу. Очень важно, что рефлексия фиксирует цель, ради которой осуществляется поведение. Т.е. именно рефлексия превращает поведение в деятельность, фиксируя цель. В рефлексии есть, таким образом, описательная компонента и целеполагающая. Описательная компонента всегда представлена в языковой форме, но этого нельзя сказать о целеполагании (Розов 2006-2 С. 179). Рефлексия тем не менее – это некоторая целостность и акт целеполагания играет в ее составе ведущую роль, ибо не сформулировав цель, мы не сможем описать деятельность.

Наука познает мир и одновременно строит рефлексивную картину деятельности ученых. При изучении систем с рефлексией существенную роль играет вопрос о том, как соотносятся рефлексивная картина деятельности ученого и сама эта деятельность, управляет ли рефлексия деятельностью ученых, или они руководствуются чем-то другим. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим, как Розов анализирует разговор Сократа с Евфидемом из «Воспоминаний» Ксенофонта. На вопрос Сократа, куда отнести ложь, Евфидем отвечает – к делам несправедливым, туда же относит обман, воровство и т.п. На вопрос Сократа – справедлив ли грабеж неприятельского города, Евфидем отвечает – такой грабеж справедлив. Однако обманом данное больному ребенку лекарство Евфидем считает справедливым. Сократ здесь требует от Евфидема рефлексивного осознания того, что тот понимает под несправедливостью, требует осознания или вербализации образцов словоупотребления. Евфидем формулирует несколько «правил», утверждая, что несправедливым следует считать ложь, грабеж, продажу в рабство. Любая попытка уточнения или определения такого рода понятий, которые до того использовались только в рамках непосредственных эстафет словоупотребления, представляет собой типичный акт рефлексии.

Но Евфидем не только рефлексирует в этом разговоре, т.е. формулирует правила, но и тут же отказывается от результатов своей рефлексии. На вопрос о том, справедливо ли обманывать врага, Евфидем должен был бы ответить, что он уже сказал, что ложь несправедлива. Однако Евфидем дает совсем другой ответ. Его заставляют дать этот ответ образцы словоупотребления, и эти образцы оказываются «сильнее» сформулированных в рефлексии правил словоупотребления (Розов 2006-2 С. 183-184).

Возможны две стратегии рефлектирующих систем. Первая стратегия состоит в том, чтобы в ситуациях, когда рефлексивные предписания противоречат непосредственным образцам, отдавать предпочтения последним. Речь при этом идет не только о продуктах рефлексии в буквальном смысле слова, но и о вербальных программах вообще. Первая стратегия была реализована Евфидемом – на вопрос Сократа о том, как характеризовать обман врага, Евфидем руководствовался не правилом, которое сам сформулировал (ложь – дело несправедливое), а непосредственными образцами, когда обман врага приветствовался и считался делом справедливым.

Вторая стратегия состоит в том, чтобы действовать в соответствии с рефлексией. Такая стратегия имеет место тогда, когда рефлексивные предписания заглушают непосредственные образцы. Этой стратегии следовал бы Евфидем, если бы на вопрос Сократа – можно ли обманывать врага, он бы ответил: «Сократ, я ведь уже сказал, что ложь – дело несправедливое».



Рассмотрим, как проявляется рефлексия в работе Клайна. Одним из проявлений «утраты определенности» математиков Клайн считает, что математики стали поступаться строгостью рассуждений, чисто логические соображения подменялись интуитивными аргументами, заимствованными из физики, апелляциями к наглядности и ссылками на чертежи. Алогичность развития математики заключалась также в неадекватном толковании понятий, в несоблюдении всех необходимых правил логики, в неполноте и недостаточной строгости доказательств. Здесь зафиксировано явное расхождение между тем, как математики представляли себе – какими должны быть доказательства, и какими они являются в реальности. Действительно, уже в работах Архимеда используются физические аналогии, сведение геометрического чертежа к рычагам (чтобы затем перенести на геометрические отрезки соотношения, установленные для рычагов), и сам Архимед говорит здесь о «физической математике». В других работах по формированию интегрального исчисления тоже обращаются к нестрогим приемам, к понятию бесконечно малого и т.д., отбрасывают одни члены в уравнениях и не отбрасывают другие без достаточных объяснений. Однако несоответствие канону не победило в этот момент развития математики (речь идет о формировании интегрального исчисления) – действовали не по умозрительным правилам, а по образцам рассуждений тех математиков, которые получали результаты вычисления площадей и объемов криволинейных фигур. Можно объяснить это следующим образом. Сейчас мы говорим, что в работах Архимеда, Кеплера, Ферма и других математиков формировалось интегральное исчисление, тогда как они сами осознавали свою работу как вычисление площадей и объемов криволинейных фигур. При этом они использовали те приемы, которые приводили к цели, независимо от того, соответствовали ли эти приемы идеям строгости математики, или нет. В этот период математика развивалась как некое прикладное исследование, и критерием ее успешности было вовсе не соответствие идеалам того, что есть математика, а другим критериям - прагматическим – дают ли используемые приемы результат, или – нет. Математики действовали по образцам, а не в соответствии с идеалом математического знания именно потому, что нестрогие образцы давали результат, тогда как следование строгим идеалам в это время не только не способствовало решению задачи, но и даже мешало этому. Таким образом, один из ответов на много раз повторявшийся вопрос Н. Бурбаки - существует одна математика или много, таков – в разные периоды функционирования математики ученые реализуют разные ценностные установки – чистая математика, которая и стала образцом строгости, следует одним ценностным установкам, а от математики, обслуживающей потребности других наук, не требуется такой строгости. Применительно к формированию математического анализа, которому Клайн посвятил специальный раздел («Нелогичное развитие: в трясине математического анализа») следует подчеркнуть, что творцы анализа (Архимед, Кеплер, Ферма и многие другие) вовсе не создавали новое исчисление, они решали конкретные задачи на вычисление площадей и объемов криволинейных фигур и тел. До них вообще никто не создавал исчислений в математике. Лишь Ньютон и, главным образом, Лейбниц поняли, что они и их предшественники не просто нашли формулы, а создали нечто совершенно новое – исчисление как свод правил дифференцирования и интегрирования.

Слова Клайна о нелогичном развитии логичнейшей из наук, об увядании истины в математике, о ее шатких основаниях – это суждения рефлексии. Однако для того, чтобы понять, почему же математика все же является непостижимо эффективной, одних суждений рефлексии недостаточно. Нужно изучать, в рамках каких программ – исследовательских и коллекторских работают математики.

Рассмотрим еще один тезис Клайна, тоже фиксирующий противоречие: «почему математика вообще эффективна, если вопрос о том, что такое настоящая математика, вызывает столько споров» (Клайн 1984 С. 17). Редактор перевода, И.М. Яглом пишет, что «конструктивный» ответ на этот вопрос дается в известной книге Р.Куранта и Г. Роббинса – «математикой называется все то, о чем говорится в нашей книге» (Курант, Роббинс С. 5). При всей краткости и «странности» этого ответа в нем содержится глубокий смысл, если слегка перефразировать слова авторов – «математика есть все то, чем занимаются математики». Примерно такие же определения дают и физики своей науке. Отметим, прежде всего, что вопрос о предмете каждой науки – это вопрос о тех нормативах, в рамках которой работает каждая наука. Отвечая на вопрос о предмете, мы обычно пытаемся определить сферу изучаемых явлений, характер решаемых задач, особенности используемых методов. Иными словами, определить предмет науки – это значит сформулировать некоторое множество нормативов, которые задают границы данной научной области. Многочисленные дискуссии о проблеме предмета различных наук достаточно красноречиво показывают, что и здесь проблема предмета той или иной области знания решается отнюдь не просто, если вообще решается.

Итак, определяя предмет той или иной области знания, мы должны осознавать, что стремление к максимальной строгости и точности формулировок отнюдь не способствует пониманию реального механизма функционирования науки, а детальный анализ этого механизма в свою очередь противоречит точному заданию предметных границ. Может быть, именно поэтому дискуссии о предмете, как правило, не приводят к ситуации полного единодушия, что, однако, не мешает науке успешно развиваться. Определение предмета конкретных наук это работа рефлексии, а развитие этой науки – это следование не рефлексивным предписаниям, а образцам реальной работы в конкретной науке, в частности, в математике. Поэтому определение Куранта и Роббинса вполне работает.



    1. «ФИЗИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА» АРХИМЕДА, ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

И МЕХАНИЗМЫ НОВАЦИЙ В МАТЕМАТИКЕ

Для того чтобы определить задачи данного параграфа, рассмотрим высказывание Д. Пойа: «Так уж сложилось, что одно из величайших математических открытий всех времен и народов имело своим источником физическую интуицию. Я имею в виду открытие Архимедом той ветви науки, которую сегодня мы называем интегральным исчислением. Архимед нашел площадь параболического сегмента, объем шара и еще около дюжины подобных результатов с помощью единообразного метода, в котором важную роль играет идея равновесия. Как он сам сказал, он «исследовал несколько математических задач средствами механики»» (Пойа 1975, 173–174). Сформулируем несколько вопросов. Открыл ли Архимед интегральное исчисление? Если да, то почему обычно считается, что дифференциальное и интегральное исчисление возникло в XVII веке в работах Ньютона и Лейбница? Почему открытие исчисления растянулось почти на 2000 лет? Да и Ньютон и Лейбниц – не «окончательные» авторы исчисления. После них были Коши, Вейерштрасс, а иногда завершение этого процесса относят еще дальше – к появлению нестандартного анализа. Что происходило с III века до н. э., когда жил Архимед, до XVII века, когда появились сочинения Ньютона и Лейбница? К числу создателей исчисления относят также Кеплера, Кавальери, Ферма и других авторов. Каков их вклад в создание исчисления, что именно они делали и почему не они создали исчисление? Архимед – один из создателей исчисления или его относят к авторам исчисления задним числом, когда исчисление уже создано? А может быть и правомерно его считать одним из авторов в силу того, что он сам осознавал значимость своего метода (правда, это метод нахождения площадей и объемов криволинейных фигур). Таким образом, рассмотрим две группы вопросов – первая связана с Архимедом – каковы механизмы новаций в его работе, какую роль играют средства механики в решении математической задачи вычисления объемов криволинейных тел? Почему нельзя в полной мере считать Архимеда создателем интегрального исчисления, хотя он и решил задачи нахождения объемов тел – типичные задачи интегрального исчислении? Вторая группа вопросов – о дальнейшем пути формирования исчисления – что сделали Кеплер, Кавальери, Ферма и другие математики для создания исчислении? Почему не они его авторы, а Ньютон и Лейбниц. Что именно сделали Ньютон и Лейбниц для создания исчисления? Что все же осталось на долю Коши и Вейерштрасса – т. е. почему понадобилась работа по обоснованию исчисления?

Совокупность вопросов можно дополнить, поставив другую цель – интересоваться не созданием данного исчисления, а новациями в математике. Случайно или нет при решении новой математической задачи Архимед обратился к механике? Каким образом решение конкретной математической задачи (вычисление объемов криволинейных тел) привело к формированию новых понятий (дифференциал, интеграл) и созданию новой математической теории? Почему понадобились исследования по обоснованию математического анализа? В итоге все это ответы на один вопрос – каковы механизмы новаций в математике.

Рассмотрим, как Архимед доказывает знаменитую теорему о площади сегмента параболы в работе «Послание к Эратосфену. О механических теоремах» (Архимед 1962,300–301):

«Пусть ΑΒΓ будет сегмент, заключающийся между прямой ΑΓ и параболой ΑΒΓ; разделим ΑΓ пополам в Δ, параллельно диаметру проведем ΔΒΕ и соединяющие прямые ΑΒ и ΒΓ (см. рисунок). Я утверждаю, что сегмент ΑΒΓ составляет четыре трети треугольника ΑΒΓ».

Чтобы осуществить доказательство, Архимед 1) преобразует чертеж – делит отрезок АГ пополам в точке Δ, проводит линию ΔВЕ параллельно диаметру и соединяет прямые АВ и ВГ. Затем из точек А и Г проводит АΖ, параллельную АВЕ, и ГΖ, касательную к параболе; продолжает ГВ до К и откладывает КΘ, равную ГК. 2) распознает на преобразованном чертеже равноплечий рычаг ГΘ с серединой К, т. е. работает в рамках механики (статики); 3) проводит прямую МΞ, параллельную ЕΔ, устанавливает ряд равенств, т. е. снова работает в рамках геометрии 4) пользуясь тем, что МΝ равна ΝΞ, заключает, что точка Ν есть центр тяжести прямой МΞ и прямая ТΞН уравновесит МΞ,4) устанавливает, что точка К будет центром тяжести величины, составленной из обоих весов (ТН и МΞ) 5) заполняет треугольник ГZА и сегмент прямыми, передвигает сегмент параболы так, чтобы точка К была центром тяжести величины, составленной из них обоих.2

Для анализа метода Архимеда воспользуемся представлениями о конструкторе как одной из программ научного исследования. Концепция была предложена М. А. Розовым: «Конструктором мы будем называть некоторое множество объектов, для которых заданы определенные способы их преобразования» (Розов 2004, 281). В науке мы сталкиваемся с такими программами конструирования, как «конструирование чисел, без чего невозможен счет и измерение, и различные системы координат, без которых невозможно задать положение тела в пространстве. Это атомистика, позволяющая строить объяснения огромного количества физических и химических явлений» (Розов 2006, 343).

Мы видим, что Архимед работает в конструкторе геометрии, при этом он так преобразует чертеж, чтобы можно было воспользоваться представлениями статики, открытыми им же самим (распознать равноплечий рычаг, центры тяжести фигур), затем так достраивает чертеж, чтобы получились фигуры, которые находятся в равновесии, что опять является прерогативой механики. Его доказательство свидетельствует о том, что математика – это не просто система рассуждений, но, прежде всего, преобразование чертежей (или записей, если речь идет об алгебре), а затем, использование знаний из близ лежащей науки – статики, и наконец, возвращение снова к геометрии.

Часто философы не замечают конструирование как тип работы в математике, полагая, что строгое математическое доказательство должно быть выведено из определенного конечного числа утверждений (аксиом) и не использует никакой информации, выходящей за пределы этих утверждений (Перминов 1986,6).Вопрос о строгости математического доказательства имеет не только академический интерес. Он имеет практический смысл – что допустимо в доказательстве теорем, а что – нет. Идея герметичности не разрешает пользоваться никакой информацией, не содержащейся в исходных явных утверждениях. Здесь надо, вероятно, различать процессы, связанные с догадкой о содержании доказываемых теорем, и изложение доказательства. В изложении может быть и можно требовать ссылки только на фиксированные исходные утверждения. Процесс обоснования анализа с этой точки зрения есть, вероятно, не что иное, как выведение утверждений об интегрировании и дифференцировании из чисто математических предпосылок – языка пределов, не прибегая к бесконечно малым. Но практика показывает, что пока та или иная математическая теория (дисциплина) только складывается, ученые часто прибегают к «внешним» ресурсам – знаниям других наук, философским аргументам, метафизическим соображениям и т. д. Именно так поступает Архимед: он использует знания статики, находит центры тяжести фигур, преобразует чертежи так, чтобы появился рычаг, перемещает фигуры таким образом, чтобы они находились в равновесии и т. д. Вся история формирования дифференциального и интегрального исчисления сопровождается подобными действиями (исчисление нулей Эйлера, отбрасывание бесконечно малых в одних случаях и не отбрасывание – в других). Это не случайно, и обусловлено тем, что сначала интегральное исчисление формируется в процессе решения практических задач – главным образом на вычисление площадей и объемов криволинейных фигур, а дифференциальное – как процедура нахождения касательных, что связано с проблемой вычисления мгновенной скорости в механике и т. д. То есть каждый раз в этих случаях решаются конкретные прикладные задачи. А решение прикладных задач и фундаментальных подчинено разным системам ценностей. Прикладная дисциплина должна дать метод, тогда как от фундаментальной требуется доказательство, приемлемое по канонам своего времени.

Существенно, что Архимед понял, что получил два результата – нашел площадь (объем)криволинейных фигур и решил эти задачи новым методом, которым, как он проницательно заметил, возможно, впоследствии можно будет пользоваться и для решения других задач:

«Он [этот метод] может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову» (Архимед 1962, 299).

В дальнейшем объемы тел вычисляли Кеплер, Кавальери, Ферма и другие математики. Однако общего метода ими не было создано, для каждого случая приходилось искать свои приемы. Пойа, утверждающий, что Архимед открыл «ту ветвь науки, которую сегодня мы называем интегральным исчислением», склонен смотреть на историю с позиции современного знания. Разумеется, Архимед понимал, что метод, которым он вычислял площади и объемы фигур, мог пригодиться и для решения других задач, которые современная ему наука не могла сформулировать. Но сейчас, когда мы знаем, как именно формировалось исчисление, мы видим, что одни математики подхватывали идеи Архимеда о решении конкретных задач, а другие (Кавальери, например) понимали, что нужно создавать и метод. Однако и у Архимеда, и у Кавальери речь шла о методе вычисления площадей и объемов, а не об исчислении интегралов. Кавальери еще не мог осознать необходимость построения нового (интегрального) исчисления, ибо для создания исчисления нужно было сначала обнаружить, что этот же самый метод позволяет решать и другие задачи, что привело к формированию понятия интеграл, а потом и к тесно связанному с ним понятию дифференциала, с помощью которого решался другой класс задач. Это осознание появится только в работах Ньютона и Лейбница.

Рассмотрим вторую группу вопросов – о дальнейшем пути формирования исчисления. Кеплер, Кавальери, Ферма и другие математики 1) повторили решения задач Архимеда, 2) вычислили объемы гораздо большего числа фигур и, кроме того, 3) Кавальери поставил задачу создания метода нахождения кубатур и квадратур.

Этап в совершенствовании интегральных методов составило сочинение И. Кеплера «Новая стереометрия винных бочек преимущественно австрийских, как имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии».В первой части работы приводятся и доказываются результаты, найденные Архимедом, а также определяется объем87 новых тел. Кеплер не пользовался греческим методом исчерпывания, а исходил из инфинитезимальных соображений. Эти же соображения он использовал для описания движения планеты Марс. При этом Кеплер отбросил многовековую традицию – полагать, что планеты движутся по круговым орбитам. Он показал, что все расхождения с наблюдениями исчезают, если считать, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Но для подтверждения этого закона ему нужно было уметь вычислять площадь сектора эллипса. Эту задачу не умели решать ни древние, ни его современники. Для того чтобы сформулировать и подтвердить вычислениями этот закон движения планет, Кеплер, во-первых, заменил изучение изменения площади сектора эллипса изучением изменения пропорциональной ей площади сектора круга, вычислять которую умел еще Архимед и, во-вторых, ввел новый элемент, отсутствующий у его современников,– «сумму радиус-векторов» (Медведев 1974, 50–51).

У Кеплера, таким образом, был внешний «потребитель», – астрономия, в которой он, как и Аристотель в статике, выступил новатором. Астрономия представляла основной интерес для Кеплера, а математика выступала как средство решения астрономических задач. Важно отметить, что Кеплер фактически работает в математике как в прикладной науке, в соответствии с представлением о строгости этой группы наук (исследований), к тому же он имел большой опыт вычислительной работы, в которой, как пишет Г. Цейтен, «приобрел умение успешно пользоваться понятием бесконечно малой величины, хотя ничем, кроме самого названия, он и не пояснил столь трудного в логическом отношении понятия. Отбрасывание высших степеней малых величин в приближенных числовых вычислениях практически научило его тому, какие величины можно отбрасывать и при точных расчетах. Во всяком случае в его работах, особенно астрономических, числовые и инфинитезимальные расчеты часто тесно связаны между собой» (Цейтен 1933, 242). Кеплер совсем отказывается от доказательств при помощи метода исчерпывания. И хотя он считает их полными и строгими, однако полагает возможным обойтись без них, заменив их инфинитезимальными соображениями. Существенно, что самый смысл косвенного доказательства он видит именно в такой замене и прямо пишет, что как раз составление геометрических фигур из бесконечно малых элементов и нахождение искомой величины из сравнения таких элементов «и имеет в виду архимедово приведение к нелепости» (Медведев 1974, 52).

Для определения площади круга Кеплер полагает, что «окружность имеет столько частей, сколько в ней точек, т. е. бесконечно-большое число; каждая такая часть может быть принята за основание равнобедренного треугольника; все треугольники эти имеют общую вершину в центре. Треугольник АВС имеет площадь, равную площади круга» (Никифоровский 1985, 140).В античном доказательстве этой теоремы используется метод исчерпывания – площадь криволинейной фигуры заменяется, т. е. исчерпывается прямолинейной площадью, но этот процесс не доводится до конца. Удвоение числа сторон вписанного многоугольника происходило до тех пор, пока разность между нею и площадью круга не делалась менее некоторой произвольной (но не бесконечно-малой) площади. Доказательство заканчивалось приведением к абсурду. Кеплер прямо переходит к предельному случаю многоугольника с бесконечно-большим числом сторон, доводя исчерпывание сразу до конца, и получает искомую площадь, не прибегая к громоздкому способу косвенного доказательства. Как отмечает В. П. Шереметевский, часто бывает, что разработка новой области началась не с простейших ее оснований, а с более сложных и трудных частей, выдвинутых вперед практическими потребностями данного момента (Шереметевский 2010, 141). Действительно, исторически первыми решались задачи интегрального исчисления (чего требовали механика, астрономия и т. п. науки), и только гораздо позднее – задачи дифференциального, потребность в которых почти не ощущалась, но которые, однако, оказались более простыми, и в современной математике именно с дифференцирования начинается изложение математического анализа. Кроме этого, математический анализ сначала был создан трудами многих математиков как техника интегрирования и дифференцирования, и лишь позднее был обоснован Коши и Вейерштрассом.



Кеплер, таким образом, продолжил эстафету Архимеда, но иначе – не в рамках точных и строгих доказательств, как это было принято у древних греков, а в рамках прикладного приема для нужд астрономии.

Кавальери осуществил несколько нововведений в математике, главное из которых – учение о неделимых. Это учение восходит к Демокриту, обсуждалось в средние века, и Кавальери принадлежит «та своеобразная форма учения о неделимых, которая в его руках, а также у некоторых его последователей, оказалась пригодной для получения многих новых результатов в математике XVII века» (Медведев 1974, 57). Метод неделимых, развитый Кавальери, состоит в том, что он рассматривает геометрические объекты как образованные совокупностью неделимых элементов, размерность которых на единицу меньше размерности рассматриваемого объекта. Подход Кавальери отличается от действий Кеплера, который разлагал фигуру или тело на бесконечное число элементов той же размерности, что и сама фигура или тело – мы видели, что круг он сводил к треугольнику. Обращение к идее неделимых – это не что иное, как использование внешнего, философского в данном случае, ресурса. Были и другие нововведения: Кавальери вводит понятия касательных, высот, оснований, вершин, подобия, цилиндров и конусов, доказывает ряд теорем относительно введенных понятий, которые включают понятия и теоремы античной математики как частные случаи. Еще одно нововведение Ф. А. Медведев характеризует как фактическую разработку элементов аналитической геометрии. Эти элементы были и у древних греков, но подход Кавальери, как и в предыдущем нововведении, отличается универсализацией этих элементов. Сказанное можно рассматривать как смену интересов – античных авторов интересовали конкретные геометрические объекты – прямые, окружности, конические сечения и т. д., а Кавальери строит математику – координатную систему вообще, не привязанную к фигурам, вводит понятия о касательных, высотах, безотносительно к конкретным фигурам и т. д. Он перенес «центр тяжести» исследования с изучения конкретных фигур на построение системы, которая позволяла рассматривать сразу бесконечное число видов фигур. В еще большей степени перенос центра тяжести исследований относится к учению Кавальери о неделимых. Объект его интереса – не площади и объемы тел, а метод, с помощью которого можно это найти, т. е. метод интегрирования. Он делает интегрирование «предметом особых исследований, результаты которых могут быть затем применены в самых разнообразных областях» (Цейтен 1933, 249).В теории социальных эстафет М. А. Розова переход к новому референту (в данном случае, от площадей и объемов – к методу) называется рефлексивным преобразованием. Новое часто появляется как побочный продукт решения традиционных задач. Рефлексия, осознав значимость побочного результата, делает этот результат основным. Такой переход возможен потому, что рефлексия имеет описательную и целеполагающую компоненты – она описывает деятельность, а кроме этого, она есть указание цели действия. Однако, наблюдая какую-то конкретную деятельность и поставив задачу ее воспроизвести, человек оказывается перед необходимостью выделить в том, что делает другой, продукт данной деятельности. Рефлексия с этой точки зрения – это поляризация образцов, воспроизводимых в рамках той или иной эстафетной структуры (Розов 2006, 233). Переход от одной поляризации к другой – это рефлексивное преобразование. Сейчас, зная весь длинный и извилистый путь формирования интегрального исчисления, особенно ясно становится, что ни Архимед, ни Кеплер, ни многие другие математики не могли поставить задачу создания исчисления, тогда как постановка задачи на вычисление площадей и объемов криволинейных фигур представляется без труда.

Прежде чем перейти к непосредственным создателям исчисления, Ньютону и Лейбницу, кратко рассмотрим работы английских математиков Грегори и Барроу. Грегори поставил перед собой задачу создать общий метод, позволяющий решать широкий круг вопросов, которые сейчас относят к анализу бесконечно малых. «Наряду с обычными операциями математики того времени – сложением, вычитанием, умножением, делением и извлечением корня – он общим образом, правда, в геометрическом одеянии, вводит понятие сходящихся к одному пределу пары последовательностей, или, другими словами, принцип вложенных интервалов для того, чтобы получать новые, неизвестные величины, которые нельзя найти при помощи указанных пяти операций» (Медведев, 1974, 78). Грегори сделал попытку построить общую теорию рядов, основанную на понятии предела, а также осознал взаимно обратный характер задач на касательные и задач на квадратуры. Идея связи дифференцирования и интегрирования выражена у Грегори в геометрической форме в виде взаимной связи длины дуги кривой и площади под этой кривой. Современные историки науки высоко оценивают заслуги Грегори в создании математического анализа. Поставив вопрос, почему же имя Грегори долго занимало очень скромное место в истории анализа, Медведев пишет, что все его рассуждения имели словесно-геометрическую форму, и именно эта форма не позволила как Грегори, так и многим другим выдающимся математикам того времени осознать всю общность содержания полученных ими в геометрической форме результатов и создать новое исчисление, как это сделали Ньютон и Лейбниц (Медведев1974, 80). В рамках геометрических представлений Грегори достиг той вершины в инфинитезимальных исследованиях, которой вообще можно достичь. Медведев пишет, что Грегори построил, так сказать, геометрический анализ, завершив тем самым то, что было начато Архимедом. «Однако такой геометризованный анализ оказался нежизнеспособным. Словесно-геометрическая форма изложения, к тому же сопровождавшаяся обычно апагогическими доказательствами, практически изжила себя» (Медведев 1974, 80). Замечания Медведева о геометрическом языке и о наличии доказательств там, где нужны алгоритмы, важны.

В математике с самого начала формируются два конструктора – арифметический и геометрический. Интегрирование – это новое исчисление, новый математический конструктор, но долгое время разработка интегрального исчисления выглядела как решение традиционных геометрических задач. Нужно было осознать, что строится новое исчисление, а не просто решаются геометрические задачи. Для вычисления площадей, объемов и решения других задач формирующегося исчисления нужны были не столько доказательства (что требуется в «чистой» математике), сколько правила, алгоритмы. На первый взгляд выглядит парадоксальным то, что доказательства «мешают» понять, что делает математик (Грегори), но если принять во внимание, что чистая и прикладная математика следуют разным ценностным установкам, то парадокс исчезает.

Рассматривая вклад Барроу в анализ, обычно отмечают широкое введение кинематических соображений, которое имеет давнюю традицию – ведь еще Архимед и другие древнегреческие математики рассуждали подобным образом. При изучении касательных к кривым кинематические соображения широко использовали Роберваль и Декарт. Бурбаки писали, что Барроу выделяется из предшествующих исследователей тем, что он задумал «сделать из одновременных изменений различных величин как функций универсальной независимой переменной, принятой за «время», основу исчисления бесконечно малых, изложенного геометрически» (Бурбаки1963, 181). Второе, что отмечают у Барроу – это наличие совершенно общего понятия функции, которое можно получить, исходя из геометрических представлений. Он рассуждает не о касательной к отдельной кривой или о квадратуре конкретной кривой, а формулирует и доказывает свои предложения сразу для любой, в современном языке, дифференцируемой функции. Третье – это отчетливое установление взаимозависимости дифференцирования и интегрирования. Здесь опять существенную роль играли нужды кинематики, т. е. исследование понятия движения. Задача ставилась так: как, с одной стороны, получить путь, пройденный точкой, зная время и скорость ее движения, а с другой – выразить скорость движения, зная пройденный путь и затраченное время. Формулировка проблем производилась в кинематической форме, а их решение осуществлялось в геометрическом духе. Однако история сыграла с Барроу злую шутку. Сейчас известно, что операция дифференцирования осуществляется проще. Но во времена Барроу операции интегрирования были разработаны более подробно, а методы определения касательных были менее известны. Поэтому Барроу преимущественно решает не задачи определения квадратур по данным о касательных, а, наоборот, из известных квадратур ищет способы определения касательных. Отдавая должное английскому математику, Вилейтнер пишет, что после работ Барроу все еще «недоставало систематического применения отношений двух исчезающих величин, ясной точки зрения на понятие функции и прежде всего, особого вычислительного алгорифма, который мог бы, при подходящем определении его формальных операций, оттеснить на задний план лишнюю работу мысли, ранее необходимую при отдельных инфинитезимальных исследованиях» (Вилейтнер 1960, 115–116)

Этот особый вычислительный алгоритм сложился в работах Ньютона и Лейбница. Выделим только некоторые моменты их деятельности, важные для понимания механизмов новаций в математике. Прежде всего, описывая математические работы Ньютона, историки науки говорят о двух типах результатов, полученных Ньютоном – вычислении площадей и методе (разложения функций в бесконечные ряды в одной из работ 1666 года). Медведев пишет, что интеграционные приемы, применяемые Ньютоном в этой статье, не новы, но в сочетании с широким алгебраическим подходом они получают новую качественную окраску (Медведев 1974, 99). Эта «новая качественная окраска» состоит в том, что частные приемы интегрирования перерастают по существу в интегральное исчисление. Метод, таким образом, становится основным результатом, и не сводится лишь к процедурам нахождения значений площадей и объемов. Причем, исчисление оказывается применимым не только к квадратурам кривых. Ньютон подчеркивает, что все задачи о длине кривых, об объемах и поверхностях тел, о положениях центров тяжести могут быть сведены, в конце концов, к вопросу о нахождении площади, ограниченной плоской кривой (Медведев 1974, 99), так что интегрирование вырастает в достаточно общий самостоятельный раздел математики. Интегральное исчисление, базирующееся на разложении функций в ряды, – это законченный алгоритм, позволяющий отнести заданной функции вполне определенное число, важный тем, что применим не только для нахождения площадей, но и целого ряда других величин (Медведев 1974, 100). «Под открытием интегрального исчисления в XVII в. следует понимать не введение нового понятия интеграла и способов его нахождения, а только открытие новых алгоритмов, позволяющих находить единообразным способом достаточно широкий класс квадратур или интегралов, как их стали называть позднее … Такими двумя основными алгоритмами явились тогда алгоритмы разложений в ряды и нахождение квадратур путем выражения их при помощи прямой математической операции – дифференцирования. Но для реализации последнего нужно было само интегрирование сделать особой математической операцией, а также разработать технически удобные средства ее осуществления» (Медведев 1974, 108), т. е. нужно было осуществить рефлексивное преобразование – сделать объектом исследования само интегрирование.

Первой опубликованной работой Лейбница по этим вопросам была его статья «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которых не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особенный для этого род исчисления» (1684) Он ввел определение дифференциала, предложил для него обозначение и сообщил без доказательства правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и степени. Эти правила не были чем-то новым в математике, ими более или менее осознанно пользовались все те, кто занимался тогда проблемами касательных, максимумов и минимумов и т. д. (Медведев 1974, 112). Тем не менее, эта заметка Лейбница довольно долго оставалась непонятой. Причина этого непонимания была в том, что сформулированные правила были «выставлены Лейбницем в качестве общего исходного пункта для всех инфинитезимальных исследований, … что связь их с символикой делает их основой исчисления, с помощью которого можно производить разнообразные инфинитезимальные исследования таким же образом, как исследования анализа конечной величины с помощью буквенного исчисления» (Цейтен 1933, 409).Здесь очень важно обратить внимание на следующее: новаторство Лейбница состоит не в том, что он предложил новые правила, ав другом осознании этих правил. Для него правила из средств нахождения определенных геометрических величин (максимумов, минимумов, касательных) превратились в самостоятельный результат, основу исчисления, с помощью которого можно было производить «разнообразные инфинитезимальные исследования», а не только те, которые привели к этим правилам. Осуществление этого рефлексивного преобразования и делает Лейбница одним из авторов дифференциального и интегрального исчисления. Это новаторство долго оставалось непонятым именно потому, что в его рамках предлагалось нечто принципиально новое: до этого времени решали конкретные задачи, мало задумываясь об общих методах.

Ньютон развивал интегральное исчисление не только в математических заметках, но и в своем основном труде по механике «Математические начала натуральной философии».Медведев пишет, что историки математики либо совсем не уделяют внимания математическому содержанию «Начал», либо – очень мало. «Не следует думать, что Ньютон к создаваемой им механике применил какой-то готовый математический аппарат математики. Такого аппарата тогда не было (хотя имелись все предпосылки для его построения), и Ньютону приходилось вести параллельную работу: развивать соответствующие механические соображения и разрабатывать необходимые для этой цели математические предложения. Поэтому в его изложении на протяжении всей книги механика чередуется с математикой» (Медведев 1974, 114–115). Но математике все же отводится второстепенная роль – математические идеи вводятся тогда, когда они нужныдля развития рассматриваемого вывода механики. Ньютона упрекают в том, что он получил свои результаты в механике при помощи средств анализа, но изложил их на геометрическом языке. Однако анализа в современном смысле тогда не было, и если Ньютон хотел быть понят современниками, то он не мог не пользоваться геометрическим языком. Еще не было слова «интеграл» и его заменял тогдашний его эквивалент – площадь кривой. Однако использование Ньютоном геометрического языка в «Началах» не означает, что он следовал античным образцам. К примеру, везде, где древний математик использовал бы метод исчерпывания, Ньютон пользовался методом пределов. Кроме этого, для решения дифференциальных уравнений Ньютон использует бесконечные ряды, постоянно обращается к произвольным показателям степеней, чего совершенно не знали древние греки. Следует понимать так же, что аналитические методы еще не были разработаны в полной мере и, кроме того, геометрические методы порой предпочтительнее аналитических.

Подводя итоги того, что сделали Ньютон и Лейбниц для создания исчисления, Медведев говорит, что фактические достижения Лейбница не так значительны и заметно уступают достижениям Ньютона. Однако умение Лейбница четко ставить общие проблемы и намечать пути их решения сыграло огромную роль в развитии анализа вообще и теории интегрирования в частности (Медведев 1974, 125). К результатам Лейбница можно отнести идею взаимной обратности дифференцирования и интегрирования, идею алгоритмичности новых исчислений при надлежаще выбранной удобной символике, идею новых трансцендентных функций, появляющихся при интегрировании, идею применения комплексных чисел и т. д. Ньютон раньше Лейбница пришел почти ко всем этим результатам, его результаты богаче по содержанию, но «Лейбниц оказал на развитие анализа, видимо, большее влияние. Причины этого многообразны. Во-первых, последний, будучи математиком-самоучкой, не был обременен классическим тогда наследием геометрического склада мышления, так что ему легче было перейти к новым аналитическим представлением. Не был он приучен и к требованиям древнегреческой строгости, толкавшим Ньютона на все новые и новые поиски способов обоснования, вплоть до разработки довольно четкой, но все же преждевременной тогда теории пределов. Во-вторых, методы Лейбница были облечены в такую форму, в которой их относительно легко можно было усвоить и применять затем чуть ли не механически, соблюдая определенные правила для простых операций; алгоритмичность методов Лейбница была важна именно в эту эпоху, когда к занятиям математикой стали привлекаться значительно более широкие круги людей (Медведев 1974, 125–126).

Историко-научные факты формирования понятия интеграла дают богатый материал для анализа проблемы новаций в математике вообще. Мы видели, что новое исчисление формировалось в процессе решения традиционной задачи нахождения площадей и объемов (криволинейных фигур и тел), никто не ставил и не мог поставить задачу создания нового исчисления, и, тем не менее, исчисление возникло. Эта ситуация хорошо схватывается различением незнания и неведения, предложенным М. А. Розовым (Степин, Горохов, Розов 1995, 116–119). Незнание – это когда нам не известны конкретные значения каких-то величин, допустим, мы не знаем, сколько людей является подписчиками той или иной газеты, но знаем, как это можно узнать. Неведение – это когда вообще не известно, существуют ли те или иные объекты, например, группа в математике, вирус в биологии и т. д. Галуа, например, развил представление о новом математическом объекте – группе подстановок корней уравнения, когда он решал традиционную задачу – о разрешимости уравнений выше 4 степени в радикалах. Представления о группе было средством при решении этой задачи. Введение понятия группы в математику произошло благодаря рефлексивному преобразованию результатов решения традиционной задачи – группа стала основным объектом исследования. Разрешение ситуации с неведением, таким образом, происходит благодаря рефлексии, когда ученый осознает, что он не только решил традиционную задачу, но и создал новый объект. Выше уже было отмечено, что в истории формирования интегрального исчисления было несколько моментов, когда математикам приходилось осознавать, что наряду с конкретными результатами – площадью или объемом фигуры или тела, получался еще один результат – метод, которым были найден данный результат, и который может быть применен для решения задач, отличных от тех, которые привели к его созданию. В данном случае создание исчисления – это результат не одного рефлексивного преобразования, а нескольких, но решающим было преобразование, осуществленное Лейбницем, когда он сделал основным результатом своего исследования не вычисление различных геометрических величин (правила были при этом средством), а сами правила, которые и составили исчисление, как новый математический результат.

Новое исчисление сначала выполняло некоторую подчиненную роль – было средством решения задач геометрии. В процессе его формирования использовались, как мы видели, то представления механики, то философские конструкции (метод Демокрита), то в рамках собственно математической деятельности допускались «сомнительные» операции с бесконечно малыми (отбрасывали бесконечно малые высших порядков), т. е. это исчисление, имея прикладной характер, и формировалось по «стандартам» прикладной науки, для которой главное, чтобы метод работал. Только Лейбниц открывает новую эстафету, когда вводит понятие дифференциала, предлагает правила дифференцирования и делает эти правила исходным пунктом для всех инфинитезимальных исследований.

Когда математики поняли, что создан могущественный метод, собственно, даже не просто метод, а дифференциальное и интегральное исчисление, введены новые понятия – дифференциал, дифференцирование, неопределенный интеграл, определенный интеграл, они осознали, что это исчисление необходимо переформулировать по канонам математики, превратив его в нечто большее, нежели приложение для решения задач механики, астрономии, оптики и других наук. Так возникла проблема обоснования анализа. Эйлер предложил исчисление нулей, но главное сделали Коши и Вейерштрасс – они развили представления об интегрировании и дифференцировании через понятия предела, т. е. построили это исчисление как объект чистой математики, а не прикладной.

Мы видели, что существенную роль в формировании интегрального исчисления играет ответ на запросы либо геометрии, либо – других наук, таких как астрономия, механика или оптика. Тесное взаимодействие математики и других наук – это не частный случай, а скорее, норма в математике и других науках. Чтобы описать эту особенность формирования и функционирования математики, воспользуемся представлениями о дисциплинарных комплексах, развитыми М. А. Розовым. «Группы наук, у истоков которых лежит рефлексивное преобразование одних и тех же знаний, мы будем называть дисциплинарными комплексами» (Розов 2006, 355). Розов описывает разные виды комплексов, нас будут интересовать программно-предметные комплексы. В качестве примера такого комплекса Розов приводит связь дисциплин – оптики, акустики и им подобных, с одной стороны, и – теорию колебаний, с другой. Дисциплины первой группы строят знания о тех или иных явлениях природы, вторые – разрабатывают методы или подходы, необходимые для получения этих знаний. Математика, как мы видели, разрабатывая методы вычисления площадей и объемов криволинейных фигур, отвечает на запросы астрономии, механики, оптики и других наук. Это означает, что математика является программной наукой комплекса, а астрономия, механика и т. п. – это предметные науки комплекса. Дисциплины выделенных видов не существуют и не могут существовать друг без друга – они связаны в своем историческом развитии и представляют собой пример программно-предметной симметрии. Эта симметрия обычно нарушается в ходе обособления названных дисциплин, но ее следы всегда присутствуют в соответствующих системах знания (Розов 2006, 360). Замечание о том, что предметные и программные дисциплины не могут существовать друг без друга, очень важно как для понимания механизмов новаций в математике, так и для ответа на вопрос о предмете математики и об отношении математики к действительности. В самом деле, не описывая природу непосредственно, математика, через предметные науки, тесно связана со многими областями реального мира – с колебанием струны, с полетом снарядов, с экономикой и т. д.


Библиографический список


Абдильдин Ж., Нысанбаев А., Диалектико-логические принципы построения теории. Алма-Ата, Наука, 1973.Аристотель. Метафизика. Соч. в 4тт. М., Т.1, 1976.

Архимед, (1962) Сочинения, пер. И. Н. Веселовского и Б. А. Розенфельда. Москва.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., ИЛ, М., 1963.

Бурбаки, Н. (1963) Очерки по истории математики. Москва.

Вандер ван дер Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959.

Веркутис М.Ю. Формирование нового знания в математике: рефлексивные преобразования и рациональные переходы. Новосибирск, Сибирский хронограф, 2004.

Вернадский В.И. Философские мысли натуралиста. М., 1988.

Вилейтнер, Г. (1960) История математики от Декарта до середины XIX столетия. Москва.

Вопрос о революциях в истории математики // Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг. Научно-аналитический обзор. М., 1995. Серия «философия».

Гессен Б.И. Социально-экономические корни механики Ньютона.

Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., ОГИЗ, 1948.

Грязнов Б.С. Логика. Рациональность. Творчество. – М., Наука, 1982.

Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. М., 1955

Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., Мгу, 1963.

Карпенко Б. И. Развитие идей и категорий математической статистики. М., 1979.

Коллинз Р. Социальная реальность объектов математики и естествознания // Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. НГУ, 2007.

Кун Т. Структура научных революций. М. Прогресс, 1977.

Курант Р. Математика в современном мире // Математика в современном мире. М., Мир, 1967.

Медведев, Ф. А. (1974) Развитие понятия интеграла. Москва.

Никифоровский, В. А. (1985) Путь к интегралу. Москва.

Новиков Г.А. Очерки истории экологии животных. 1980.

Новиков С. П. Математика на пороге XXI века. http://aspirant.rggu.ru/article.html?id=50768

Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М., МГУ, 1986.

Платон. Государство. Собр. соч. в 3 тт. Т. 3 (1). 1971.

Пойа, Д. (1975) Математика и правдоподобные рассуждения. Москва.

Пуанкаре А. Наука и метод. М.,

Пушкарев Ю.В. Становление интегрального исчисления как новой реальности в математике // Гносеологический анализ представлений о реальности в науке. Новосибирск, НГУ. 2004.

Рассел Б. Мудрость Запада. М., 1988.

Рассел Б., История западной философии. Новосибирск, изд-во НГУ, 1997.

Рашевский П.К. Предисловие к книге: Гильберт Д., Основания геометрии. М.-Л., ОГИЗ, 1948.

Реньи А. Диалоги о математике. М., Мир. 1969.

Розов М.А. К методологии анализа феномена идеального // Философия. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. НГУ, 2006-1.

Розов М.А. Способ бытия математических объектов // Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. НГУ, 2007.

Розов М.А. Тезисы к перестройке теории познания // На пути к неклассической эпистемологии. М., 2009.

Розов М.А. Теория и инженерное конструирование // На теневой стороне. Новосибирск. Сибирский хронограф. 2004.

Розов М.А. Теория социальных эстафет и проблемы эпистемологии. Смоленск, 2006-2.

Розов М.А. Философия и проблема свободы человека // Философия. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. НГУ, 2006.

Розов, М. А. Теория и инженерное конструирование, На теневой стороне. Материалы к истории семинара М. А. Розова по эпистемологии и философии науки в Новосибирском Академгородке. Новосибирск. 2006-1

Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., Наука, 1983.

Степин В.С., Горохов В.Г. Розов М.А. Философия науки и техники. М., 1995.

Сухотин А.К. Философия в математическом познании. Томск, 1977.

Сычева Л.С. Современные процессы формирования наук. Опыт эмпирического исследования. Новосибирск, 1984.

Сычева Л.С. «Физическая математика» Архимеда, формирование интегрального исчисления и механизмы новаций в математике // SCOLH. Философское антиковедение и классическая традиция. 2012. Т. 6. Вып. 2. С. 350-365.
Успенский В.А. Апология математики. СПб. Амфора 2010.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике. Т. 1. М., Мир.

Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск, НГУ, 2007.

Френкель А., Бар-Хиллел И., Философские замечания // Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск, 2007

Цейтен, Г. История математики в XVI и XVII веках. Москва – Ленинград. 1933

Целищев В.В. Поиски новой философии математики // Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. Новосибирск. 2007.

Целищев В.В. Философия математики. Новосибирск, 2002.

Шереметевский, В. П. Очерки по истории математики. Москва. 2010

NetzR., NoelW. (2007) TheArchimedesCodex.DaCapoPress.


Каталог: sls -> 2013
2013 -> Проблема рациональных переходов в социокультурной философии математики Проблема рациональности межпрактических переходов в концепции «математического натурализма»
2013 -> Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий
2013 -> М. А. Розов 70 рассуждения об интеллигентности
2013 -> Нильс Бор Избранные научные труды. Т. II. Статьи 1925 -1961. Издательство «Наука». Москва, 1971
2013 -> Программа спецкурса Новосибирск 2008
2013 -> Современные философские проблемы областей
2013 -> Философские проблемы физики


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница