Философские проблемы математики



страница4/16
Дата12.01.2018
Размер1.32 Mb.
ТипЗадача
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
Неономиналисты заявляют, что они вообще не могут понять, что имеют в виду те, кто говорит о множествах, — такие разго­воры для них могут представлять собой лишь facon de parler (манера выражаться). Единственный язык, на понимание которого они претендуют,— это исчисление индивидов (calculus of individuals), построенное как прикладное функциональное исчисление первого порядка. Многие обороты, используемые как в научном, так и в повсе­дневном языке, зависящие, prima facie (на первый взгляд), от термина 'множе­ство', номиналисты без особого труда точно переводят на свой ограниченный язык. Такое, скажем, обычное выражение как «множество предметов а есть подмножество предметов b» они переводят как «для всех x, если х есть а, то х есть b». Некоторые другие обороты и выражения представляют большие трудности для такого перевода. На языке теории множеств легко выра­зить тот общепринятый способ образования понятий, посред­ством которого какое-либо асимметричное и интранзитивное отношение порождает новое отношение наследственности (the ancestral), (которое оказывается уже транзитивным). Например, исходя из допущения, что в области целых чисел уже имеется отношение 'быть на единицу больше’ (но пока не про­сто 'быть больше'), определяют: х больше, чем у, если и толь­ко если х отлично от у и х принадлежит всем множествам, со­держащим у и все целые числа, на единицу большие любого их члена. Воспроизведение такого способа образования поня­тий в исчислении индивидов часто требует больших ухищре­ний, в ряде же случаев эта задача, по-видимому, вообще невыполнима. Известно, что выражения типа «кардинальное число множества а есть 17» (или «... не более 17», или «... не менее 17», или «... лежит между 12 и 21» и т. п.) легко выразимы в функциональном исчислении первого порядка с равенством. Однако такое выражение, как «кошек больше, чем собак» уже вызывает значительные трудности, и хотя в данном и любых других конкретных случаях эти трудности все же преодолимы, нет общего метода номиналистического истолкования выражения «предметов а больше, чем предметов b». Трудности, возникающие при попытках выразить всю клас­сическую математику в номиналистических терминах, производят впечатление непреодолимых — и так оно, по всей вероятности, и есть. Поскольку речь идет о канторовской теории множеств, теории трансфинитных кардинальных чисел и подобных им теориях, то номиналисты только рады избавиться от этих теорий и с равнодушием относятся к понесенным «потерям». Зато к тем разделам математики, которые находят примене­ние в других науках, номиналисты относятся со здоровым ува­жением, и многие из них готовы скорее подвергнуть сомнению собственную философскую интуицию, нежели принести в жертву хотя бы часть такой рабочей математики. Есть только два заслуживающих внимания выхода из возникающих затрудне­ний: либо продолжать пользоваться всеми нужными частями математики в надежде, по-видимому, не слишком обоснован­ной, что, в конце концов, удастся получить их адекватную переформулировку в номиналистических терминах, либо объ­явить всю высшую математику неинтерпретируемым исчисле­нием, пользование которым, несмотря на отсутствие интерпре­тации, оказывается возможным благодаря тому обстоятельству, что его синтаксис формулируется (или может быть сформули­рован) на вполне понятном номиналистическом метаязыке. Насколько успешно неинтерпретированное (и непосредственно не интерпретируемое) исчисление может выполнять возлагаемую на него задачу согласования интерпретированных предложений эмпирического характера — вопрос пока еще далеко не ясный, несмотря на большие усилия, потраченные на его решение мно­гими учеными, занимавшимися проблемами философии науки. Здесь явственно усматривается близость к формалистической (гильбертовской) позиции, согласно которой определенная часть математики, в основном рекурсивная арифметика, считается интерпретируемой, а остальная часть — неинтерпретированным исчислением, используемым в качестве средства преобразования осмысленных предложений в другие осмысленные утверждения, причем этот статус «идеальных» частей математики сравнивается со статусом «идеальных» точек в аффинной геометрии (Френкель, Бар-Хиллел 2007 С. 6 -7).

О неоконцептуализме Френкель и Бар-Хиллел пишут, что их не привлекает ни «сочная растительность платонистских джунглей, ни суровый пустынный ландшафт неономинализма. Им больше нравится жить в тщательно распланированных и хорошо обозримых садах неоконцептуализма» (Там же). Они претендуют на понимание того, что такое множество, хотя и предпочитают пользоваться метафорой построение, а не любимой метафорой платонистов выбор. Эти метафоры заменяют собой более старую антитезу: существование в созна­нии— существование в некотором внешнем (реальном или иде­альном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что лю­бое вполне определенное и ясное условие действительно опреде­ляет соответствующее множество — коль скоро в этом случае они могут «построить» это множество, исходя из некоторого за­паса множеств, существование которых либо интуитивно оче­видно, либо гарантировано предварительными построениями,— но не согласны принимать никаких аксиом или теорем, в силу которых им пришлось бы согласиться с существованием каких бы то ни было множеств, не характеризуемых конструктив­ным образом. Поэтому они не допускают множеств, соответствую­щих непредикативным условиям (за исключением, конечно, тех случаев, когда можно доказать, что такое условие можно заме­нить равносильным ему предикативным), и отрицают справед­ливость (validity) теоремы Кантора в ее наивной, абсолютной интерпретации, в силу которой множество всех подмножеств любого данного множества имеет мощность большую, чем мощность самого этого множества. Абсолютное понятие несчетности объявляется лишенным смысла, хотя и может случиться, что какое-либо бесконечное множество окажется не перечислимым с помощью некоторых данных средств. (Френкель, Бар-Хиллел 2007 С. 8)

Проблемы о статусе математических объектов, прежде всего, множеств, продолжают обсуждаться в философской и математической литературе. Рассмотрим, как ставит вопрос о платонизме В.В. Целищев, в книге «Философия математики» (Целищев 2002), вышедшей почти 50 лет спустя после работы Френкеля и Бар-Хиллела. Автор книги пишет, что платонизм, безусловно, является философией большинства ра­ботающих математиков, а также многих людей, успешно применя­ющих математику в естественных науках. Платонистское сознание работающих математиков зачастую не осознается ими как специфически философский взгляд, потому что лежащие в его основе представления абсолютно есте­ственны и просты. Вполне естественно, что существует огромное число математических истин, некоторые из которых открыты, а боль­шая часть остается неоткрытой. Работа математиков заключается в расширении круга открытых истин. Математические объекты сущест­вуют вне и независимо от человеческого сознания. Больше того, они существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей.

Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у него никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой неприятных аспектов, совершенно справедливо отмечает В.В. Целищев. Прежде всего, весьма про­блематично понятие существования в нематериальном мире, кото­рое присуще широкому спектру философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм как оформленное Пифагором и Платоном философское учение мотивировался мате­матикой. Рассел пишет: «Увлеченность Пифагора математикой положила начало ... теории универсалий. Когда математик доказывает свою теорему о треугольниках, то он говорит не о какой-либо конкретной фигуре, где-то нарисованной, он говорит о том, что существует в его голове. Так начинает проявляться различие между умственным и чувствен­ным. Более того, доказанная теорема верна без оговорок и на все времена. Отсюда всего лишь один шаг к точке зрения о том, что только умственное — реально, совершенно и вечно, в то время как чувственное — кажущееся, несовершенное и скоротечное» (Рассел 1998 С. 50-51). «Я по­лагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чув­ственный объект не является точно круглым... Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеа­лом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного воспри­ятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой математики, ибо математические объекты, например, числа (если они вообще реаль­ны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объек­ты могут быть в свою очередь истолкованы как мысли Бога» (Рассел 1997 С. 51). Из этих цитат Рассела видно, сколь «тяжелые» для философии след­ствия имеет математика. Именно их этих посылок выросли фило­софские представления о природе математики, известные под на­званием «платонизм». Сама по себе философия платонизма вы­зывает множество возражений опять-таки чисто философского тол­ка. Но коль скоро математика играет важнейшую роль в этой фило­софии, возникает вопрос, в какой степени математика ответственна за те неприемлемые по философским основаниям положения, кото­рые свойственны платонизму.

В частности, платонизм в области математики утверждает су­ществование другого, нематериального, мира, населенного матема­тическими объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык ука­зывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуи­ции мы входим в контакт с математическими сущностями.

Вся эта картина в высшей степени затруднительна для ее вос­приятия натуралистически настроенным умом. Натурализм предпо­лагает, что человеческое познание опирается на разного рода когни­тивные способности человека, которые выработаны в процессе эво­люции, и поэтому любые познанные структуры объективного мира должны иметь естественное происхождение. А с точки зрения платониста математика изучает не этот мир, а мир внепространственных, вневременных, не созданных сознанием сущностей, который недоступен нашим чувствам. Эта метафизическая картина призва­на объяснить существование и применение математики, и такое объяснение вполне устраивает многих математиков, если не всех, за исключением тех, кто чувствителен к философским затруднениям. А они в случае платонизма огромны, и возникает вопрос, в какой степени для объяснения природы математики необходим платонизм.

Целищев пишет, что реакция против платонизма принимает различные формы. Есть возражения, основанные на том, что платонизм есть результат склон­ности математиков к вневременным и внепространственным сущ­ностям, что идет вразрез с естественными науками, где изучаются сущности, находящиеся в пространстве и во времени. Больше того, некоторые философы полагают, что такая страсть математиков име­ет некоторый нормативный характер, выражающий в известной мере ценности математиков. Так, Р. Нозик утверждает: «Некоторые мате­матики имеют предрассудки, выражающиеся в предпочтении неиз­менных и вечных математических объектов и структур, которые изу­чаются ими. Хотя эта традиция имеет почтенный возраст, трудно понять, почему неизменное или вечное более ценно или значимо, почему длительность сама по себе должна быть важной. Рассматри­вая эти вещи, люди говорят о вечном и неизменном, и этот разговор включает (кроме Бога) числа, множества, абстрактные идеи, само пространство-время. Неужели лучше быть одной из этих вещей? Это странный вопрос: как может быть конкретный человек абстрактным объектом? Можно ли хотеть стать числом 14 или Формой Справед­ливости или пустым множеством? Хотел ли кто-нибудь иметь такое существование, которое приписывается множеству?» (Цит. по Целищев, 2007. С. 42).

Другие философы возражают платонизму на том основании, что он бессодержателен уже по своей постановке вопроса. Так, А. Сло­ман скептически оценивает позицию платонизма Р. Пенроуза. «Все, что он говорит, состоит в том, что математические истины и концеп­ции существуют независимо от математиков, и что они открывают­ся, а не изобретаются. Это лишает платонизм всякого содержания... Хотя многие люди полагают платонизм как чем-то мистическим, или антинаучным, так же горячо, как Пенроуз защищает платонизм, такие разногласия на самом деле пусты. Нет никакой разницы, существуют ли математические объекты до их открытия или нет. Спор этот, как и всякий спор в философии, зависит от ошибочного предположения, что существует четко определенная концепция (например, "существо­вание математического объекта"), которая может быть использована с целью постановки вопроса, на который можно дать определенный ответ. Мы все знаем, что означает существование единорогов, или вполне разумный вопрос о существовании простого числа между двумя задан­ными целыми числами. Но нет смысла спрашивать, существуют ли все целые числа, или существуют ли они независимо от нас, и все дело в том, что понятие существования весьма плохо определено» (цит. по Целищев 2007 С.43).

Такие точки зрения резко контрастируют с мнением математи­ков, исповедующих платонизм. Например, Ш. Эрмит писал: «Я верю, что числа и функции в анализе не являются произвольными продук­тами нашего сознания: Я верю, что они существуют вне нас, обла­дая той же необходимостью, какой обладают вещи объективной ре­альности; и мы обнаруживаем или открываем их, или изучаем точ­но так же, как это делают физики, химики и зоологи» (Цит. по Целищев 2007 С. 43).

Избегая крайностей, следует признать, что коль скоро платонизм есть успешное с точки зрения математического сообщества объяснение природы математики и математической практики, все, что может сделать аргументативная философия, это исследовать, в ка­кой степени математика ответственна за столь странный взгляд как платонизм. Кроме того, несмотря на странности платонизма, следу­ет понять, в какой степени платонизм неизбежен, и есть ли ему жиз­неспособные альтернативы в объяснении природы математики.

Это и породило двойственность в оценке природы математических объектов. Так, П.К. Рашевский считает, что математические объекты представляют «своеобразный мир идей, которые странным образом и реальны, и призрачны одновременно» (Рашевский 1948 С.7).

Результаты математики как никакой другой науки привлекаются для обоснования нематериалистических концепций. Платон утверждал, что Бог по природе геометр.



Таким образом, в работах по философии математики рассматриваются следующие вопросы, и на каждый вопрос дается несколько ответов, несовместимых друг с другом.

  1. Что такое математика – сумма дисциплин, или – некое единое целое? Одни считают, что математика – скопление автономных дисциплин, находящееся на пути превращения в Вавилонскую башню. Дисциплины изолированы друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку. Н. Бурбаки же полагает, что математика является обширным разрастанием крепко сложенного организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями. Основу единства составляют три структуры, построенные аксиоматически. Арнольд рассматривает другую оппозицию - математика и физика – мать и дитя или сестры.

  2. В чем специфика математических объектов. Где и как они существуют? Здесь особенно много вариантов ответов. Если Френкель и Бар-Хиллел рассматривают три основных ответа (платонизм, номинализм, концептуализм), то в монографии Целищева дается характеристика 11 школ, отвечающих на вопрос о статусе математических объектов (Целищев 2007 С. 30-31).

  3. Связана ли современная математика с практикой? Ее двойственный в этом отношении характер подчеркивает, например, Рашевский

  4. В.В. Целищев (конечно, не случайно) завершает свой анализ онтологических проблем математики указанием на то, что философия математики нуждается в эпистемологизации У. Харт, Р. Херш).

.
Вопросы

  1. Как Вы считаете, существует одна математика, или имеет место скопление математических дисциплин? От чего зависит ответ?

  2. Какие структуры выделяет Н. Бурбаки? Какова роль этих структур в осуществлении единства математики?

  3. Чем Вы объясните, что математика используется для объяснения физических явлений, для которых она не предназначалась?

  4. Как Вы относитесь к аргументам В.А. Успенского, что в математике не все понятия строго определяются и что в математике не все выводится из аксиом? Какой еще источник математических знаний называет Успенский?

  5. Посмотрите книгу В.Я. Перминова «Развитие представлений о надежности математического доказательства» (М, МГУ, 1986. Гл. 1). Что он понимает под герметичностью доказательства? Сопоставьте с тем, что пишет Успенский. Каково Ваше мнение?

  6. Что такое математические абстракции? Существует ли операция абстрагирования?

  7. Где существуют идеи, числа, треугольники по Платону? Как Платон объясняет существование мира идей?

  8. Критика Аристотелем точки зрения Платона.

  9. Чем обусловлен парадокс Рассела-Цермело в теории множеств?

  10. Как Вы относитесь к высказыванию П. Бернайса о том, что числа, фигуры, функции, множества постулируются существующими до их построения, вычисления и определения?

  11. Почему из непротиворечивости свойств математического объекта не следует его существование? Из чего следует существование математических объектов?

  12. Какую математическую характеристику платонизма дают Френкель и Бар-Хиллел?

  13. Каковы аргументы неономиналистов против существования множеств?

  14. С какими математическими трудностями сталкивается неономинализм?

  15. Дайте характеристику конструктивизма.

  16. Какими неприятностями в философском отношении отягощен платонизм с точки зрения В.В. Целищева?


Каталог: sls -> 2013
2013 -> Проблема рациональных переходов в социокультурной философии математики Проблема рациональности межпрактических переходов в концепции «математического натурализма»
2013 -> Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий
2013 -> М. А. Розов 70 рассуждения об интеллигентности
2013 -> Нильс Бор Избранные научные труды. Т. II. Статьи 1925 -1961. Издательство «Наука». Москва, 1971
2013 -> Программа спецкурса Новосибирск 2008


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница