Философские проблемы математики



страница2/16
Дата12.01.2018
Размер1.32 Mb.
ТипЗадача
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Хрестоматия по философии математики 112


Розов М.А. К методологии анализа проблемы идеального 112

Розов М.А. Способ бытия математических объектов 119

Новиков С.П. Математика на пороге XXI века 126

Коллинз Р., Рестиво С. Пираты и политики в математике 155

Сокулер З.А. Вопрос о революциях в истории математики 191

Введение
Философские проблемы математики обсуждаются уже в Древней Греции, когда Платон «помещает» числа, треугольники и т.п. математические объекты, как и идеи вообще, в особый мир. Элементы этого мира – вечны и неизменны, с одной стороны, а с другой – именно идеи обусловливают само существование вещей. Обсуждению подвергаются вопросы о том, где и как существуют числа, какова их природа, чем обусловлен всеобщий характер математического знания, когда в самых разных культурах, возникающих в значительной степени независимо одна от другой, люди складывают и умножают числа одинаково (техника счета различается, а результаты – одинаковы)? Трудности, которые обнаружили уже древние греки, хорошо моделирует «Диалог о сущности математики» венгерского математика Альфреда Реньи:

С о к р а т. … считаешь ли ты, что звезды на небе будут появляться, если никто их не станет наблюдать, а рыбы будут продолжать плавать, если никто не станет ловить их?

Г и п п о к р а т. Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?

С о к р а т. Тогда скажи, если бы не было математики, были бы простые числа, и если да, то где?

Г и п п о к р а т. Не знаю, что и ответить. Ясно, что если математики думают о простых числах, значит они существуют в их сознании, но если бы не было математиков, не могло бы быть и простых чисел.

С о к р а т. Значит, ты считаешь, что математики изучают несуществующие понятия?

Г п п о к р а т. Пожалуй, мы должны допустить это.

С о к р а т. Если я скажу, что математики занимаются тем, что или вовсе не существует или существует, но не так, как существуют звезды или рыбы, то буду ли я прав?

Г п п о к р а т. Вполне.

С о к р а т. Теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Я написал на восковой табличке число 37. Ты видишь его?

Г и п п о к р а т. Да.

С о к р а т. И можешь дотронуться до него рукой?

Г и п п о к р а т. Конечно.

С о к р а т. Значит, числа существуют?

Г и п п о к р а т. Ты смеешься надо мной, Сократ. Послушай! Я нарисовал на такой же табличке дракона с семью головами. Разве это означает, что он существует? …

С о к р а т. Ты прав, Гиппократ, я с тобой согласен. Значит, хотя мы говорим о числах и даже можем написать их, на самом деле они не существуют? (Реньи, 1969. С. 25-26).

К числу философских проблем математики относится широкий круг проблем, достаточно разнородных. Обсуждается, как мы видели, прежде всего, вопрос о сущности и статусе математических объектов, где и как они существуют. «Отражают» ли эти объекты какие-то реалии внешнего мира, или эти объекты - чистые творения разума? Кронекер писал, что «целые числа создал господь Бог, а все остальное – творение человека». Существенно, что начиная с 19 века, споры о природе чисел и множеств не ограничиваются областью философии, а философские установки отдельных школ и направлений обоснования математики оказывают существенное влияние на решение специальных логико-математических вопросов.

Тесно связан с вопросом о статусе математических объектов и вопрос о математике как науке. Н. Бурбаки спрашивает – существует ли одна математика, или – много? Имеет место очень большой разброс мнений о том, что такое математика – от слов Канта о том, что только та область является наукой, которая использует математику, до слов Фейнмана о том, что математика – не наука: «Математика, с нашей точки зрения, не наука в том смысле, что она не относится к естественным наукам. Ведь мерило ее справедливости отнюдь не опыт. Кстати, не все то, что не наука, уж обязательно плохо. Любовь, например, тоже не наука. Словом, когда какую-то вещь называют не наукой, это не значит, что с нею что-то неладно: просто не наука она, и всё» (Фейнман 1965. С.55). Сюда же примыкают такие метафоры для описания математики и ее места среди других наук, как вопрос В.А. Успенского – математика и физика – сестры или – мать и дочь? Широко известны слова Гиббса о том, что математика – это не наука, а язык, с этими словами солидаризируются одни математики и активно не согласны другие. О причинах разногласий пишет, например, Р.Курант: «На вопрос, что такое математика?» невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений, семантических определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы» (Курант 1967. С. 16).

Чем обусловлен всепроникающий характер математического знания? Возникнув из простого счета и чертежей, математика распространилась в самые разные сферы природы и социальной жизни людей, без нее не могут обойтись не только механика и другие разделы физики, но и астрономия, экономика, электронно-счетные машины и многие другие области науки и жизни.

Спорными являются буквально все вопросы, касающиеся того, что такое математика, как она возникает и развивается. Так, с появлением книги Т.Куна «Структура научных революций» разгорелся спор о том, имеют ли место научные революции в математике. Многие авторы пришли к выводу, как М. Кроу, автор статьи о законах в математике, что «революции никогда не встречаются в математике» (закон 10). Идут споры о том, что такое чистая и прикладная математика, каковы между ними отношения, чему надо уделять больше внимания как в ходе научных исследований, так и в процессе преподавании.

Появление многотомного курса Н. Бурбаки одними оценивается как значительное явление в математике, другие же видят существенные негативные последствия «бурбакизма» математики (Новиков 2002).

Не внесло единства в обсуждение философских проблем математики и развитие исследований по ее основаниям, где в начале 20 века сложились школы логицизма, интуиционизма, формализма. Теперь многие соглашаются с Х. Патнэмом, опубликовавшем статью «Почему ничего из этого не работает» (имея в виду традиционно главные направления в философии математики) (См.: Целищев, 2007. С. 29). Однако, рассматривая философские проблемы математики, нельзя обойти вопросы формирования этих школ, а также причины, в силу которых в каждой из школ обнаружились узкие места, настолько, что У. Харт стал говорить об эпистемологическом повороте в философии математики: «Платонизм кажется ясным, когда вы думаете о математической истине, но невозможным, когда вы думаете о математическом познании. И конечно, эпистемология не умерла в нашем веке; она просто изменилась. Причинность, холизм и натурализация вытеснили чувственные данные и аналитичность. Так что надо приветствовать переформулировку основных положений эпистемологии математики. Интеллектуальным долгом является не только прогресс в области математической логики, но прогресс в эпистемологии математики» (Цит. По Целищев 2007. С. 46-47).

Относятся к философии математики и вопросы о том, под влиянием каких факторов развивается математика. Даже если признать, что в математике нет научных революций, никто не сомневается, что в этой науке все время появляются новые разделы, возникают новые понятия и теории. Что этому способствует? Внешние факторы – потребности других наук, потребности практики, или – только внутренние факторы? Иначе говоря, спорят, какой идеологии следовать – идеологии интернализма (математика развивается благодаря внутренним причинам), или – идеологии экстернализма – на развитие математики существенное влияние оказывают внешние факторы – развитие материального производства, которое «направляет» свои запросы математике, социальная структура общества, традиции и т.п. Последнее важно, в частности, при ответе на вопрос – почему доказательство и вообще «чистая» математика сложилась только в Греции (в древности), а затем – в Европе, и уже оттуда распространялась в другие географические (и культурные) регионы?

Является ли математика наукой о природе? Если нет, то могут спросить – зачем же она тогда существует? Благодаря тесной взаимосвязи математики, природы и общества, формируются программно-предметные комплексы (Розов 2006-1). Математика – наука о природе и обществе, если единицей исследования считать не отдельную математическую науку (теория вероятностей, теория графов и т.п.), а программно-предметные комплексы.

Для данной работы важно, что многие вопросы из названных выше можно решить, если обратиться к одной из современных концепций научного знания – теории социальных эстафет М.А. Розова (Розов 2006-1). Эта теория возникла в рамках решения важнейшей задачи эпистемологии – что такое знание. Отсутствие ответа именно на этот вопрос тормозит анализ математики как науки, ибо ее объекты действительно, заключают в себе тайну – в рамках традиционных представлений невозможно ответить на вопрос – что такое число, в чем причина всеобщности и необходимости математического знания и т.д.

Задачи работы вытекают из сказанного выше. Книга имеет три раздела. 1. Как понимают предмет и задачи математики в традиции. 2. Средства исследования – теория социальных эстафет, основные положения – эстафетная модель науки, идея куматоида как волноподобной структуры. Будет показано, что философия математики находится на пути превращения в эмпирическую науку. 3. Анализ выделенных в 1 части проблем в рамках теории социальных эстафет. Построение философии математики как эмпирической науки основывается на том, что: а) числа и другие математические объекты – это куматоиды, т.е. относительно постоянные программы и постоянно изменяющийся материал; б) математические объекты не находятся в природе, а конструируются человеком; в) ответ на вопрос о существовании научных революций в математике зависит от определения научной революции. При понимании научной революции как существенного изменения в развитии конкретной науки, революции есть и в математике – прежде всего – появление нового конструктора. г) Математические дисциплины, при всей их разнородности, тесно связаны друг с другом, а также с физическими науками, астрономией, биологией, географией, экономикой и многими другими. Связи фиксируются идеей программно-предметных комплексов, суть которых состоит в том, что научные дисциплины нерационально изучать как изолированные «образования», ибо, как правило, предметные науки ставят задачи, а математические – дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальных уравнений, математическая статистика, теория вероятностей, линейное программирование и т.д. – разрабатывают средства. Можно даже вообще сформулировать тезис – говоря о развитии науки, следует изучать не изолированные дисциплины, а их комплексы. В этом случае и не будет вопросов – какую реальность изучает математика. Она разрабатывает средства для предметных наук. Вероятно, все математические дисциплины входят в какие-либо комплексы. д) в математике, как совершенно справедливо считает В.А.Успенский, далеко не все определяется и доказывается, или выводится из аксиом. В математике, как и в других науках, действуют по образцам, прибегают в аналогиям, используют не строго введенные, но работающие понятия (такие, как бесконечно малые в анализе).



Каталог: sls -> 2013
2013 -> Проблема рациональных переходов в социокультурной философии математики Проблема рациональности межпрактических переходов в концепции «математического натурализма»
2013 -> Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий
2013 -> М. А. Розов 70 рассуждения об интеллигентности
2013 -> Нильс Бор Избранные научные труды. Т. II. Статьи 1925 -1961. Издательство «Наука». Москва, 1971
2013 -> Программа спецкурса Новосибирск 2008


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница