Философские проблемы математики



страница16/16
Дата12.01.2018
Размер1.32 Mb.
ТипЗадача
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16
Препятствием на пути неевклидовой геометрии было убеждение, что геометрическая

теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности. Преодоление этого представления и может быть реконструировано как революция в истории математики.
Но как должна быть описана эта революция? Какой контекст требуется для ее

адекватной реконструкции? Должен ли он, например, включать историю модернизма в живописи с его экспериментами в области

изображения пространства? Или это несущественно, а существенна, скажем, история

алгебры? Тут, отвечает Мертенс, не может быть единственного определенного ответа.

"Интерпретации обусловлены не историей, а историком, и зависят от их решения

писать о том-то, для такой-то аудитории и с такой-то целью" (20, с.44). В

частности, может быть написана хорошая история "революции в геометрии XIX в.",

оставляющая в стороне и алгебру, и философию, и искусство. Лишь бы историк науки

отдавал себе отчет в том, что такой характер его работы обусловлен его личным

выбором, а не сущностью геометрии самой по себе; историк науки должен понимать

также, что выбор аспекта рассмотрения и материала к теме в значительной мере

предопределяет получающиеся выводы. Поэтому история науки, как заключает Мертенс,

есть и искусство, и наука.
Такое понимание характера историко-научных исследований само является, как

отмечает Мертенс, выражением "эпистемологического разрыва" с прежними способами

понимания науки и ее истории. Данный разрыв, переживаемый историографией науки,

неотделим от эпистемологического разрыва, произошедшего в самой науке. Например,

историография математики может описывать как "эпистемологическое препятствие"

идею единственной истинной геометрии или представление о математической теории

как истинном описании какой-то реальности только потому, что в самой математике

произошел эпистемологический разрыв с подобными представлениями. Историк науки,

таким образом, зависит от современных способов рефлексии математиков над своей

практикой. Требуется, чтобы он осознавал и учитывал эту зависимость: "Ведь мы-то

находимся по эту сторону эпистемологического разрыва, утвердившего неевклидову

геометрию как законную и важную часть математики. Мы не можем вернуться в

состояние неведения" (20, с.44).
Прежде чем спорить о том, имеются ли в математике HP, говорит Мертенс, следует

определиться в понимании того, что значит "в математике"? Что находится в математике, а что является лишь "внешним

фактором"? Предлагая собственный ответ, Мертенс недвусмысленно демонстрирует

зависимость от современного способа рефлексии математиков, сложившегося в

результате споров вокруг неевклидовых геометрий. Одним из классических выражений

этой рефлексии было утверждение Д.Гильберта, что в математике истина и

существование эквивалентны непротиворечивости, Мертенс ссылается на "семиотическую"

трактовку природы математики, согласно которой математика есть знаковая

конструкция определенного рода. Если в ней и есть истины, то - это истины о ней

самой, ибо математика говорит только о своих собственных знаковых конструкциях

Различные математически теории работают с определенными типами знаковых

конструкций, обозначающих правила для их «собственного» использования.

Семиотический подход, как признает Мертенс, вызывает много гносеологических

вопросов, но имеет то бесспорное достоинство, что позволяет избавиться от

вопросов типа: "О чем математика? Что лежит внутри математики?"
Говоря о семиотическом подходе к природе математики, Мертенс ссылается на работы

Б.Ротмена, П.Дэвиса и Р.Херша 80-х гг. Однако, как мне кажется, говоря о подобном

подходе, следовало бы упомянуть, что его разрабатывал еще в 30-е гг. Л. Витгенштейн.

При этом он развил представления о "следовании правилу» 11 и проанализировал

гносеологические вопросы, встававшие перед его подходом. Взгляды Витгенштейна

были крайне еретическими в 30-40-е гг., когда исследования по основаниям

математики подмяли под себя всю философию математики. Но почему Мертенс забывает

упомянуть о них теперь, когда ситуация изменилась?


Выше я говорила об одной черте, характерной для современной ситуации в философии

и историографии науки, обозначая ее условным названием "антропологический

поворот»: история науки начинает рассматриваться как история людей и их практик,

а не как история совершенно автономных теоретических сущностей. Хотя Мертенс не

употребляет таких слов, данная черта присутствует в его рассуждениях явно. В самом деле: являются ли позиции Кроу и

Мертенса несовместимыми? Первый утверждает, что в истории математики не бывает

HP, a второй - что они были, есть и будут. Но ведь очевидно, что они говорят о

разных вещах. Кроу понимает под HP отбрасывание ранее принимавшихся теорий

вследствие обнаружения их ложности. Ясно, что значительные эпизоды в истории

математики имеют другой характер. Например, аналитическая геометрия вовсе не

показала ложность античной теории конических сечений; принятие неевклидовых

геометрий не влекло признание ложности евклидовой и т. д. Кроу ясно формулирует

свою мысль, говоря, что в математике революций не бывает. Революции, о которых

говорит Мертенс, происходят, в этом смысле, "возле" математики, но не в ней. Из

его описания видно, что революции происходят в сознании людей, занимающихся

математикой.


Так есть ли противоречие между утверждениями Кроу и Мертенса, и в чем оно

состоит? Думаю, что в следующем: для Мертенса, в отличие от Кроу, то, что "в"

математике, не существует как самостоятельная реальность, которую следует

изучать в абстракции от того, что происходит в сообществе математиков (которое

само является частью более широкого человеческого сообщества).
Мертенс утверждает, что "истинность" и "значение" систем математических знаков

существуют только в математических сообществах как интерпретация математиками

своей практики. Эти интерпретации историчны. Например, понимание своей практики

и смысла своих результатов у математиков Древней Греции существенно отличается

от самопонимания математиков Нового времени. И эта историческая смена

демонстрирует глубокую связь математики с культурой, ее системами интерпретаций

и смыслов. "Математика всегда была частью общественной системы производства в

культуре знаков и смыслов» (20, с.47).


Тезис о существовании HP в математике поддержал председатель Международной

комиссии по истории математики Джозеф У. Даубен (Нью-Йорк, США). В 1984 г. он писал, что понятие революции

традиционно означало замену системы авторитетов, и для анализа истории

математики можно использовать практически такое же понимание (4). Различие будет

связано с тем, что в политической революции старая система авторитетов

уничтожается, а в результате математической революции она обычно сохраняется, но

уже в ином статусе. В качестве примеров он рассматривал открытие в античности

несоизмеримых величин и порожденную этим проблему иррациональности, а также

создание трансфинитной теории множеств Г.Кантора. В добавлении, написанном для

этого издания (5), он доказывал также, что революция в понимании математической

строгости, совершенная О.Коши, и в самом деле является революцией.
Коши был первым, кто сумел, наконец, дать достаточно строгую формулировку

оснований анализа: построить точное определение предела, до некоторой степени

разработать теории сходимости, непрерывности, производной и интеграла. Эта

революция затрагивала основания анализа. А изменения в основаниях не могут не

затрагивать всю структуру, основанием которой они являются. В данном случае,

новые стандарты строгости вызвали революцию в стиле математического анализа, что,

в свою очередь, повлекло революционную перестройку самого содержания анализа.

Ведь на основании новых критериев строгости оказалось возможным открыть понятия

типа равномерной сходимости, которые нельзя было даже сформулировать в понятиях

XVIII в. Важнейшим признаком революции в науке является изменение принятого

языка. В эпизоде с Коши такое изменение налицо - появился язык "эпсилон-дельты".
Чтобы оценить глубину и радикальность этих изменений, Даубен предлагает

вспомнить, что большинство математиков XVII в. интересовались преимущественно

результатами и мало заботились об обосновании. В XIX в., напротив, проблемы

оснований приобретают все большее и большее значение. Почему стиль

математического мышления так изменился?
Мне хочется обратить внимание на то, что Даубен не ищет тут какое-то

внугриматематическое объяснение. Он не смотрит на тенденцию к увеличению

строгости и повышению удельного веса работ, связанных со строгостью и

основаниями, как на проявление имманентной тенденции, присущей математике самой

по себе. Нет, Даубен просто и даже как будто мимоходом замечает, что данные

процессы частично объясняются социологическими факторами, связанными с

институционализацией и профессионализацией математики. "Поскольку математики во

все большей мере сталкиваются с проблемами преподавания анализа, проблемы

определения и обоснования предела, производной, бесконечных сумм и т.п.

становятся неизбежными" (5, с.74).


Замечу попутно, что и Г. Мертенс видит в тех же процессах профессионализации и

институционализации математики как преподавательской деятельности ключ к

пониманию многих процессов, характерных для математики XIX в. (20). В его

рассуждениях первопричиной оказывается Великая Французская революция и

инициированная ею реформа системы образования, появление "Эколь нормаль" и "Политехнической

школы", сыгравших выдающуюся роль в истории математики. Реформа университетов в

Германии в какой-то мере следовала французской модели. Сложившаяся система

образования поставила проблему преподавания математики студентам, оставленным

для подготовки к профессорскому званию. Это дало математикам возможность

преподавать теории, над которыми они непосредственно работали. Ситуация, когда

исследовательская деятельность во все большей мере переплеталась с

преподавательской, существенно повлияла на стиль математического мышления и

критерии строгости. В частности, она способствовала закреплению разделения математики на чистую и прикладную. Я остановилась на этих рассуждениях Даубена и Мертенса

не потому, что они являются первооткрывателями роли системы образования в

истории математики. Нет, данный сюжет является как бы общеизвестным2*1). Но в то

же время признание этих моментов, как правило, оставалось регистрацией "внешнего фактора» и уживалось с представлениями об автономных

логических законах развития математики, к которым не имели никакого отношения

социологические аспекты математической деятельности, и о внутренне присущем ей

импульсе к увеличению строгости (вариант: внутренне присущем ей чередовании "творческих"

эпох и эпох, ориентированных на строгость). А в замечаниях Даубена и Мертенса

мое внимание привлекло осознание того, что социологические факторы способны

оказывать формообразующее воздействие. Математика для них выступает как

человеческая деятельность, развитие которой не может быть автономным от способов

организации занимающихся ею Людей, а также от места этой организации в более

объемлющих общественных структурах, от целей и ценностей занимающихся

математикой людей.


Отказываясь смотреть на развитие математики как на чисто кумулятивный процесс,

Даубен отмечает, что "когда происходит настоящая революция, значительная часть "старой"

математики заменяется или претерпевает присоединение новых понятий и техник,

которые заметным образом меняют словарь и грамматику математики ... Каждое

поколение и каждая эпоха имеют свои собственные представления о приемлемом, о

пределах возможного и допустимого. Математические революции выводят следующее

поколение за эти пределы к совершенно новым возможностям, как правило, даже

непредставимым с точки зрения предыдущих поколений" (5, с.80-81). Революции

происходят именно в математике, подчеркивает Даубен: "Если бы это было не так,

мы бы до сих пор считали на пальцах» (5, с.81).


Мне кажется, что понятие HP в сообществе философов и историков математики играет

роль межевого знака, отмечающего разрыв между традиционными представлениями и

новым образом математики и математической деятельности. Каким именно? Тут

возможен целый спектр позиций. Когда они начинают разрабатываться более подробно,

то оказывается, что и само понятие HP понимается столь по-разному, что лишается

определенности, один и тот же эпизод истории математики одним авторам представляется примером HP,

a другим - нет (нововведения Лейбница в исчислении бесконечно малых; введение

Декартом координатного метода в геометрию). В качестве примеров HP приводятся

утверждение неевклидовой геометрии в XIX в., появление исчисления бесконечно

малых, создание математической логики Готлобом Фреге (25).


Если понятие HP неопределенно, можно вообще задуматься над его ролью. В общей

философии науки понятие HP постепенно выходит из моды: оно сыграло свою роль (25).

Оно высветило такие параметры развития науки, которые, говоря словами Л. Витгенштейна,

"изменили аспект видения" и тем самым сокрушили традиционные представления о

науке. Открылось целое пространство связей и детерминаций, на которые была слепа

традиционная установка. И теперь уже не требуется событий столь масштабных, как

HP, чтобы исследователи заметили эти связи и детерминации. И нет нужды увязать в

спорах о том, чем революционное событие в истории науки отличается от просто

значительного, тянет ли данное событие на звание HP или нет. Но авторы сборника

"Революции в математике" еще полностью захвачены понятием "революция" и

живописанием различных эпизодов истории математики как революций.
Так, Эмили Грошольц (преподаватель философии Университета Штата Пенсильвания,

США) прежде всего, признает, что вклад Лейбница в математику никак не выглядят

революционным: с его именем скорее ассоциируются улучшение символики, более

систематическая организация наличного корпуса проблем и решений, т.е. вещи,

которые трудно назвать революционными. Однако, утверждает она, вклад Лейбница

предстанет в ином свете, если расширить представление о HP и включить туда не

только диахронные изменения в одной области знания, но и синхронные изменения

отношений между взаимосвязанными областями. Так, первоначальная формулировка

Лейбницем алгоритма исчисления бесконечно малых "возникла из его замечательной способности комбинировать результаты из геометрии, алгебры и

теории чисел" (14, с.117).


Каролина Данморе (аналитик в области бизнеса, Лондон, Великобритания) в статье "Метауровневые

революции в математике" (7) пытается дать общее концептуальное рассмотрение HP в

математике. Касаясь тезиса Кроу, что революции происходят не в математике, а

вокруг, она выражает неудовлетворенность его пониманием математики. С ее точки

зрения, математику образуют "понятия, терминология и обозначения, определения,

аксиомы и теоремы, методы доказательств и решений проблем, проблемы и

предположения, но над всем этим стоит уровень метаматематических ценностей

сообщества, определяющих цели и методы их достижения и включающие в себя общие

представления о природе математики. Все эти элементы вместе взятые и образуют

математику, или математический мир"(7, с.211). Таким образом, она выделяет в

математике объектный уровень и метауровень. "Революции в математике тоже

происходят, но они касаются исключительно метаматематических компонентов

математического мира" (7, с.212). Обосновывая свой тезис, автор отмечает, что "необходимым

условием революции является замена чего-то, ранее признававшегося сообществом,

на нечто, с ним несовместимое (там же), однако "никакой значительный чисто

математический результат не может быть пересмотрен" (7, с.213).


Эту точку зрения она подтверждает многочисленными примерами. Так, признание

неевклидовых геометрий в середине XIX в. было революцией в математике. Но она

состояла вовсе не в том, что евклидова геометрия была отброшена и заменена

неевклидовой. Нет, на объектном уровне не происходило никакого отбрасывания,

только добавление новых теорий. Было отброшено представление, что единственно

возможна евклидова геометрия, являющаяся истинным описанием физического

пространства. Другим примером HP служит изобретение Г.Кантором теории

трансфинитных множеств. Недаром эта теория встретила столь сильное сопротивление.

И, тем не менее, теория множеств не

потребовала отказа ни от каких признанных результатов объектного уровня, хотя и

потребовала отбрасывания прежнего интуитивного определения числа. Более подробно

автор рассматривает такой пример HP как введение теории иррациональных в

древнегреческой математике. Она потребовала отбрасывания основного элемента

пифагорейской философии, а именно убеждения, что сущность всех явлений может

быть выражена отношением между целыми числами.
Революция, состоящая в признании отрицательных и мнимых чисел, также не

потребовала отбрасывания или пересмотра элементов объектного уровня, но

требовала радикального пересмотра неформальных представлений о числе,

принадлежащих метаматематическому уровню.


В то же время такие эпизоды истории математики, как введение Фр. Виетом удобной

символики для алгебры, построение Р.Декартом и П.Ферма координатной геометрии,

исчисление бесконечно малых И.Ньютона и Г.В.Лейбница, не являются, в трактовке

автора, научными революциями.


Так Каролина Данморе изобретает подход, благодаря которому и овцы (т.е.

признанные математические результаты и методы) целы, и волки (т.е. авторы,

утверждающие существование HP в истории математики) сыты. Неясно, правда, почему

автор при этом ссылается на Т.Куна. Ее подход явно отличен от куновского. Духу

куновского подхода чуждо подобное разделение научной дисциплины на два уровня,

из которых один развивается кумулятивно, а другой - нет. Ведь такое допущение

равносильно признанию того, что эти уровни в значительной мере независимы друг

от друга. Автор убеждена в строгой кумулятивности "объектного уровня" математики.

Ее не смущает, например, то, что в наше время никто не решает задачи методами

греческой "геометрической алгебры, (хотя методы решения задач она помещает на

объектный уровень).
Джулио Джиорелло (профессор философии науки Миланского университета, Италия)

развивает иной подход. Он обращается к эпизоду из истории математики, который

представляется ему

очевидной HP - исчислению бесконечно малых от Ньютона до Дж. Беркли и К. Маклорена. Он исследует различные моменты этого исторического

эпизода, одновременно обсуждая вопрос, что такое HP. При этом сам эпизод

общеизвестен и является "частью традиционного фольклора математиков" (12, с.135).

Его интерпретация столь же общепринята: "духи исчезающих величин" (выражение Дж. Беркли),

бродившие по страницам математических сочинений той эпохи, были элиминированы в

"эпоху строгости". Изгнание духов было начато О. Коши и завершено К.Вейерштрассом.

В таком виде данный исторический эпизод становится убедительной иллюстрацией

рассуждений Р.Карнапа. Последний утверждал, что изобретатели исчисления

бесконечно малых Ньютон и Лейбниц знали, как решать проблемы анализа, но не

знали, как их правильно формулировать, вследствие чего формулировали их в

метафизическом виде. Например, они знали, что производная от функции х2 равна 2х,

но не знали, что означает выражение "производная функции". Выяснения этого

пришлось ждать целое столетие; зато результатом явилось избавление математики от

бессмысленных метафизических фраз типа "бесконечно малое количество".
"Но эта версия попросту ложна" (12, с.135): Лейбниц и Ньютон знали, как

формулировать проблемы, но их язык отличался от языка "эпсилон - дельты".


Лазарь Карно, математик, а во времена Великой Французской революции - генерал,

не колеблясь, назвал создание исчисления бесконечно малых революцией. В

настоящее время мы, замечает автор, гораздо менее склонны говорить о революциях

в истории математики, ибо представляется очевидным, что в ходе революции что-нибудь

должно быть отменено или уничтожено, а с математикой такого не происходит.

Однако революцию можно понимать и иным, более сложным образом: "Сложность

математических революций и является предметом настоящей статьи" (12, с. 138).
Как в математике, так и в государстве есть то, что можно назвать "парадигмой

законности". Революции суть переходы от одной "парадигмы законности" к другой (автор

ссылается тут на автора теории катастроф, известного французского математика Рене Тома), Этот переход

может быть весьма болезненным и включать в себя период "вакуума законности",

когда старая парадигма потеряла силу, а новая ее еще не обрела. Тогда

утверждается диктатура на фоне попыток реставрации старого режима. Описание

кризиса старой парадигмы законности у Р.Тома (массовая потеря доверия к ней)

похоже, по мнению автора, на описание кризиса научной парадигмы у Т.Куна и

подходит для описания истории исчисления бесконечно малых. "Геометрическая

строгость древних" играла ту же роль, что парадигма законности для английской

монархии эпохи Стюартов. Вначале сама монархия не ставилась под сомнение, -

объектами неприятия становились только некоторые обусловленные данной парадигмой

ограничения. По то мере того, как они ужесточались, усиливалось неприятие всей

парадигмы. Аналогично,"геометрическая строгость древних" поначалу признавалась даже теми, кто в своей

практике на самом деле нарушал ее. Лишь по мере углубления кризиса стали

раздаваться голоса, что эта парадигма не так уж хороша и что даже сам Архимед

втайне рассуждал по-другому. Конфликт привел к открытому взрыву со стороны

защитников "новой геометрии". Как и в случае политической революции, новые "властные

структуры" получали свою легитимность от самого механизма революции. Вследствие

этого, они оказались в наибольшей опасности как раз в момент завершения

революции. Именно тогда, когда старая парадигма побеждена, все больше и больше

людей начинают ставить под вопрос основания новой и ставить под сомнение ее

корректность. В истории математики таким "контрреволюционером" был Дж,Беркли.
Проблема HP в истории математики затрагивается не только в сборнике (25). Так, Э,

Кении (Университет Уилкса, США) в статье (16) анализирует введенное Т, Куном

понятие HP и его применимость к реконструкции истории математики. О "революционных

идеях" или "революционных открытиях" в математике говорят часто. Классическими

примерами тут являются появление неевклидовой геометрии или признание

комплексных чисел и последующая эволюция алгебры. Но что именно имеют в виду, употребляя эпитет "революционный"?


Майкл Кроу предлагал различать "трансформирующие" и "формирующие" научные

открытия. Первые приводят к перестройке ранее признанных теорий, а вторые - к

появлению новых теорий наряду со старыми.
Математика, как подчеркивает Кении, имеет ряд черт, общих с эмпирическими

науками, но в ряде аспектов существенно отличается от них. Поэтому в ее истории

происходили события, имеющие некоторые черты HP, но они не соответствуют всему

содержанию куновского понятия. В терминологии Кроу, это формационные, а не

трансформационные события. Кении конкретизирует свой тезис на примере введения

комплексных чисел. Это событие часто описывается как революционное. И в самом

деле, борьба вокруг признания комплексных чисел продолжалась в математическом

сообществе с XVI в. до начала XIX в. В результате сформировался новый

абстрактный подход к алгебре, произошел концептуальный сдвиг от уравнений и их

решений к исследованию абстрактных алгебраических структур. Это можно было бы

при желании назвать "концептуальной революцией", но это не HP в смысле Куна,

поскольку, как утверждает Кении, "новые взгляды на алгебру не вытеснили старые

полностью" (16, с. 121).
Настоящий краткий обзор показывает, что позиции определены, аргументы приведены,

но столкновение мнений продолжается, ибо вопрос является не фактологическим, а

мировоззренческим. Все упирается в понимание различными авторами того, что

является неотъемлемой составной частью самой математики, а что лежит "около" или



"вокруг".

1 Открытие иррациональности традиция приписывает пифагорейскому математику первой половины V века до н.э. Гиппасу. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональности при построении додекаэдра (см.[14], с.82). Достаточно убедительной является концепция венгерского историка математики А.Сабо (см.[15]), в которой показывается, что подходы к открытию несоизмеримостей были намечены в процессе решения одной из проблем музыкальной теории пропорций.

2Недавно заново обретенный и прочитанный международной группой исследователей «Палимпсест Архимеда» содержит ряд ранее неизвестных теорем и доказательств, в частности положение 14 «Метода», где Архимед находит объем цилиндрического сегмента и, сопоставляя площади и объемы, пользуется понятием величины и производит эксплицитное суммирование бесконечного числа геометрических объектов, что усиливает исходное положение и показывает, что Архимед, возможно, приблизился к открытию идеи интеграла гораздо ближе, нежели мы ранее думали. Подробнее см.Netz–Noel 2007, 187 сл.



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница