Эрнест Нагель, Джеймс Рой Ньюмен. Теорема Гёделя


Абсолютные доказательства непротиворечивости



Скачать 72.03 Kb.
страница3/7
Дата30.07.2018
Размер72.03 Kb.
ТипКнига
1   2   3   4   5   6   7
Абсолютные доказательства непротиворечивости

Альтернативный подход был указан Гильбертом. Его целью было построение «абсолютных» доказательств непротиворечивости различных систем — доказательств, не исходящих из предположений о непротиворечивости какой-либо другой системы.

Первым шагом построения абсолютного доказательства непротиворечивости должна явиться полная формализация исследуемой дедуктивной системы, состоящей, грубо говоря, в том, что все входящие в данную, систему выражения рассматриваются как лишенные какого бы то ни было значения — просто как некоторые сочетания символов. В результате мы получаем систему символов (называемую «исчислением»), содержащую все те и только те символы, на которые мы явным и недвусмысленным образом указали. Постулаты и теоремы полностью формализованной системы — просто «строчки» (т.е. конечные последовательности) ничего не означающих значков, достроенные из элементарных символов согласно правилам данной системы. В такой полностью формализованной системе вывод теорем из постулатов — не что иное, как преобразование (согласно правилам системы) одной совокупности «строчек» в другую. Поступая таким образом, мы избегаем опасности, связанной с неявным использованием каких-либо сомнительных методов рассуждения (подробнее см. Даглас Хофштадтер. Гедель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда, главы 1 и 2).

С другой стороны, мы можем описывать формальную систему на обычном человеческом языке. Следует, однако, отметить, что эти осмысленные высказывания о бессмысленной (или, что то же самое, — формализованной) математике никоим образом не принадлежат сами по себе этой математике. Они относятся к области, которую Гильберт назвал метаматематикой, к языку, на котором говорят о математике.

Все эти метаматематические высказывания не содержат никаких математических знаков и формул, а содержат лишь их имена. Точно так же, если мы хотим сказать что-нибудь о каком-либо слове, то мы должны использовать в качестве члена предложения не само слово/выражение, а его имя. Обычно это делается при помощи кавычек. Фраза «Чикаго состоит из трех слогов» безграмотна. Мы должны написать: «„Чикаго" состоит из трех слогов». Точно так же неверно было бы написать: «х = 5 есть уравнение». Правильная запись такова: «„х = 5" есть уравнение».

Предмет математики составляют сами формальные системы, которые придумывают математики, предмет метаматематики — описание таких формальных систем, выяснение и обсуждение их свойств. Существеннейшим условием гильбертовской программы в первоначальной ее формулировке было разрешение употреблять в доказательствах непротиворечивости лишь такие приемы рассуждений, которые ни в какой форме не используют ни бесконечного множества структурных свойств формул, ни бесконечного множества операций над формулами. Такие методы рассуждений он назвал «финитными», а доказательства непротиворечивости, проведенные финитными средствами, — «абсолютными».




Каталог: wp-content -> uploads -> 2015
2015 -> Социальная философия
2015 -> Курсовая работа на тему: Наши эмоции друзья или враги? Их роль в конфликтоной ситуации
2015 -> Медиалогия как интегрированная наука информационной эпохи и ее роль в модернизации России Ключевые слова
2015 -> -
2015 -> Вопросы для подготовки к вступительному экзамену в аспирантуру по «Философии»
2015 -> Никколо Макиавелли
2015 -> Астрономия и современная картина мира
2015 -> Методы социологического исследования


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница