Эрнест Нагель, Джеймс Рой Ньюмен. Теорема Гёделя


Проблема непротиворечивости



Скачать 72.03 Kb.
страница2/7
Дата30.07.2018
Размер72.03 Kb.
ТипКнига
1   2   3   4   5   6   7
Проблема непротиворечивости

В числе аксиом, на базе которых строилась евклидова систематизация геометрии, имеется так называемая аксиома параллельности. В предложенной Евклидом формулировке эта аксиома равносильна утверждению, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой. Еще античным математикам эта аксиома отнюдь не казалась самоочевидной. Поэтому они пытались доказать ее в качестве следствия из остальных аксиом Евклида, которые, напротив, представлялись им совершенно очевидными. Можно ли, однако, действительно получить искомое доказательство для аксиомы параллельности?

В середине XIX столетия в работах Гаусса, Бойаи, Лобачевского, Римана и других математиков была доказана невозможность вывода аксиомы параллельности из остальных аксиом евклидовой геометрии. Этот результат имел громадное значение для понимания природы нашего мышления. В первую очередь он привлек внимание к тому поразительному факту, что можно доказать в качестве теоремы невозможность доказательства некоторых утверждений средствами данной системы.

Аналогично теорема Гёделя состоит в доказательстве невозможности доказательства некоторых арифметических утверждений средствами арифметики.

Как показал еще Давид Гильберт в 1899 г., обычные значения, приписываемые первоначальным терминам, можно полностью игнорировать, и единственные «значения», которые следует с ними связывать, сводятся к тому, что о них сказано в аксиомах, описывающих свойства обозначаемых ими понятий.

Усугубившаяся абстрактность математики породила серьезную проблему: для каждой данной системы постулатов встает вопрос, является ли она внутренне непротиворечивой, т.е. не может ли оказаться, что из этой системы выводятся теоремы, противоречащие друг другу.

Известны различные виды неевклидовых геометрий. Скажем, в геометрии Римана евклидов постулат параллельности заменяется соглашением, согласно которому через произвольную точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной (подробнее см. Леонард Млодинов. Евклидово окно).

Как установить непротиворечивость этой системы? Для решения проблемы был предложен один общий метод. Основная идея его состоит в том, чтобы найти «модель» (или «интерпретацию») для абстрактных постулатов рассматриваемой системы, т.е. чтобы каждый постулат оказался истинным утверждением об объектах такой модели, что и свидетельствовало бы о непротиворечивости (совместимости) системы абстрактных постулатов.

Непротиворечивость геометрии Римана также, можно установить при помощи модели, реализующей ее постулаты. Мы можем интерпретировать (истолковать) слово «плоскость», фигурирующее в формулировках римановских аксиом, как поверхность некоторой (евклидовой!) сферы, под «точкой» понимать точку, лежащую на этой сферической поверхности, под «прямой» — дугу большого круга этой поверхности и т. п. Тогда каждый постулат римановской системы оказывается теоремой евклидовой геометрии. Скажем, риманов постулат параллельности при такой интерпретации гласит: «Через точку, лежащую на поверхности сферы, нельзя провести ни одной дуги большого круга этой сферы, которая не пересекала бы произвольной данной окружности большого круга, выбранной на этой поверхности».

Следующий важный шаг в решении обсуждаемой здесь проблемы непротиворечивости евклидовой геометрии предпринял Гильберт. Основная идея его метода подсказана аналитической геометрией, восходящей еще к Декарту. В предложенной Гильбертом «декартовской» интерпретации евклидовских аксиом они очевидным образом становятся истинными алгебраическими утверждениями. Например, фигурирующее в аксиомах плоской геометрии слово «точка» должно означать теперь пару действительных чисел, «прямая» — числовое соотношение, выражаемое уравнением первой степени с двумя неизвестными, «окружность» — числовое соотношение, выражаемое квадратным уравнением некоторого специального вида, и т.д. Геометрическое предложение, гласящее, что две различные точки однозначным образом определяют некоторую прямую, переходит теперь в истинное утверждение алгебры, согласно которому две различных пары действительных чисел однозначно определяют некоторое линейное уравнение; геометрическая теорема, согласно которой прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках, переходит в алгебраическую теорему о том, что система, состоящая из линейного и квадратного уравнений с двумя неизвестными, имеет самое большее две пары действительных корней, и т.д. Короче говоря, непротиворечивость евклидовских постулатов обосновывается тем обстоятельством, что они выполняются на некоторой алгебраической модели.

В некоторых областях математики, для которых существенную роль играют различные допущения о бесконечных совокупностях, были обнаружены весьма серьезные противоречия (именуемые обычно «антиномиями»). В частности, они были обнаружены в построенной Георгом Кантором в конце XIX в. теории бесконечных множеств (подробнее см. Чарльз Петцольд. Читаем Тьюринга, глава 2. Иррациональные и трансцендентные числа).

Бертран Рассел построил противоречие, оставаясь исключительно в рамках элементарной логики, — противоречие, в точности подобное тому, что было обнаружено первоначально в канторовской теории бесконечных классов (множеств). Антиномию Рассела можно описать следующим образом. Будем различать классы в зависимости от того, являются ли они своими собственными элементами или нет. Назовем класс «нормальным» в том и только в том случае, когда он не содержит самого себя в качестве элемента; в противном же случае будем называть класс «ненормальным». Примером нормального класса может служить класс всех математиков — ведь сам такой класс не является, очевидно, математиком и не является потому своим собственным элементом. Примером ненормального класса является класс всех мыслимых вещей; сам этот класс является, очевидно, «мыслимой вещью», а тем самым — и своим собственным элементом.

Определим теперь класс N — класс всех нормальных классов. Является ли N нормальным классом? Если N нормален, то он является своим собственным элементом (ведь, по определению, N содержит все нормальные классы). Но в таком случае N ненормален, так как в силу данного выше определения класс, содержащий самого себя в качестве элемента, является ненормальным. С другой стороны, если N — ненормальный класс, то он (в силу определения понятия ненормальности) является своим собственным элементом; но в таком случае N нормален, так как выше определено, что элементами N являются лишь нормальные классы. Короче говоря, N нормален тогда и только тогда, когда N ненормален. Отсюда следует, что утверждение «N — нормальный класс» является в одно и то же время истинным и ложным.


Каталог: wp-content -> uploads -> 2015
2015 -> Социальная философия
2015 -> Курсовая работа на тему: Наши эмоции друзья или враги? Их роль в конфликтоной ситуации
2015 -> Медиалогия как интегрированная наука информационной эпохи и ее роль в модернизации России Ключевые слова
2015 -> -
2015 -> Вопросы для подготовки к вступительному экзамену в аспирантуру по «Философии»
2015 -> Никколо Макиавелли
2015 -> Астрономия и современная картина мира
2015 -> Методы социологического исследования


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница