Энциклопедия в четырех томах научно-редакционный совет



страница86/393
Дата11.03.2018
Размер9.68 Mb.
1   ...   82   83   84   85   86   87   88   89   ...   393
ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА— первоначально логика интуиционистской математики, получившая впоследствии более широкое применение. Неформально развивалась Л. Брауэром с 1907 г., первую интерпретацию, независимую от интуиционистской идеологии, дал А. Н. Колмогоров, первые формализации построили В. Гливенко и А. Гейтинг.

Язык интуиционистской логики совпадает с языком классической логики. Сохраняются и правила естественного вывода для всех связок, кроме отрицания. Для отрицания правило снятия двойного отрицания ослабляется до правила «Из лжи следует все, что угодно». В результате ослабляются возможности косвенного вывода — косвенно можно опровергать (по правилу reductio ad abswdum), но, вообще говоря, нельзя доказывать положительные суждения от противного.

В интуиционистской логике все связки независимы. Более того, для доказательства утверждения А достаточно пользоваться лишь формулами, не содержащими связок, отсутствующих в Л. В интуиционистской логике нет стандартных (нормальных) форм, аналогичных классическим. Как правило, преобразования, связанные с законами формулировки отрицаний и приведения к предваренной форме, действуют лишь в одну сторону. Так, напр., верно ~\A\/~\B=^~l(A&B), a ~}(А&В) => ~tA\/~[B выполнено не всегда. Сильный исключенного третьего закон (tertium non datur) отвергается, но его слабая форма «А и его отрицание не могут быть одновременно ложны» ~\~l(A\'~lA), сохраняется. Поэтому неправильно трактовать интуиционистскую логику как вводящую дополнительные истинностные значения, она скорее отвергает саму концепцию логических значений.

Интуиционистская логика обладает рядом выдающихся свойств в классе неклассических логик. Для нее выполнены теорема Крейга об интерполяции: «Если выводимой => С, то можно построить формулу В, содержащую лишь термины, входящие и в Л, и в С, такую, что выводимы А =» В, В => С» и теорема Бета об определимости: «Если в сигнатуре σ выделена подсигнатура Оу, и термин Т не принадлежит Од, но сохраняет одно и то же значение для всех моделей теории Th, в которых совпадают значения терминов из ση, το Τ определим через σο в теории Th.»

Эти две теоремы сохраняются лишь для малого числа неклассических логик. Более распространенным свойством является нормализуемость выводов, позволяющая в принципе устранить леммы из доказательств. Оно также выполнено для интуиционистской логики.

Выполнено для нее и свойство корректности относительно V и Э: если доказано А\/В, то доказано либо А, либо В; если доказано ЗхА(х), то для некоторого t доказано А(\). Данным свойством классическая логика не обладает. Интуиционистская логика — единственная логика среди континуума логик с тем же языком, что и классическая, для которой выполнены все эти свойства.

Таким образом, она может служить основой для содержательных математических теорий, поскольку в ней интуитивная определимость совпадает с формальной. Хотя множества теорем и доказательств интуиционистской логики по объему уже соответствующих множеств классичес-



==138


ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА


кой, последняя вкладывается в интуиционистскую. Первьм такое погружение осуществил Гливенко. Таким образом, выразительные возможности интуиционистской логики сильнее классической. В свою очередь, К. Гёдель показал, что интуиционистская логика вкладывается в модальную логику S4. При этом погружении связки &, V, 3 остаются без изменения, а на элементарные формулы и на результаты применения остальных связок навешивается модальность.

Интуиционистская логика не может быть описана никакой конечной системой логических значений, и, более того, для нее неестественно описание с помощью таблиц истинности (хотя счетнозначные таблицы истинности для нее существуют). Но она имеет несколько математических интерпретаций. Исторически первой была интерпретация А. Тарского. В ней значениями истинности для предикатов являются открытые подмножества топологического пространства. Значения &, V, 3 определяются булевым образом. Значение ~\А есть внутренность дополнения значения А. Это вызвано тем, что дополнение открытого множества часто не является открытым. Аналогично определяются значения А => В и Vx4(x). Напр., несправедливость Av~\A можно продемонстрировать следующим образом: объединение открытого единичного круга и внутренности его дополнения дает не всю плоскость, а плоскость без единичной окружности.

Следующей интерпретацией была алгебраическая модель — алгебры Линденбаума-Тарского для интуиционистских теорий. Их называют псевдобулевыми алгебрами. Эти алгебры впервые были созданы для данной цели, но оказались распространенной и широко применимой структурой.

Параллельно с этим развивалась линия, ведущая начало от брауэровского содержательного смысла интуиционистской логики. Формулы истолковывались как задачи, логические связки — как преобразования задач, аксиомы — как задачи, для которых решения считаются известными, а правила вывода — как преобразования решений задач. Данные идеи систематизировал А. Н. Колмогоров. Каждой формуле А сопоставляется множество ее реализации ®. Каждая реализация считается решением задачи, соответствующей А. Реализации элементарных формул задаются по определению. ЩА&В) = χ <ê>B, где ®(А&В) это пара реализации <®Л®5>; B, где ®(А\/В)— реализация А или В с указанием, какая из подзадач решена; ®"1Л = 0 «=> ®Л = 0, где ®~1Л — стандартный элемент. например О, при условии, что задача А неразрешима; ®ggu®^(a), где ®ЗхД(х) — это пара из значения xq и решения А(хц). Реализациями АВ являются эффективные функционалы из ®Д в <еВ. Реализациями VxA(x) являются эффективные функционалы, перерабатывающие каждое α е U в реализацию А(а).

В данном определении остается не уточненным понятие эффективного функционала. Оно может уточняться по-разному, в частности, если взять в качестве эффективных функционалов все классические функции, то лошка превращается в классическую. С. К. Клинч построил первый точный вариант реализуемости, взяв в качестве эффективных операторов алгоритмы и кодируя программы алгоритмов натуральными числами, обходя таким образом сложности с операторами высших типов (клиниевская реализуемость). Он показал, что из доказательства в интуиционистской арифметике извлекается клиниевская реализация доказанной теоремы, и, таким образом, если мы доказали ЗхА(х), то имеется такое п, что доказано А[п). Это точно обосновало тезис Брауэра о том, что
интуиционистские доказательства дают, в отличие от классических, построения.

Еще одна семантика интуиционистской логики берет начало от Бета и развита Крипке. Это — один из видов моделей Крипке. Множество миров — частично-упорядоченное множество (достаточно рассматривать дерево), истинность элементарных формул сохраняется при подъеме, универсумы не уменьшаются при подъеме, значения &, V, 3 определяются локально, w^A^B<='>Vv>·w(v^=A=·>v^=:B), w 1= ~t4 <=» Vv > w (-lv 1= A), w 1= Vx A(x) <р·> Vv > w (Va e U, v f= A(a)), где v и w— это «переменные по мирам». Данные пункты практически повторяют на семантическом уровне гёделево погружение интуиционистской логики в S4. Модели Крипке изоморфны алгебраическим и топологическим моделям (порядок определяет псевдобулеву алгебру верхних отрезков множества миров и топологию, в которой окрестностями служат верхние отрезки).

Уникальным для неклассических логик является наличие у интуиционистской логики двух разнородных и несводимых друг к другу классов семантик: реализуемостей и моделей Крипке. Аналогия между доказательствами в интуиционистской логике и построениями усилена Н. В. Карри в его «Комбинаторной логике» (Combinatory Logic, 1968). Замкнутые типизированные выражения в комбинаторной логике изоморфны выводам в гильбертовской формулировке импликативного фрагмента интуиционистской логики. Замкнутые типизированные λ-термы изоморфны выводам в импликативном фрагменте естественного вывода. Изоморфизм между выводами и λ-термами пытались расширить на всю интуиционистскую логику, обобщая λ-исчисление. Но на этом пути стоит препятствие, указанное еще Брауэром и явно выделенное Н. А. Шаниным. Выводы в интуиционистской логике соединяют построения и их обоснования. В частности, построения, проделанные при выводе ~\А, нельзя вычислять, поскольку они приведут к ошибке. Но подобным же действием могут обладать и другие импликации, в частности, закон транзитивности Улуг (А(х, у) &А(у, г) =^А(х, г). Здесь может привести к нежелательным последствиям вычисление у. Такие объекты, которые нельзя или не нужно вычислять в программе, но нужно рассматривать для ее обоснования, ввел Г. С. Цейтин и назвал «призраками». Н. А. Шанин рассмотрел алгоритм конструктивной расшифровки, разбивающий формулу на задачу и обоснование решения, причем вторая часть могла доказываться классически. Его решение имеет место для рекурсивной реализуемости в теории, пополненной принципом Маркова: Vx(A(x) V ~1А(х)) & ~i~\3xA(x) => ΞχΑ(χ).

Содержательный смысл данного принципа раскрывается изречением «Ищите и обрящете»: если известны критерии проверки правильности решения и доказано его существование, то его может найти машина полным перебором. H.H. Непейвода дал алгоритм классификации объектов внутри произвольного вывода в интуиционистской логике, отделяющий действующие объекты и формулы от бездействующих, порождающих лишь обоснования и призраки.

Интуиционистскую логику пытались варьировать многими способами. Первой вариацией была минимальная логика Иогансона, получающаяся отбрасыванием ex falso sequitur quodlibet. Как оказалось, в прикладных теориях интуиционистское отрицание тем не менее моделируется (напр., в любой теории, содержащей натуральные числа, как А => 0 = 1). Но минимальная лошка, как и интерпретация Колмогорова, высветила аномальный статус отрицания в интуиционистской ло-



==139


ИНТУИЦИЯ


гаке. Это — единственная связка, не требующая никакого построения.

В связи с этим Грис предложил симметрическую интуиционистскую логику, в которой истина и ложь определяются одновременно и равноправно. В симметрической интуиционистской логике сохраняются обычные правила формулировки отрицаний классической логики, и в ее натуральном варианте они даже постулируются в качестве правил вывода. Отрицание в ней обычно обозначается и называется «сильным отрицанием», или «конструктивным опровержением». Оно интерпретируется как задача на построение контрпримера к А. Симметрическая интуиционистская логика детально исследована в монографии И. Д. Заславского.

Ю. М. Медведев предложил рассматривать логику финитных задач и заметил, что, если функционалы всюду определены, то формула (~}АBvC)((~lA => В)\/(~лА => Q) реализуема (реализация ~ТА стандартна, и ее можно подставить в функционал, чтобы выявить единственного кандидата на решение среди В, С). Вслед за этим начали рассматриваться многочисленные суперинтуиционистские логики, получающиеся расширением интуиционистской логики некоторыми схемами аксиом. Почти все они либо влекут закон исключенного третьего в прикладных теориях, либо не удовлетворяют теореме Крейга об интерполяции и теореме Бета. Так что интуиционистская логика занимает уникальное место в классе неклассических логик, не только как старейшая из них, но и как концептуально целостная система.

Лит.: Brouwer L. E. J. Over de grondslagen der wiskunde (Об основаниях знания). Amst.—Lpz., 1907; Brouwer L. E. J. De onbetrouwbaarheid der logische principes (О недостоверности логических принципов). — Tijdsehz voor Wijsbegeerte, v. 2, 1908; Kolmogorqfr A. Zur Deutung der intuitionistischen Logik. — «Math. Zeitschrift», v. 35, 1932 (рус. пер.: К толкованию интуиционистской логики. — В кн.: Колмогоров А. Н. Избр. тр.. Математика и механика. М., 1985); HeytingA. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. — Sitz. Der Preus. Akad., Phys.-mathematische Klasse. B., 1930; Tarski A. Der Aussagenkalkul und die Topologie.— «Fundamenta Mathematicae», v. 31, 1938; Curry H. B. Combinatory Logic, v. 2. N. У, 1968; Шанин H. А. О конструктивном понимании математических суждений.— В кн.: Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 52, 1958; Непейвода ff. H. 0 построении правильных программ. — «Вопросы кибернетики», т. 46,1978, с. 88—122.

H. H. Непейвода

ИНТУИЦИЯ (лат. intuitio — созерцание, непосредственное восприятие, пристальное всматривание) — в широком (обыденном) понимании способность прямого, ничем не опосредованного постижения истины. В философии трактовка интуиции отличается смысловым и содержательным многообразием: от безотчетного озарения — до особой и даже высшей формы знания. Проблема интуиции в истории философии не имела самодостаточного значения и рассматривалась в контексте поиска средств и путей достоверного знания. Своими корнями проблема интуиции уходит в античную философию, осуществлявшую эти поиски в двух основных направлениях — сенсуалистическом и рационалистическом, соответственно которым впоследствии сформировались понятия «чувственной» и «интеллектуальной» интуиции. Платон говорит о духовном созерцании «эйдосов». Согласно Аристотелю, высшие понятия усматриваются непосредственно (Никомахова Этика, VI, 9 1142 а; VI 1143 b). Интуиция как духовное узрение сверхчувственного представлена в учении Плотина, Дионисия Ареопагита, Николая Кузанского.

Весьма сдержанное отношение к интуиции со стороны схоластов и философов средневековья вообще (Дунс Скот призна

вал за интуицией лишь способность констатации факта бытия объекта; Оккам говорил об интуиции как о «смутном» представлении) резко меняется в 17 в. в связи с укреплением позиций классического рационализма и широкой экспансией математики и ее методов в философию и науку Важнейшим условием истинности знания и познания основных аксиом науки Декарт считал фактор непосредственной достоверности, характерный для интуиции как формы «ясного и внимательного ума», порожденной «одним лишь светом разума» (Избр. произвел. М., 1950, с. 86). Подчеркивая особую роль дедукции в познании, Декарт усматривал преимущество интуиции в ее «простоте» и надежности. Статус интеллектуальной (рациональной) интуиции как высшего вида знания отстаивали с теми или иными оговорками Спиноза, Локк, Лейбниц, Мальбранш и др. В отличие от Декарта, Лейбниц не считал ясность и простоту интуиции гарантией безусловной истинности знания, а Локк ограничивал компетенцию интеллектуальной интуиции констатацией связей и отношений между идеями. Различного рода коррекции интеллектуальная интуиция подверглась в дальнейшем со стороны Фихте, Шеллинга (интуиция как непосредственное тождество субъекта-объекта), Новалиса (интуиция как исток жизни). Ценность интуиции подчеркивалась Шефтсбери, Гете, Якоби, Гаманом. Кант называл интуицию схематическим, или символическим, способом представления, подчеркивая, что мышление дискурсивно, а не интуитивно.

Рационалистическая концепция интуитивного знания оказалась, как это ни парадоксально, наиболее теоретически и логически уязвимой и именно в этом качестве интуиция приобрела действительно проблемный характер. Непосредственность, безотчетность и субъективность, как специфические свойства (особенности) интуиции вступали в явное противоречие с установленными тем же рационализмом критериями достоверности научного и философского знаний как знаний понятийных и логически корректных. Созерцание (die Anschauung) — так Кант именовал обычно интуицию — лишь посредствующее звено между предметом мысли и самим мышлением, субъективное «представление о явлении», но не знание в строго научном понимании этого слова. Не отрицая важной роли непосредственного созерцания как возможной предпосылки знания и указывая одновременно на его субъективность и статичность, Гегель отверг мысль о возможности непосредственного знания. Непосредственность — лишь момент опосредствования как механизма формирования знания. Вслед за Кантом, полагавшим, что способностью «интеллектуального созерцания» может обладать лишь «первосущество», Гегель в конечном счете также отказывает интеллектуальной интуиции в праве именоваться формой философского знания.

Как «чистое созерцание» интуиция утрачивает чисто эпистемологический статус и приобретает, согласно Канту, Фихте и Шеллингу, статус эстетический. Гегель, критикуя абсолютизацию интуиции как непосредственного знания, отождествляет «чистое созерцание» и «чистое мышление» {Гегель. Соч., т.1.М.-Л.,1929,с.П7).

Элементы скептицизма в отношении рациональной интерпретации интуиции обнаружились уже в учениях Гамана и Якоби. Однако в полной мере эта тенденция проявилась в философии А. Шопенгауэра. Не отрицая позитивной ценности интеллекта (понятийного мышления), Шопенгауэр не только выводит из сферы его действия принципиально недескурсивный, как он считает, рассудок, но и низводит интеллект до роли оформителя приобретенного не им знания. Знание — результат «незаинтересованного» созерцания, гарантирующе-




К оглавлению

==140




ИНФОРМАЦИИ ТЕОРИЯ


го объективность и наглядность истины. Интуиция вновь обретает статус истинного знания, но уже не как «понимания ясного и внимательного ума», а как продукта воли и чувств (Шопенгауэр А. Мир как воля и представление, кн. I, § 15).

Новый качественный шаг в осмыслении интуиции и ее сущностной интерпретации был сделан на рубеже 19 и 20 вв. В философии Дильтея интуиция трактуется как переживание личности, а в интуитивизме, возникшем в качестве ответной реакции на сциентизм и интеллектуализм, интуиция оказывается средоточием знания. Интуитивисты, стремясь преодолеть опасный культ «научного знания», который отличается, согласно А. Бергсону, Н. Бердяеву, узким прагматизмом и откровенной корыстью, выдвигают на первый план интуицию. Свободная от подобных пороков интуиция представляет собой надежное средство «вчувствования» (А. Бергсон) в истину, берет на себя функцию «пророческого вещания» (Н. О. Лосский). Бергсон вполне лояльно относится к интеллекту (понятийному мышлению), указывая, однако, на ограниченность его функциональных возможностей и сферы применения: интеллект выявляет и упорядочивает лишь связи и отношения между «мертвыми» вещами; жизнь же постигается интуицией. Согласно Бергсону, интуиция («симпатия») предстает в качестве условия спонтанного творческого порыва личности, реализующего себя прежде всего в искусстве. Человек, считает он, настолько художественно одарен, насколько он свободен от воздействий «разлагающей силы разума» и, напротив, утонченность (элитарность) и «чистота» его интуитивных прозрений, концентрирующихся в глубинах духа, становится стимулом эстетических восприятий и переживаний действительности.

Бердяев ставит своей целью не только дезавуировать гносеологический статус интуиции, но и дискредитировать всю традиционную гносеологию, представляющую собой, по его убеждению, орудие насилия рефлектирующего субъекта над объектом. Чем активнее разум воздействует на объект, чем длиннее и изощреннее цепь логических умозаключений, тем больше шансов окончательно потерять истину. Последняя «стяжается» исключительно интуитивным путем. Интуиция — это инструмент «непосредственного касания» и «первичного переживания» бытия. «Бытием», однако, Бердяев именует не доступный научному и обыденному знанию чувственно-материальный («болезненный» и «греховный») мир, но мир «невидимый», мир «иной». Таким образом, из формы (или даже предпосылки) знания интуиция трансформируется в компонент религиозной веры.

Иную интерпретацию интуиции предлагает Н. О. Лосский. Превознося мистическую интуицию, он не считает ее единственным средством постижения истины. С интуицией связана высшая способность духа, цель которой — приобщение человека к «сверхкосмическому металогическому принципу» — божественному «Ничто». Помимо мистической интуиции, он вычленяет чувственную и интеллектуальную интуицию, сферы приложения которых — природно-материальные объекты и идеальные связи и отношения между ними.

Под интуицией Лосский понимает способность «непосредственного созерцания предметов в подлиннике», т. е. таковыми, каковы они сами по себе, без каких бы то ни было привнесенных «субъективных примесей» и оценок. В интуиции объект свидетельствует о себе и тем самым гарантирует истинность представляемого о себе знания. Интуиция трактуется Лосским весьма широко. Особыми разновидностями интуиции он считает и сам разум, и все формы рассудочного мышления, и даже опыт. Интуитивизм Лосского представля

ет собой лишь звено в развиваемой им теории имманентизма, призванной ликвидировать пропасть между объектом и субъектом, наукой и метафизикой.

С. Л. Франк рассматривает интуицию как первичную сверхрациональную ступень постижения «целостного бытия» в его металогической цельности. В современной философии науки интуиции отводится важное место в структуре и процедурах познания (А. Пуанкаре, Г. Вейлъ и др.). В феноменологии Гуссерля эйдетическая интуиция, достигаемая после эпохе, — основное средство познания.

Современные научные представления об интуиции не опровергают возможности мгновенного «схватывания» (термин Канта) истины, но определяют интуицию не как трансцендентное озарение, а исключительно как важный (но не необходимый) момент сложного и неосознаваемого по своему механизму взаимодействия чувств, разума и опыта. Непосредственность интуиции условна. Интуиция является не начальным этапом знания, а переходным звеном от одного его уровня к другому. Будучи субъективной по механизму формирования, интуиция трансформируется в знание лишь при условии включения в рационально осмысленную и понятийно эксплицированную систему.

В математике и логике понятие интуиции стало основой формирования особого направления — интуиционизма.

Лит.: Бергсон А. Философская интуиция. — В кн.: Новые идеи в философии, сб. 1.СП6., 1912; Асмус В. Φ. Проблема интуиции в философии и математике. М., 1963; Фейнберг Е. Л. Две культуры. Интуиция и логика в искусстве и в науке. М., 1992; Катай Ж. Внутренний опыт. СПб., 1997; Ästhetik und Naturerfahrung, hrsg. I. Zimmermann. Stuttg., 1996.

А. А. Новиков


Каталог: sites -> default -> files
files -> Валявский Андрей Как понять ребенка
files -> Народная художественная культура. Профиль Теория и история народной художественной культуры
files -> Отчет о научно-исследовательской работе за 2014 год ростов-на-Дону 2014
files -> Учебно-методический комплекс дисциплины философия для образовательной программы по направлениям юридического факультета: Курс 1
files -> Цветков Андрей Владимирович, кандидат психологических наук, доцент кафедры клинической психологии программа
files -> Программа итогового (государственного) комплексного междисциплинарного экзамена по направлению 521000 (030300. 62) «Психология»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   82   83   84   85   86   87   88   89   ...   393


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница