Энциклопедия в четырех томах научно-редакционный совет


Соч.: Oeuvres complètes, 14 vol. Lyon, 2 ed., 1924—28; в рус. пер.: Петербургские письма. Спб., 1995; Рассуждения о Франции. М., 1997. Лит



страница332/393
Дата11.03.2018
Размер9.68 Mb.
1   ...   328   329   330   331   332   333   334   335   ...   393
Соч.: Oeuvres complètes, 14 vol. Lyon, 2 ed., 1924—28; в рус. пер.: Петербургские письма. Спб., 1995; Рассуждения о Франции. М., 1997. Лит.: Bayle F. Les idées politiques de Joseph de Maistre. Lyon, 1945; Cordelier J.-P. La théorie constitutionnelle de Joseph de Maistre. P., 1965.

M M. Федорова



МЕТАЛОГИКА — раздел современной логики, в котором исследуются способы построения различных логических теорий, свойства, присущие им, а также отношения, существующие между ними. Зачатки металогической проблематики можно обнаружить уже в «Аналитиках» Аристотеля, который пытался обосновать синтаксическими методами полноту своей ассерторической силлогистики. Однако в подлинном смысле металогика стала активно развиваться в связи с построением разнообразных логических систем и их использованием в обосновании математики (в метаматематике).


==538


МЕТАЛОГИКА


Обычно под логикой понимается множество предложений, связанных между собой содержательным (семантическим) отношением логического следования. Поэтому первый вопрос, который в этой связи встает, есть вопрос о формализации этого отношения, т. е. о возможности построения логической теории, в которой это отношение задавалось бы некоторым формальным его аналогом. В составе теории в качестве такого формального аналога выступает отношение выводимости.

В настоящее время логические теории строятся в нескольких основных формах — в форме аксиоматического исчисления, натурального исчисления или в форме исчисления секвенций. Для многих теорий имеются их дедуктивно-эквивалентные представления во всех указанных формах. Тем не менее для целого ряда логик вопрос о той или иной их формализации остается открытым и составляет содержание соответствующих металогических исследований.

В металогике каждую логическую теорию испытывают на ее семантическую и синтаксическую непротиворечивость. Логическая теория считается семантически непротиворечивой, если каждое, доказуемое в ней утверждение, является общезначимым в данной логике, т. е. является ее законом. С другой стороны, логическая теория считается синтаксически непротиворечивой, если в ней нельзя доказать некоторое утверждение А и его отрицание. Последнее понятие наиболее употребимо, хотя для некоторых логических теорий используются и другие понятия синтаксической непротиворечивости. В металогике доказывается метаутверждение, согласно которому теория семантически непротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет модель (см. Моделей теория}. С этой точки зрения теория не имеющая моделей, ничего не описывает, а потому такого рода теория не представляет никакого научного интереса. Это же относится и к синтаксически противоречивым теориям, так как в последних доказуемым становится любое утверждение. Ясно, что если при построении теории мы преследуем цель установить, что имеет место в мире, т. е. пытаемся отделить сущее от несущего, то противоречивая теория как раз эту функцию и не может выполнить, а потому противоречивая теория не имеет научной ценности.

В настоящее время метатеоремы о непротиворечивости доказаны для целого ряда логических теорий. В частности, такие теоремы доказаны относительно первопорядкового исчисления предикатов. Доказательство же относительно более сильных теорий ограничено тем результатом, согласно которому в таких доказательствах необходимо использовать более мощные дедуктивные средства, чем те средства, которые формализуются в самой теории. Поэтому для многих теорий часто доказываются метатеоремы об их относительной непротиворечивости: некоторая теория Т. считается непротиворечивой относительно теории Т-, если допущение противоречивости Т означает, что и теория Т, тоже противоречива.

Другой важной парой понятий металогики являются понятия синтаксической и семантической полноты теорий. Логическая теория считается семантически полной, если каждое предложение, сформулированное на ее языке и являющееся законом данной логики, доказуемо в ней. Выполнимость для некоторой логической теории этого условия, совместно с выполнением условия о семантической ее непротиворечивости, означает, что данная логическая теория адекватно формализует соответствующую логику В этом случае говорят, что семантика теории адекватна ее синтаксису
Теория синтаксически полна (максимальна), если никакое предложение, сформулированное на ее языке и недоказуемое в ней, не может быть без противоречия включено в состав теории. Синтаксически полные теории, т. о., как бы «перенасыщены» и не допускают присоединения к себе в качестве дедуктивных средств никаких новых утверждений, ибо такое присоединение приводит теорию к информационному «взрыву» — в ней становится доказуемо любое утверждение. Синтаксически и семантически полной теорией является, напр., классическое исчисление высказываний. Семантически полно классическое исчисление предикатов первого порядка, однако оно не обладает свойством максимальности, т. е. допускает присоединение к себе новых утверждений в качестве аксиом. Немаксимальное классическое первопорядковое исчисление предикатов может быть пополнено специальными аксиомами т. о., что некоторая нелогическая теория окажется синтаксически полной. Такой теорией является, напр., теория частичного порядка. Однако исчисление предикатов второго порядка является не только синтаксически неполной системой, но и семантически неполной. Иначе говоря, класс логических законов классической второпорядковой логики неформализуем. Причем эта неформализуемость, в силу результата Гёделя о неполноте формальной арифметики, носит принципиальный характер — данная теория не только семантически неполна, но ее и принципиально нельзя сделать полной.

В металогике рассматривается также понятие категоричности теории. Теория считается категоричной, если все ее интерпретации (модели) изоморфны. Напр., категорична классическая логика высказываний. Однако категоричность теорий является, скорее, исключением, чем правилом. Как показали Лёвенгейм и Сколем, первопорядковое исчисление предикатов допускает модели произвольной мощности. Некатегоричность теории говорит о неоднозначности описания в ее рамках класса интерпретаций.

Еще одним важным свойством логических теорий является свойство их разрешимости. Теория считается разрешимой, если существует некоторая алгоритмическая процедура, которая дает ответ на вопрос, является некоторое утверждение теоремой теории или нет. Свойством разрешимости обладает классическое исчисление высказываний. В качестве разрешающей процедуры здесь применяется процедура построения таблиц истинности. Свойством разрешимости обладают и некоторые простые математические теории. Однако, как доказал А. Чёрч, уж® классическое первопорядковое исчисление предикатов не является разрешимой теорией.

Отметим еще один важный ограничительный результат металогики, полученный А. Тарским. Для достаточно широкого класса теорий, в том числе логических, им была доказана метатеорема о неопределимости предиката «истина» логическими средствами, формализуемыми в данных теориях. Этот результат аналогичен результату К. Гёделя о недоказуемости утверждения о непротиворечивости формальной арифметики теми средствами, которые формализуются этой теорией.

Еще одним часто проверяемьм свойством логических теорий является свойство независимости друг от друга их дедуктивных принципов. Значение этих исследований в металогике можно уяснить из аналогии с проверкой независимости 5-ого постулата в геометрии Евклида. Как известно, эти исследования привели к созданию неевклидовых геометрий.

В общем случае построение доказательств является творческим процессом. Однако в последнее время в связи с исследо-




==539



Каталог: sites -> default -> files
files -> Валявский Андрей Как понять ребенка
files -> Народная художественная культура. Профиль Теория и история народной художественной культуры
files -> Отчет о научно-исследовательской работе за 2014 год ростов-на-Дону 2014
files -> Учебно-методический комплекс дисциплины философия для образовательной программы по направлениям юридического факультета: Курс 1
files -> Цветков Андрей Владимирович, кандидат психологических наук, доцент кафедры клинической психологии программа
files -> Программа итогового (государственного) комплексного междисциплинарного экзамена по направлению 521000 (030300. 62) «Психология»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   328   329   330   331   332   333   334   335   ...   393


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница