Энциклопедия в четырех томах научно-редакционный совет



страница260/393
Дата11.03.2018
Размер9.68 Mb.
1   ...   256   257   258   259   260   261   262   263   ...   393
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ


значений правильно построенных выражений ее языка (т.е. термов и формул) в рамках выбранных модели I> и распределения φ значений предметных переменных.

Значениями термов в при φ являются объекты из U. Значения предметных констант и переменных уже определены посредством функций I и φ соответственно. Значением сложного терма 0(t|, t;,..., t„) является тот объект из U, который представляет собой результат применения операции 1(Ф) к п-ке значений (в этой же модели и при этом же распределении) термов t,, t;,..., ι„. Пусть, напр., в качестве универсума выбрано множество натуральных чисел, предметнофункциональная константа f проинтерпретирована как операция сложения, а предметные константы а и b как числа 2 и 3. Тогда значением терма f(a,b) в соответствующей модели будет результат сложения 2 и 3, т. е. число 5. Формулы языка логики предикатов принимают в модели при распределении φ ровно одно из двух значений — И или Л. Атомарная формула вида П(1), t^,..., t„) принимает — при трактовке предикаторных констант как знаков экстенсионально понимаемых свойств и отношений — значение И, если и только если п-ка значений (в данной модели и при данном распределении φ) термов 11, t,,..., t„ действительно находится в отношении 1(П), когда n > 1, или обладает свойством ЦП), когда n = 1. Если же предикаторные константы интерпретируются как знаки предметно-истинностных функций, то П(1|, t;,..., 1,,) примет значение И в том и только в том случае, когда результат применения подобной функции ЦП) к указанной п-ке объектов даст И. В упомянутой в предыдущем примере конкретной модели и при интерпретации предикаторной константы R как отношения «меньше» формула R(a,b) примет значение И, т. к. 2 действительно меньше 3, а формула R(b,a) — значение Л, поскольку 3 не находится в указанном отношении к 2. Условия истинности и ложности формул, главными знаками которых являются пропозициональные связки, сохраняются (с необходимой привязкой к и φ) такими же, как в классической логике высказываний.

Семантические определения для кванторных формул таковы: VaA (соответственно 5аА) истинна в модели I> при распределении φ, если и только если ее подкванторная часть А принимает значение И в той же модели при любом (при некотором) распределении ψ значений предметных переменных, отличающемся от φ не более, чем значением а. Другими словами: формула VaA истинна в том случае, когда А оказывается истинной, какой бы объект из U мы ни приписали в качестве значения переменной a (сохранив при этом значения остальных переменных), а ЭаА истинна, если в универсуме найдется такой объект, что при сопоставлении его в качестве значения переменной a формула А оказывается истинной.

Завершающим этапом в построении логики предикатов является введение понятий закона этой теории (общезначимой формулы) и различных логических отношений Между формулами. Наиболее важным из них является отношение логического следования (см. Следование логическое), поскольку его наличие составляет критерий корректности дедуктивных умозаключений.

Говорят, что формула значима (истинна) в модели при некотором распределении φ значений предметных переменных, если и только если данная формула принимает значение И в этой модели при этом распределении. Формулу называют значимой (истинной) в модели I>, если она зна

чима в ней при любом распределении элементов U предметным переменным. Формула называется общезначимой на множестве U (U-обшезначимой), если она значима в каждой модели с универсумом U. Формула называется универсально общезначимой (или просто — общезначимой), если она общезначима на любом (непустом) множестве. Факт общезначимости формулы А обычно выражается в метаязыке следующей записью: |=А. Общезначимые формулы — это законы логики предикатов, поскольку они истинны при любых допустимых в данной теории интерпретациях нелогических символов.

Конкретизация понятия логического следования в логике предикатов осуществляется следующим образом: из множества формул Г логически следует формула В (Г |= В), если и только если в любой модели и при любом распределении значений предметных переменных, при которых истинна каждая формула из Г, формула В также примет значение «истина».

В сформулированном выше семантическом варианте правила установления значений формул имеют отчетливо выраженную объектную направленность: они предполагают, что при решении вопроса об истинности или ложности происходит соотнесение выражений языка с нелингвистическими сущностями (индивидами, свойствами, отношениями, функциями, связанными с некоторой предметной областью). Альтернативой объектной интерпретации формул языка логики предикатов является т. н. подстановочная интерпретация. Смысл ее состоит в формулировке таких критериев истинности и ложности предложений языка, которые бы не предполагали соотнесения последних с внеязыковой действительностью, а опирались бы только на информацию о значениях элементарных, атомарных предложений (в подобном стиле обычно строится логика высказываний, где при установлении значений формул необходимо лишь, чтобы каким-то — неважно каким — образом было осуществлено распределение значений для пропозициональных переменных). Т. о., при подстановочной интерпретации мы, скорее, имеем дело не с обычной трактовкой истины как соответствия предложений действительности, а с тем, что иногда называют «истинностью в теории», где теория понимается, по существу, в синтаксическом аспекте — как дедуктивно замкнутое множество предложений языка.

Технически «подстановочная» семантика логики предикатов может быть сформулирована следующим образом. Значения здесь естественно сопоставлять лишь замкнутым формулам, поскольку именно эти формулы представляют собой предложения теории и могут оцениваться как истинные или ложные в ней. Задается функция оценки V, отображающая множество замкнутых формул вида Π(ΐ ρ t^, ...,t„) на множество {И,Л; (содержательно — V распределяет значения для элементарных предложений языка теории). Правила установления значений замкнутых формул видов -А, АлВ,АуВ,АзВ — стандартные. Формула VaA (соответственно ΞαΑ) примет значение И при оценке V, если'и только если данное значение при V имеет любой (соответственно по крайней мере один) результат подстановки в формулу А замкнутого терма t вместо всех свободных вхождений переменной a (содержательно — общее (частное) предложение истинно в теории, если и только если соответствующее бескванторное утверждение справедливо для любого (хотя бы для одного) сингулярного термина, принадлежащего словарю данной теории). Класс замкнутых формул, принимающих при оценке V значение И, как раз и представляет собой некоторую теорию в описанном выше



==424


ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ


смысле. Можно далее ввести понятия закона логики предикатов (логически истинного предложения теории): |= А тогда и только тогда, когда при любой оценке V (т. е. в любой теории) А принимает значение И.

Множество формул, являющихся законами классической логики предикатов первого порядка, вообще говоря, бесконечно. Среди них — каждый подстановочный случай произвольной тавтологии логики высказываний (т. е. результат замещения в ней пропозициональных переменных формулами языка логики предикатов). Вот некоторые другие наиболее важные типы общезначимых формул. Законы удаления квантора общности и введения квантора существования: VoAsAd), Α(ι)=)3αΑ, гае A(t) — результат правильной подстановки терма t вместо всех свободных вхождений предметной переменной α в формулу А (подобная подстановка называется правильной, когда никакое из заменяемых вхождений α в А не находится в области действия квантора по переменной, входящей в состав терма t). Законы взаимовыразимости кванторов: VotA=-i3a-A, 3ctAs-iVo(-A

(гае = — знак эквиваленции, которую можно ввести посредством определения (А = В) =рс (А э В) л (В => А)). Законы перестановочности кванторов: VaVßA => VßVoA, 3α3βΑ з Ξβ3αΑ, BaVßA э Vß3«A. Законы пронесения и вынесения кванторов: (в формулах последних шести типов переменная α не должна содержаться свободно в формуле А).

Как известно, помимо семантического представления логических теорий имеется другой, синтаксический метод их построения — в виде логических исчислений. Суть этого метода состоит в формулировании точных правил оперирования со знаками (формулами языка), позволяющими без использования каких-либо семантических понятий («интерпретация», «модель», «истина») осуществлять обоснование логических законов и форм корректных рассуждений. При этом в исчислениях постулируется лишь некоторый минимум дедуктивных средств, дающий тем не менее возможность обозреть все бесконечное множество законов и модусов правильных рассуждений соответствующей логической теории.

Существует много различных способов построения логических исчислений (Исчисление секвенций, Натуральный вывод, Аналитические таблицы), в том числе и классического исчисления предикатов первого порядка. Исторически первыми появились аксиоматические исчисления (исчисления гильбертовского типа), в которых, как и при аксиоматическом представлении логики высказываний, статусом аксиом наделяется конечное число общезначимых формул и постулируется некоторый набор правил вывода. Однако в силу сложности формулировок правил подстановки, используемых в этом случае, удобнее строить аксиоматическое исчисление предикатов со схемами аксиом, каждой из которых соответствует бесконечное число аксиом одного и того же типа.


Примером одной из возможных аксиоматизаций логики предикатов может служить следующая: в качестве исходного логического символа алфавита, наряду с пропозициональными связками -ι, λ, ν, з, выбирается лишь квантор V. Постулируется некоторый полный набор схем аксиом классического исчисления высказываний (они задают смысл -ι, л, ν, э). Дополнительно вводятся две схемы аксиом, задающих смысл квантора V: закон удаления квантора УоАэ A(t) и один из законов пронесения квантора Va(A =) В) => (А з VcB) с указанными ранее ограничениями. В исчислении имеется также два правила вывода: А

АэВ.А В
(modus ponens), (генерализация).

VoA


Квантор существования вводится по определению: ЗаА= Qf—iVa-A..

Следующий этап в построении исчисления — введение понятий доказательства и вывода, а также синтаксических аналогов понятия общезначимой формулы и отношения логического следования — понятия теоремы и отношения выводимости.

Доказательством называют непустую конечную последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой исчисления, либо получена из предшествующих формул последовательности по одному из исходных правил вывода. Последняя формула доказательства называется теоремой или доказуемой в исчислении формулой (метаутверждение «А — теорема» принято записывать так: |—А).

Вывод из множества допущений Г отличается от доказательства тем, что в нем разрешено дополнительно использовать формулы из Г. Однако, если ставится задача адекватного воспроизведения отношения логического следования, понятие вывода должно быть дополнено наложением некоторых ограничений на применение правила генерализации (дело в том, что — в отличие от modus ponens — из посылки А данного правила не следует логически его заключение VoA). Указанная проблема может быть решена различными способами, напр., введением понятия вывода с варьируемыми переменными. Довольно естественным представляется другой путь, основанный на понятии зависимости формул вывода от допущений: каждое допущение зависит от самого себя; аксиома не зависит от допущений; результат применения modus ponens зависит от тех допущений, от которых зависит хотя бы одна из посылок правила; при применении генерализации зависимости сохраняются. Теперь необходимые ограничения в определении вывода можно сформулировать следующим образом: формула VoA может быть получена по правилу генерализации из А, зависящего от множества допущений Δ, лишь в том случае, когда <х не имеет свободных вхождений ни в одну формулу из Δ. Если имеется вывод из множества допущений Г, последней формулой которого является формула В, говорят, что В выводима из Г (Г |— В).

Отношение выводимости в логике предикатов обладает одним важным свойством, которое фиксируется в т. н. дедукции теореме: если Г,А |— В, то Г |— А э В. Данное свойство существенно упрощает процедуру построения выводов и может быть использовано в качестве производного правила вывода. Другим подобньм правилом является т. н. правило эквивалентной замены: если |— А = В, то |— Сд s Cg (где Сд — произвольная формула языка логики предикатов, содержащая в своем составе некоторое вхождение формулы A, a Cg — результат замещения выделенного вхождения А в Сд формулой В).



==425


ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ


Правило эквивалентной замены используется, в частности, при осуществлении процедуры приведения формул языка логики предикатов к какому-либо стандартному, каноническому виду. Наиболее известным каноническим типом формул языка логики предикатов являются предваренные нормальные формы. Формула находится в предваренной нормальной форме, если она имеет вид Q^afi^...Q^a^B, где каждое О, есть V или Э, переменные ар ад,..., а,, попарно различны и В не содержит кванторов (т. е. формула начинается кванторной приставкой, после которой следует бескванторная формула). Доказуемо метаутверждение о том, что для любой формулы языка логики предикатов существует логически эквивалентная ей формула в предваренной нормальной форме (при приведении формул к данному каноническому виду используются законы вынесения кванторов, причем иногда более сложные, чем указанные выше).

Разновидностью предваренных являются т. н. сколемовские нормальные формы — замкнутые формулы, в которых всякий квантор существования предшествует в кванторной приставке всякому квантору общности. Для каждой формулы А языка логики предикатов без предметных и предметно-функциональных констант, но с бесконечным числом предикаторных констант произвольной местности существует формула В в сколемовской нормальной форме, равносильная ей по доказуемости (т. е. такая, что |— А, если и только если |— В).

Первопорядковая логика может быть модифицирована за счет расширения выразительных возможностей ее языка.

Наиболее естественным расширением является введение отношения равенства между индивидами (тождества индивидов). Вовлечение этого отношения в сферу логического анализа оправдано тем, что оно не менее фундаментально, чем исследуемые в логике отношения присущности свойства предмету, включения класса в класс и др. Если в алфавит вводятся предметно-функциональные константы, то отношение равенства позволяет удобным образом выражать утверждения о результатах применения соответствующих функций к различным аргументам. Кроме того, использование знака данного отношения (=) обеспечивает более адекватный анализ многих естественно-языковых контекстов, напр. т. н. исключающих высказываний. Так, логическая форма высказывания «Всякий металл, кроме ртути, находится в твердом состоянии» может быть выражена с использованием предикатора равенства формулой Vx ((Р(х) л-ι = а)) з Q(x)) л-. 0(д), где константы а, Р, Q соответствуют дескриптивным терминам «ртуть», «металл», «находится в твердом состоянии».

Классическая логика предикатов с равенством строится следующим образом. Алфавит пополняется выделенной двухместной предикаторной константой равенства =. Появляется новый тип формул: t| = t^, где t, и t^ — термы. В семантике константе = в качестве значения сопоставляется множество всех пар , где u — элемент универсума U (или же предметно-истинностная функция, которая ставит в соответствие значение И только парам одинаковых объектов из U). Формула t, = t^ примет значение И в некоторой модели I> при распределении φ значений предметных переменных, если и только если значения термов t, и {3 в данной модели при данном распределении совпадают. Остальные семантические понятия остаются прежними.

Адекватное аксиоматическое представление логики предикатов с равенством можно получить за счет присоединения дополнительных схем аксиом: схемы рефлексивности равенства Vc((a = α) и схемы замены равного равным


VaVß(a = β э (Α(α) =) Α(β))), где Α(β) — есть результат замены некоторого числа (необязательно всех) свободных вхождений переменной α в А(а) на переменную β, причем заменяемые вхождения не должны находиться в области действия кванторов по β.

Средствами логики предикатов с равенством может быть определен квантор, особенно часто встречающийся в математических контекстах, «существует единственный» (символически — Э!): 3!αΑ(α) =ο^Ξα(Α(α) л Vß(A(ß) э β = α)).

Язык логики предикатов первого порядка является удобным средством для строгого построения на его основе конкретных, прикладных теорий. В этом случае вместо абстрактных предметных, предикаторных и предметно-функциональных констант в алфавит вводятся конкретные термины словаря теории — имена объектов ее предметной области, знаки их свойств и отношений, знаки заданных на данной области предметных функций. Сами прикладные первопорядковые теории (их часто еще называют элементарными) строятся обычно аксиоматически. К логической части (аксиомам и правилам вывода исчисления предикатов) добавляется собственная часть прикладной теории — постулаты, отражающие закономерности ее предметной области.

Простейшими примерами первопорядковых теорий являются т. н. логики отношений: теория отношения эквивалентности (при этом в язык вводится его знак, напр. =, и добавляются аксиомы, указывающие на свойства данного отношения: Υα(α = α) — рефлексивность, VaVß(a = β э β = α) — симметричность, Υανβνγ((α Ξβ&βΞγ)=>α=γ)— транзитивность), теория отношения частичного порядка (вводится символ этого отношения, напр., ^, и собственные аксиомы рефлексивности, транзитивности, а также VaVß ((a ^ β & β < a) э a = β) — антисимметричность) и др.

Наиболее известным примером элементарной теории является система формальной арифметики Пеано. Ее исходные нелогические символы — имя 0, знаки функций ' (прибавления единицы), + (сложения), · (умножения); в алфавите содержится также символ =. Знаки других арифметических объектов, свойств, отношений и функций вводятся посредством определений (напр., l =of0')· Далее к логическим аксиомам добавляются собственно арифметические.

Еще одним побудительным мотивом расширения выразительных возможностей языка логики предикатов является стремление к более адекватному логическому анализу контекстов естественного языка. Так, точное воспроизведение структуры описательных имен предполагает обогащение ее языка операторами дескрипции, ведь в стандартном первопорядковом языке выразим лишь один тип сложных имен — образованных с использованием предметных функторов. Обычно различается два оператора дескрипции — оператор определенной дескрипции ι и оператор неопределенной дескрипции ε. При введении их в язык логики предикатов в нем появляется новые типы сложных термов —ιαΑ («тот самый единственный а, который удовлетворяет условию А») и εαΑ («некий а из числа тех, которые удовлетворяют условию А»), где a — предметная переменная, а А — формула. Поскольку теперь определение терма содержит ссылку на понятие формулы, оба понятия — терма и формулы — вводят совместным индуктивным определением. Логические системы с оператором определенной дескрипции были построены и изучены Б. Расселом, а Д. Гильбертом было сформулировано ε-исчисление — обобщение первопорядковой логики предикатов за счет добавления ε-термов.




==426


ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ


Другое расширение стандартной логики предикатов связано с рассмотрением т. н. обобщенных кванторов (кванторов Генкина). Если в стандартной кванторной приставке любой формулы, находящейся в предваренной нормальной форме, кажл ы il квантор содержится в области действия всех предшествую;пих ему кванторов, то обобщенные кванторы представляiuT собой кванторные комплексы, составляющие которых не обязаны более быть упорядочены отношением строгого линейного порядка. Введение обобщенных кванторов позволяет ci роить адекватные модели достаточно сложных фрагментов естественного языка.

В первопорядковой логике предикатов, как уже говорилось, разрешается квантификация только предметных переменных, т. е. кванторы могут быть соотнесены лишь с предметами, индивидами («всякий предмет», «некоторый предмет»). Для логического анализа контекстов, в которых кванторы соотносятся также со свойствами, отношениями, функциями, необходим переход к логике второго порядка. В алфавите ее языка наряду с предикаторными константами Р", О", R", р|", имеются предикаторные переменные различной местности Р ", Q", R", Pi ",... (в алфавит могут быть введены также и предметно-функциональные переменные/1, g", /ι",/ι",...). В атомарных формулах n(t),t2,...,t„) на месте Π могут использоваться как предикаторные константы, так и предикаторные переменные (аналогично, в сложных термах Ф(1|, t;,...,!,,) в роли Φ может выступать теперь предметно-функциональная переменная). «Кванторные» пункты в определении формулы видоизменяются за счет разрешения использовать в формулах видов VoA и ЗоА на месте α не только предметные, но также предикаторные и предметно-функциональные (если они есть в алфавите) переменные. Средствами языка второпорядковой логики предикатов могут быть воспроизведены логические формы многих высказываний, которые нельзя выразить в первопорядковом языке (напр., «У Марса и Земли есть общие свойства» — ЗР(Р(а) л Р{Ь)), «Марс обладает всеми свойствами, присущими каждой планете» — \/P(^x(S^x) э Р{х)} => Р(а)), где константам a, b и S соответствуют термины «Марс», «Земля», «планета»).

Семантически логика предикатов второго порядка строится по аналогии с первопорядковой. При распределении значений переменных предикаторным и предметно-функциональным переменным приписываются сущности тех же типов, которые сопоставляются в модели соответствующим константам. Правила установления значений термов и формул незначительно адаптируются с учетом синтаксических особенностей второпорядкового языка. Понятие общезначимой формулы — обычное. Синтаксическое построение логики предикатов второго порядка сталкивается с фундаментальной проблемой метатеоретического характера — класс общезначимых формул второпорядковой логики принципиально не аксиоматизируем, не формализуем, т. е. не существует исчисления, класс теорем которого совпадал бы с классом общезначимых формул. Тем не менее в качестве второпорядкового исчисления предикатов обычно рассматривают некоторую неполную формальную систему, которая получается естественным обобщением первопорядкового исчисления.

Логика предикатов второго порядка является очень богатой логической теорией. В ней, напр., может быть определен предпкатор равенства; α = β spc ^P(P{a) = P(ß)) (это определение по своей сути повторяет лейбницевский принцип «тождественности неразличимых»: равными, тождественными объявляются объекты, обладающие одинаковыми свойствами).


Один из возможных путей расширения выразительных средств логики второго порядка состоит во введении в ее язык предикаторов более высоких ступеней, «предикаторов от предикаторов». Они выражают свойства свойств или отношений, отношения между свойствами или отношениями. Так, в контексте «Отношение родства симметрично» термин «симметрично» репрезентирует свойство отношения (родства), а в контексте «Щедрость и скупость — противоположные качества» термин «противоположно» представляет отношение между свойствами (щедростью и скупостью). При указанном подходе натуральные числа 0,1,2,... могут рассматриваться как свойства свойств и определяться средствами второпорядковой логики предикатов следующим образом: 0(Р)=о{-ЗхР(х), 1(Р)=о{ЗхР(х), 2(Р) =о{3х3у(-х = = у л Р(х) л Р{у} л Уг(Лг) э (г = χ ν г = у))) и т. д.

Среди неклассических систем логики предикатов следует особо выделить т. н. свободную логику нестандартную теорию квантификации, при построении которой отказываются от обязательного существования индивидов в области интерпретации, а таюке допускают пустоту термов.

Часто неклассические исчисления предикатов строятся так, что их отличие от классического проявляется — в самой системе аксиом и правил вывода — лишь на пропозициональном уровне: вместо схем аксиом классического исчисления высказываний выбираются схемы аксиом соответствующего неклассического пропозиционального исчисления (подобным образом обычно строятся кванторные системы интуиционистской логики и минимальной, многие системы модальной логики и релевантной логики). В этом отношении специфичным является конструктивное исчисление предикатов, в котором (наряду с модификацией пропозициональной части) принимаются особые, характерные именно для кванторной теории постулаты, формализующие т. н. принцип Маркова (простейшая формулировка данного принципа такова: VJc(P(x) v-, Р(х)) э (-,-ЭхР(х) = ЗхР(х)). Весьма нетривиальной и интересной с философской точки зрения оказалась проблема построения кванторных расширений модальных логик, известная также как проблема квантификации в модальных контекстах. При попытке построения модальной логики предикатов возникает ряд существенных трудностей содержательного характера, на которые обратил внимание У. Куайн. Помимо известных проблем, связанных с нарушением принципа взаимозаменимости в неэкстенсиональных контекстах (а модальные контексты — один из их типов), обнаружилось, что к неожиданным результатам в модальной логике приводит применение правила введения квантора существования (знаменитый куайновский парадокс Вечерней и Утренней звезды); во многих кванторных модальных системах ряд теорем не согласуются с интуицией (к ним относятся, напр., формула Баркан 03xP(x) э ЗхОР(х), позволяющая заключать от возможности существования к актуальному существованию некоторого объекта, теорема Vx'rfy(x ='у~^0х=у), означающая необходимость любого утверждения о равенстве). Но главной причиной философской ущербности модальной логики предикатов, по мнению У. Куайна, является реанимация в ее рамках схоластического понятия модальностей de re (модальностей, квалифицирующих характер связи признака с предметом) и причастность этой теории эссенциализму (метафизической концепции, согласно которой предметы сами по себе — независимо от того, как они представлены в языке, — обладают некоторыми свойствами необходимо, а некоторыми случайно).



==427


ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ


В современной модальной логике, особенно в результате разработки ее точных формальных семантик, удалось снять многие возражения У. Куайна. Так, А. Смульяном была установлена необходимость учета областей действий дескрипций при замене равного равным в модальных контекстах. С. Крипке предложил способ построения богатых систем модальной логики предикатов без формулы Баркан и других парадоксальных законов. Т. Парсонс точными методами продемонстрировал непричастность данных теорий эссенциализму, показал, что можно развивать модальную логику в антиэссенциалистском ключе — с отрицанием эссенниалистского принципа в качестве аксиомы. Тем не менее проблема адекватной экспликации кванторных модальных контекстов языка, особенно эпистемических контекстов (утверждений о знании, мнении, вере), и по сей день остается актуальной.

Особую важность для логики предикатов, как и для любой логической теории, представляет иссследование ее метатеоретических свойств (см. Металогика). В связи с наличием двух способов построения логических теорий — семантического и синтаксического (в виде исчислений) — возникает вопрос о соотношении класса общезначимых в семантике формул и множества теорем исчисления. Классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво (корректно), т. е. каждая его теорема универсально общезначима. Наличие данного свойства обосновывается стандартным методом: демонстрируется общезначимость всех аксиом исчисления и инвариантность его правил вывода относительно свойства «быть общезначимой формулой».

Более трудным оказалось доказательство семантической полноты первопорядкового исчисления предикатов, т. е. того, что всякая универсально общезначимая формула является теоремой исчисления. Впервые этот результат был получен К. Гёделем (1930). Позднее Л. Генкин предложил изящный (хотя и неконструктивный) метод доказательства полноты, существенно опирающийся на лемму Линденбаума (о возможности расширения любого непротиворечивого множества формул логики предикатов до непротиворечивого насыщенного множества). Еще более простой метод, использующий технику т. н. модельных множеств, был разработан Я. Хинтиккой. Наличие свойств семантической непротиворечивости и полноты у первопорядкового исчисления предикатов свидетельствует о том, что оно представляет собой адекватную формализацию семантически построенной логики предикатов, т. е. что у важнейших понятий — общезначимой формулы (закона логики) и логического следования (имеющего место между посылками и заключением в корректном рассуждении) — имеются точные синтаксические аналоги. Данное свойство, как уже было сказано ранее, отсутствует у логики предикатов второго порядка.

Исчисление предикатов (как первопорядковое, так и второпорядковое) обладает также свойством синтаксической непротиворечивости, т. е. не существует формулы А, такой, что 1—А и 1—-А. Однако, в отличие от классического исчисления высказываний, исчисление предикатов не является синтаксически полным (максимальным, неисполнимым), т. е. к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой. Синтаксическая неполнота исчисления предикатов имеет серьезное в методологическом отношении следствие: обеспечивается возможность построения на базе данной логической системы нетривиальных прикладных теорий за счет присоединения их


собственных постулатов, не обладающих статусом логических законов.

Особую важность применительно к логике предикатов имеет исследование проблемы разрешения. А. Чёрчем был получен фундаментальный результат, свидетельствующий о том, что в общем случае эта проблема не имеет решения: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы языка логики предикатов решить вопрос о том, является ли она законом данной теории, т. е. любое адекватное понятие закона логики предикатов существенным образом неэффективно, не содержит алгоритмической процедуры распознавания элементов своего объема.

Тем не менее в некоторых частных случаях проблема разрешения находит свое решение. Установлено, напр., что логика предикатов разрешима относительно свойства «быть общезначимой формулой на множестве с конечным числом элементов». Алгоритм проверки формул логики предикатов на общезначимость в области, содержащей η объектов, состоит в элиминации кванторов и преобразовании данной формулы в формулу языка логики высказываний (для последнего проблема разрешения решена). При устранении кванторов общности и существования используется их связь с пропозициональными связками конъюнкции и дизъюнкции, соответственно: если а,, а·^, ..., йц — имена всех объектов данной конечной области, то утверждение VxA(x) эквивалентно утверждению A(û|) лА.(а^) л ... лА(и„), а ЗхА(х) эквивалентно A(û|)vA(a:,)v...vA(a„).

Разрешимой является т. н. логика одноместных предикатов — фрагмент логики предикатов, формулы которого не содержат предикаторных констант местности большей 1. Можно показать, что любая подобная формула с k предикаторными константами универсально общезначима тогда и только тогда, когда она общезначима во всех конечных областях не более чем с 21' элементами (а этот вопрос, как уже было сказано, может быть решен эффективным образом).

Разрешающая процедура имеется также для некоторых типов формул, приведенных к предваренной нормальной форме. Напр., вопрос об универсальной общезначимости формул с кванторной приставкой ΞαιΞα^-.-Ξα,, может быть сведен к вопросу о ее общезначимости на одноэлементном множестве, подобный вопрос о формулах с приставками Va|Va^...Va„ и Va ,νο^.. -να,,Ξβ ,Ξβ;.. .3β„, сводится к вопросу об общезначимости на множестве из η элементов.

Создание логики предикатов связано с именами Г. Фреге, Б. Рассела и А. Уайтхеда. Современные формулировки классического первопорядкового исчисления предикатов и его детальный анализ был осуществлен Д. Гильбертом и его учениками В. Аккерманом и П. Бернайсом. Большую роль в оформлении точной теоретико-множественной семантики логики предикатов сыграли работы А Тарского. Значительный вклад в установление метатеоретических свойств логики предикатов внесли Л. Лёвингейм, Т. Сколем, К. Гёдель, А. Чёрч, Ж. Эрбран, Л. Генкин. Серьезные научные результаты в данной области были получены также Г. Гени/еном, Л. Кальмаром, С. Алина, В. Крейгом, У. Куайном, А. А. Марковым, А. И. Мальцевым, П. С. Новиковым, В. А. Смирновым, К. Шютте и многими другими исследователями.



Лит.: Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947; Предикатов исчисление (Есенин-Вольпин А. С.).— В кн.: Философская энциклопедия, т. 4. M., 1967; Юшнч С. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976; Новиков П. С. Элементы математической логики. М.,


==428


ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ


1973*; Смирнов В. А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972; ЧёрчА. Введение в математическую логику, т. I. М. 1960: А philosophical companion to first-order logic, ed. R. l. G. Hughe, 1993; From Frege to Cödel: A source book in mathematical logic 1879—1931, Harvard University Press, 1967; Smullyan R. M. First-order Logic. N. Y, 19&S.

В. И. Маркин


Каталог: sites -> default -> files
files -> Валявский Андрей Как понять ребенка
files -> Народная художественная культура. Профиль Теория и история народной художественной культуры
files -> Отчет о научно-исследовательской работе за 2014 год ростов-на-Дону 2014
files -> Учебно-методический комплекс дисциплины философия для образовательной программы по направлениям юридического факультета: Курс 1
files -> Цветков Андрей Владимирович, кандидат психологических наук, доцент кафедры клинической психологии программа
files -> Программа итогового (государственного) комплексного междисциплинарного экзамена по направлению 521000 (030300. 62) «Психология»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   256   257   258   259   260   261   262   263   ...   393


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница