Элементы космологии



Скачать 497.1 Kb.
страница6/11
Дата05.05.2018
Размер497.1 Kb.
ТипКурс лекций
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
5. ОТО и космология

Обратимся теперь к космологии. Строго говоря, описывать эволюцию Вселенной надо с помощью ОТО. Именно это позволяет преодолеть проблему с расходимостью гравитационного потенциала. Закон всемирного тяготения в форме Ньютона в своей формулировке не содержит скорости распространения гравитационного взаимодействия. Иными словами, эта скорость равна бесконечности. В то же время при расчете скорости распространения возмущения гравитационного поля (согласно ОТО для слабых полей она равна скорости света) появляется характерный параметр Rg = ctВ  радиус горизонта, смысл которого заключается в том, что мы не видим и не можем ощущать тела (по крайней мере, если поля не очень велики), расположенные от нас на расстоянии R > Rg. В этом заключается одно из принципиальных отличий ОТО от теории гравитации Ньютона.

В рамках теории относительности можно рассматривать и неоднородные и анизотропные варианты Вселенной. Такие модели приводят к весьма нетривиальным результатам. В частности, в такой Вселенной могут рождаться частицы, мы ограничимся рассмотрением однородных и изотропных моделей Вселенной.

Как можно представить наглядно, скажем, искривленное трехмерное пространство? Оказывается, это сделать невозможно. Но описать его на языке математики особого труда не представляет. Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим пример изотропного двумерного пространства в виде сферы (здесь наглядно ясно, какой смысл закладывается и в искривленность и в изотропность пространства  пространство в виде сферы характеризуется радиусом кривизны, который одинаков во всех точках). Это пространство описывается с помощью уравнения



(2.21)

где a = const  радиус сферы, (х1, х2, х3)  декартовая система координат. Элемент длины dl в этом пространстве  расстояние между двумя точками на сфере  равен:



.

Исключая отсюда координату х3 с помощью (6.21), получаем:



.

Вводя сферические координаты (по обычным формулам), находим:



.

Если мы хотим теперь рассмотреть трехмерное изотропное кривое пространство (например, "трехмерную сферу"), то аналогично (2.21) следует записать уравнение для "трехмерной сферы":



,

где x4  некоторая фиктивная координата, не имеющая никакого отношения к реальному пространству, величина a имеет смысл радиуса кривизны пространства. Записывая далее элемент длины на этой "сфере" и исключая x4, получим:



.

Если ввести сферические координаты, то



. (2.22)

Очевидно, что при переходе к плоскому пространству a, и мы получаем обычную формулу для элемента длины в евклидовом пространстве.

Выше молчаливо предполагалось, что a2 > 0. В этом случае говорят, что пространство положительной кривизны. Если a2 < 0, то оно называется пространством отрицательной кривизной (соответственно, в формуле (2.22) удобно сделать замену a2  a2).

Выражению (6.22) можно придать другую форму. Для этого запишем r = a, где  = sin  (  некоторый угол) в случае a2 > 0, и  = sh  в случае a2 < 0. Тогда (2.22) принимает вид:



. (2.23)

С помощью (6.23) можно записать теперь интервал



.

Если вместо времени ввести безразмерную величину , определяемую соотношением



, (2.24)

то окончательно интервал можно представить в форме



. (2.25)

Здесь радиус кривизны a выступает как некоторый пространственно-временной масштаб.

Выше была дана неклассическая интерпретация красного смещения. Напомним, что согласно этой трактовке, красное смещение не является результатом того, что разбегаются галактики при неизменном абсолютном пространстве. А как раз наоборот, меняются свойства пространства-времени, меняются пространственно-временные масштабы, и это проявляется в красном смещении спектров галактик.

Теперь мы знаем, что пространственно-временные масштабы определяются радиусом кривизны a. Получим уравнения, описывающие изменения a. Для этого перепишем уравнение (2.4) в виде:



. (2.26)

Поскольку R  произвольный радиус (на него накладывалось лишь одно условие, чтобы он был достаточно большой), выберем его следующим образом:



. (2.27)

Тогда с учетом (2.24) соотношение (2.26) можно записать в виде:



.

Знак "+" или "" выбирается в зависимости от знака E (см. (2.27)). Если, далее, пользуясь формулой Эйнштейна ввести плотность энергии вещества (в таком виде сюда войдет и энергия покоя, то есть соответствующие формулы будут справедливы и в релятивистском пределе), то окончательно получим:



, (2.28)

если , и



, (2.29)

если .

Эти уравнения в точности совпадают с теми, которые получаются в общей теории относительности.

Совершенно нетривиальной в релятивистской теории оказывается роль давления. Чтобы понять его своеобразную роль, вспомним, что в классической физике давление проявляется лишь в том случае, если есть перепады его в пространстве. В эволюцию однородной и изотропной Вселенной давление на первый взгляд не должно оказывать влияние, поскольку нет перепадов его. Но это не так. И связано это с тем, что давление есть энергетическая характеристика (с точностью до безразмерного параметра давление есть внутренняя энергия среды). Поскольку энергии согласно Эйнштейну можно приписать массу, а масса создает гравитационное поле, то с присутствием давления связано некоторое гравитационное поле. Разумеется, для наших масштабов этот эффект мал. Однако на ранних этапах эволюции Вселенной он существенен и даже принципиально меняет ее эволюцию.

Рассмотрим, как изменятся соответствующие уравнения, если учесть давление среды p. Динамические уравнения (2.28) и (2.29), определяющие эволюцию Вселенной, содержат две неизвестных величины  и a. Следовательно, они незамкнутые. Это обычная ситуация в механике сплошных сред. Для замыкания соответствующих уравнений используются термодинамические соотношения. Пренебрежем диссипативными процессами во Вселенной. Тогда согласно первому закону термодинамики:

, (2.30)

где V  объем системы (напомним, что   удельная энергия среды на единицу объема). Тогда



,

Поскольку V пропорционально а3, то окончательно имеем



. (2.31)

Чтобы получить теперь уравнение, описывающее эволюцию Вселенной с учетом давления, продифференцируем по времени соотношения (2.28) или (2.29) (результат будет одинаковый), вернувшись к размерному времени t (см. (2.24)). О учетом (6.31) получим:



. (2.32)

Это уравнение может быть проинтегрировано для конкретного вида уравнения состояния . В случае холодной или, как еще говорят, пылевидной материи . Именно этот вариант и был рассмотрен выше.

Сравнение уравнения (2.32) с (2.1) (особенно, если в последнем выразить массу шара через плотность) показывает, что давление действительно вносит вклад в гравитацию. При положительном значении оно замедляет (а не ускоряет!) расширение Вселенной.


Каталог: web
web -> Литература Древняя Русь в «Слове о полку Игореве»
web -> Рабочая программа специальность 351500 математическое обеспечение и администрирование информационных систем статус дисциплины
web -> Проблемы становления и развития социального диалога на региональном уровне
web -> Форум образовательных инициатив национальный наблюдательный центр юневок центр кыргызстан
web -> Социальное партнерство в России: специфика или подмена понятий? Термины «социальное партнерство»
web -> История философии тема Философия как наука: предмет, социальная роль и место в культуре


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница