Элементы космологии



Скачать 497.1 Kb.
страница5/11
Дата05.05.2018
Размер497.1 Kb.
ТипКурс лекций
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
4. Искривленное пространство. Основные идеи ОТО

Гравитационное поле обладает уникальным свойством: все тела, независимо от их масс, в данном поле движутся с одинаковым ускорением (никакое другое поле таким свойством не обладает). Поскольку ускорение связано с пространственно-временными характеристиками, то это наталкивает на мысль, что под воздействием гравитирующих тел меняются свойства пространства-времени, и это изменение при классическом рассмотрении проявляется в том, что тела испытывают ускорения. Остановимся на некоторых идеях общей теории относительности, оставляя в стороне весьма сложный математический аппарат дифференциальной геометрии.

Основной постулат ОТО  принцип эквивалентности. Суть его заключается в том, что гравитационное поле эквивалентно (локально) некоторой неинерциальной системе отсчета. В самом деле, в данной неинерциальной системе отсчета все тела также движутся с одним и тем же ускорением. Как понимать, что под действием гравитирующих тел изменяются свойства пространства-времени? Вообще, что характеризует свойства пространства? Или чем различаются разные пространства? Свойства пространства определяются тем, как находится расстояние между двумя точками. В евклидовом пространстве расстояние dl определяется по дифференциалам декартовых координат согласно теореме Пифагора:

,

где х1, x2, x3  система декартовых координат. В общем случае произвольных координат



,

где   метрический тензор, индексы  и  пробегают значения 1,2,3 (здесь использовано правило суммирования по дважды встречающимся индексам, принятое в тензорном исчислении, мы не будем заострять внимание на различии верхних и нижних индексов). Если метрический тензор имеет вид единичного тензора



,
то говорят, что пространство плоское.

Если  не имеет указанного вида, то это еще не означает, что пространство не плоское. В самом деле, рассмотрим двумерное пространство в виде плоскости (заведомо плоское). Введем в этом пространстве полярные координаты (r,). Тогда



и .

Здесь метрический тензор не является единичным. Но связано это не с тем, что пространство не плоское, а с выбором системы координат: при переходе к декартовой системе координат  принимает вид единичного тензора.

Если же никаким преобразованием координат метрический тензор не может быть приведен к виду единичного тензора во всем пространстве, то это пространство называется кривым.

Пример двумерного кривого пространства  сфера (при этом интуитивно ясно, какой смысл вкладывается в понятие кривое пространство). Расстояние между двумя точками на сфере задается соотношением

,

где a = const  радиус сферы,  и  обычные угловые координаты в сферической системе координат. Метрический тензор на сфере



.

Никаким преобразованием системы координат невозможно  привести к виду единичного тензора во всем пространстве.

Далее, согласно специальной теории относительности (ОТО) пространственные и временные характеристики процессов являются относительными. Так, согласно преобразованиям Лоренца, связывающим их в различных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга

где не штрихованные величины относятся к покоящейся системе отсчета, штрихованные  к движущейся с постоянной скоростью v. Поэтому, строго говоря, нет смысла отдельно рассматривать пространство или время. Более того, существует величина ds, которая называется интервалом и определяется выражением



. (2.15)

Интервал обладает тем свойством, что он не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой



,

причем сохраняется не только его величина, но и представление через штрихованные координаты (в этом нетрудно убедиться с помощью непо­средственной подстановки  это есть следствие постоянства скорости света). Поэтому имеет смысл говорить о четырехмерном пространственно-временном континууме. Формулу (2.15) можно переписать в виде



, (2.16)

где ,



(2.17)

Итак, в инерциальных системах отсчета метрический тензор четырехмерного пространства-времени имеет вид (2.17). В этом случае он называется галилеевым. С точностью до знаков он напоминает по виду единичный тензор. Впрочем, от минусов в (2.17) можно было бы избавиться, заменив в (2.15) . Такое четырехмерное пространство было бы евклидовым. А так оно называется псевдоевклидовым.

Как изменится метрический тензор при переходе к неинерциальной системе отсчета? В отличие от инерциальной системы отсчета, в неинерциальной он уже не будет иметь диагональный вид, да и компоненты его станут отличны от единицы (в этом опять несложно убедиться с помощью (2.15)) . Из принципа эквивалентности тогда становится ясно, что при наличии гравитационных полей метрический тензор тоже должен иметь вид, отличный от галилеева. Это и означает, что гравитационные поля изменяют свойства пространства-времени.

В классической механике материальная точка движется по экстремальной траектории, которая определяется из принципа наименьшего действия Гамильтона (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц "Механика" ). Для свободной точки уравнение траектории



, (2.18)

где xi  пространственные декартовые координаты. Решением этого уравнения является прямая линия.

Уравнение движения свободной точки в СТО тоже получается из принципа наименьшего действия и имеет вид (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц "Теория поля"):

, (2.19)

где хi  четырехмерный вектор, описывающий положение точки (определение его см. выше). Уравнение (2.19) лоренц-инвариантно, то есть. оно сохраняет вид при преобразованиях Лоренца, в отличие от (2.18). В нем вместо времени t, по которому производится дифференцирование, выступает интервал s.

В произвольных координатах или, если угодно, в произвольном пространстве уравнение движения свободной точки имеет вид (см. там же):

. (2.20)

Отличие от нуля правой части связано с силами инерции, либо в силу принципа эквивалентности с реальным изменением свойств пространства-времени вследствие наличия гравитационных полей.

Можно еще сказать, что правая часть  это аналог силы, которая зависит от скорости точки (dx/ds). Коэффициент пропорциональности () играет роль напряженности гравитационного поля (здесь есть определенная аналогия с силой Лоренца, действующей на электрический заряд в магнитном поле). Сами же компоненты метрического тензора тогда выступают как потенциалы гравитационного поля.

Как и уравнения движения точки в классической механике, уравнение (6.20) может быть получено из принципа наименьшего действия Гамильтона, записанного в произвольном пространстве. Соответствующая траектория является экстремальной. Называется она - геодезической.

Итак, "свободная" материальная точка, теперь это уже точка, на которую не действуют никакие другие поля, кроме гравитационного, движется по геодезической линии. Если рассмотреть движение, например, планеты вокруг центрального тела, то в трехмерном пространстве геодезическая есть кривая типа эллипса .

Резюмируя сказанное, отметим, что свойства четырехмерного пространственно-временного континуума описываются метрическим тензором. При наличии гравитационного поля метрический тензор принимает вид, отличный от галилеева. При этом в силу известной формулы Эйнштейна из СТО, связывающей энергию с массой (E=mc2), любой вид энергии создает соответствующее гравитационное поле.

Несмотря на относительную прозрачность того, что было сказано выше, математическая связь между характеристиками пространства-времени (метрическим тензором) и распределением и движением гравитирующих масс (тензором энергии-импульса) оказывается весьма непростой. Она была найдена Эйнштейном и составляет фундамент ОТО.

Общая теория относительности имеет несколько предсказаний, не имеющих аналогов в классической механике. Укажем на два из них. Первое: траектория точки в поле сферически симметричного тела, в отличие от классической механики, оказывается незамкнутой (разумеется речь идет о гравитационно связанной системе). Расчеты, выполненные в рамках ОТО в применении к Меркурию, показывают, что за столетие перигелий его орбиты должен смещаться на 43".03. Наблюдения примерно за двести лет дают смещение ~ 43" в сто лет.

Другой эксперимент  отклонение света гравитационным полем Солнца. На первый взгляд, здесь нет ничего особенного. Фотоны света можно рассматривать как корпускулы (то есть частицы) с массой h/с2. Естественно, что их траектории в гравитационном поле отклоняются от прямых линий. Однако в ОТО отклонение лучей света оказывается в два раза больше того отклонения, которое испытывали бы ньютоновские частицы в гравитационном поле. Наблюдения за отклонением света звезд в поле Солнца дают результат, согласующиеся именно с общей теорией относительности Эйнштейна. Таким образом, массивные тела могут играть роль гравитационных линз, собирая и фокусируя излучение от других объектов.

Можно еще упомянуть эксперимент с изменением частоты фотона, движущегося в гравитационном поле. В этом параграфе было показано, как связаны пространственно-временные характеристики с гравитирующими телами для слабых полей.



Каталог: web
web -> Литература Древняя Русь в «Слове о полку Игореве»
web -> Рабочая программа специальность 351500 математическое обеспечение и администрирование информационных систем статус дисциплины
web -> Проблемы становления и развития социального диалога на региональном уровне
web -> Форум образовательных инициатив национальный наблюдательный центр юневок центр кыргызстан
web -> Социальное партнерство в России: специфика или подмена понятий? Термины «социальное партнерство»
web -> История философии тема Философия как наука: предмет, социальная роль и место в культуре


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница