Элементы космологии



Скачать 497.1 Kb.
страница3/11
Дата05.05.2018
Размер497.1 Kb.
ТипКурс лекций
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
2. Модели нестационарной Вселенной

(Ньютоновское приближение)

Задача №1. Рассчитать поле скоростей в однородном радиально расширяющемся газовом шаре.

Решение: Согласно уравнению непрерывности

,

где (t)  плотность газа, vr радиальная компонента скорости расширения газа, r - расстояние от центра шара.. Это уравнение можно переписать в виде:

.

здесь f  некоторая функция времени. Интегрируя no r, получим:

,

где a u b  произвольные константы (по r) интегрирования. Из требования конечности vr при r=0 а=b=0. Переобозначив f/3=H(t), получим окончательно:

.

Ответ: , где H(t)  некоторая функция времени. Смысл ее  "постоянная" Хаббла.
Строго говоря, эволюцию Вселенной следует рассматривать в рамках общей теории относительности. Однако оказывается, что за исключением самых ранних моментов времени правильные результаты можно получить и в рамках Ньютоновской теории гравитации.

Вырежем во Вселенной шар достаточно большого радиуса R, предполагая, что вещество в ней распределено однородно и изотропно, и что она расширяется. Рассчитаем закон изменения плотности вещества в этом шаре со временем, считая, что Вселенная холодная (то есть, можно пренебречь давлением вещества).

Уравнения движения элемента на поверхности шара, движущегося вместе с веществом, имеют вид:

, (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

где M  есть масса шара. Интегрируя (2.1), находим



(2.4)

Здесь E  полная энергия элемента. Подставляя сюда из (2.2) и выражение для M, приведем последнее соотношение к виду:



, (2.5)

. (2.6)

c  называется критической плотностью. Смысл ее станет ясен дальше.

Проанализируем полученные результаты. Если полная энергия элемента положительная, то есть E > 0 (что соответствует  < c), то, как видно из (2.4), при R стремится к некоторой положительной величине. Это означает, что и на бесконечности шар будет продолжать расширяться.

Если же E < 0 ( > c), то при некотором R = R (определяющимся из условия ) расширение сменится сжатием.

В пограничном случае E = 0 ( = c) шар будет расширяться до бесконечности, но при R 0.

Первый вариант эволюции называется открытой Вселенной. Второй закрытой. Третий  плоской. Отсюда виден смысл критической плотности. Если плотность вещества во Вселенной меньше критической, то она будет открытой, если превышает критическую  закрытой. Наконец, если равна критической, то мы живем в плоском Мире.

Рассчитаем закон изменения плотности вещества для плоской Вселенной, то есть примем, что E = 0 или

(2.7)

Из закона сохранения массы (2.3) с учетом (2.2) находим



. (2.8)

Для случая расширения решение системы уравнений (2.7, 2.8) имеет вид:



, (2.9)

где t0  константа интегрирования. Удобно выбрать t = 0. Это означает, что время отсчитывается от момента, когда плотность равнялась бесконечности, то есть имела место сингулярность.

Для постоянной Хаббла получаем

(2.10)
Задача № 2. Предложите метод определения возраста плоской Вселенной.

Решение: Согласно (2.10) t имеет смысл времени, прошедшего от сингулярности до текущего момента. Тогда

,

где H  постоянная Хаббла, определенная на сегодняшний момент времени.

Ответ: Для Н ~ 50 кмМпк)1 tB ~ 13109 лет .
Как решить вопрос о том, в каком Мире мы живем? Для этого, очевидно, надо сравнить текущую плотность вещества во Вселенной с критическим значением. Для приведенной величины постоянной Хаббла:

c ~ 51030 гсм3 .

Если оценивать плотность вещества по видимой (звездной) компоненте галактик, то оказывается

вид ~ 31031 гсм3 .

С учетом же скрытой массы, плотность будет примерно на порядок выше:

~ 31030 гсм3 .

Сравнение этого значения плотности с критическим приводит к выводу о том, что наш Мир близок к плоскому.

Для количественной характеристики близости Вселенной к плоскому варианту часто используется параметр  = /c.

Итак, примерно 13 млрд. лет назад Вселенная начала расширяться из сингулярного состояния. Сейчас это расширение продолжается, и проявляется оно в красном смещении спектров галактик вследствие их разбегания. Имеющиеся данные приводят к выводу о том, что наш мир близок к плоскому, то есть расширение будет длиться бесконечно с замедлением.


Каталог: web
web -> Литература Древняя Русь в «Слове о полку Игореве»
web -> Рабочая программа специальность 351500 математическое обеспечение и администрирование информационных систем статус дисциплины
web -> Проблемы становления и развития социального диалога на региональном уровне
web -> Форум образовательных инициатив национальный наблюдательный центр юневок центр кыргызстан
web -> Социальное партнерство в России: специфика или подмена понятий? Термины «социальное партнерство»
web -> История философии тема Философия как наука: предмет, социальная роль и место в культуре


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница