Двумерные случайные величины



Скачать 417.3 Kb.
страница1/3
Дата05.02.2018
Размер417.3 Kb.
ТипГлава
  1   2   3

Глава 6. Двумерные случайные величины.


6.1. Понятие двумерной случайной величины и закон ее распределения.

Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х1 – температура, Х2 – давление, Х3 – влажность воздуха, Х4 – скорость ветра.

В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин .

Рассмотрим двумерную случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости .

Если составляющие Х и Y – дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y – непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение xi, а составляющая Y – значение yj.

Таблица 6.1.1.



Y

X

y1

y2



yj



ym

x1

p11

p12



p1j



p1m

x2

p21

p22



p2j



p2m















xi

pi1

pi2



pij



pim















xn

pn1

pn2



pnj



pnm

Так как события , составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.

. (6.1.1)

Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y.



Пример 6.1.1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.

Таблица 6.1.2.



Y

X


2

5

7

-1

0,11

0,13

0,23

3

0,1

0,12

0,09

4

0,11

0,08

0,03

Решение. Так как

-1

3

4

0,47

0,31

0,22

, то проводя суммирование по строкам таблицы 6.1.2 получим распределение Х:

Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y:



2

5

7

0,32

0,33

0,35

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например , то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y.

Пример 6.1.2. По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии ; б) условный закон распределения Y при условии, что .

Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам



, . (6.1.2)

Тогда


а) , ,

.

Условный закон распределения Х при условии имеет вид



-1

3

4

0,394

0,364

0,242

Контроль: .

б) Аналогично находим условный закон Y при условии .



2

5

7

0,5

0,364

0,136

Контроль: .

Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее y:



. (6.1.3)

Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).



y





x



-

Рис. 6.1.1.

Отметим свойства .

1. Область значений функции - , т.е. .

2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.

3. Имеют место предельные соотношения:



; ; ; .

При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х, т.е.



.

Аналогично, .

Зная , можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD (рис. 6.1.2).

y

B(x1,y2) C(x2,y2)

A(x1,y1) D(x2,y1)

x

Рис. 6.1.2.

А именно,

=. (6.1.3)

Пример 6.1.3. Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения


Y

X


0

1

3

-1

0,17

0,11

0,09

1

0,27

0,10

0,26

Найти функцию распределения .

Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j, для которых , . Тогда, если и , то (события и - невозможны). Аналогично получаем:

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то .

Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений :



при











0

0

0

0



0

0,17

0,28

0,37



0

0,44

0,65

1

Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности

. (6.1.4)

Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве (рис. 6.1.3).

Рис. 6.1.3

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. Функция распределения может быть выражена через по формуле

. (6.1.5)

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна



. (6.1.6)

5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:



(6.1.7)

(6.1.7)

(6.1.8)

(6.1.9)

Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины

.

Найти: 1) двумерную плотность вероятности ; 2) вероятность попадания случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми , , , .

Решение. 1) Так как , то дифференцируя сначала по : , а затем по : , получим

.

2) Используя формулу (6.1.3) и рис. 6.1.4, получим .



y

(0,1) (4,1)

(0,0) (4,0) х

Рис. 6.1.4.

По аналогии с условными вероятностями вводятся условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины , а именно

- (6.1.10) условная плотность распределения Х при заданном значении ;

- (6.1.11) условная плотность распределения Y при заданном значении .

Если случайные величины X и Y независимые, т.е. закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение принимает вторая величина, то условные и безусловные законы Х и Y совпадают. В частности, и . Таким образом, для независимых составляющих Х и Y двумерная плотность вероятности находится следующим образом



(6.1.12) и функция распределения имеет вид

. (6.1.13)

Заметим, что если имеют место соотношения (6.1.12) или (6.1.13), то составляющие Х и Y – независимые случайные величины.

Если составляющие Х и Y дискретной случайной величины – независимые случайные величины, то

, (6.1.14) где , , , .

Пример 6.1.5. Законы плотности распределения независимых составляющих Х и Y:

Найти: 1) плотность совместного распределения; 2) функцию распределения системы .

Решение. 1) В силу независимости составляющих Х и Y плотность совместного распределения

при и

при или .

2) Найдем и .



.

Аналогично .

Тогда при , ,

при или .


Каталог:


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©znate.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница